MECHANIKA

MECHANIKA
(Wyznaczanie gęstości ciał, prędkości parowania cieczy, objętości piasku.)
Marek Górski
Pomiary miały na celu wyznaczenie gęstości materiału z którego zbudowane zostały badane
obiekty (walec, kula, wielościan), objętości próbki piasku oraz prędkości parowania
denaturatu.
1. Wyznaczanie gęstości
W celu wyznaczenie gęstości walca, kuli i wielościanu zostały zmierzone rozmiary obiektów, a
na ich podstawie obliczona objętość. Do tego celu zostały wykorzystane: taśma miernicza
(dokładność: 1mm), suwmiarka (dokładność: 0,05 mm) oraz śruba mikrometryczna (dokładność
0,01mm). Masa niezbędna do obliczenia gęstości zmierzona została przy pomocy wagi laboratoryjnej
(dokładność 25mg lub 50mg w zależności od obciążenia wagi). Masa każdego obiektu została
zmierzona jeden raz. Wymiary kuli i wielościanu zostały zmierzone również jeden raz przy pomocy
kolejno taśmy mierniczej, suwmiarki oraz śruby mikrometrycznej. Wymiary walca zostały zmierzone
trzy razy dla taśmy mierniczej, suwmiarki i śruby mikrometrycznej.
1.a Walec.
Wzór na gęstość walca (ρ) o promieniu r, wysokości h i masie m:
ρ =
(1)
m
hπr 2
Niepewność obliczonej gęstości wyraża się wzorem:
2
2

 2m
  m
  1
∆ρ = 
∆r  +  2 2 ∆h  + 
∆m 
3
2

 hπr
  πh r
  kπr
(2)
2
Gdzie ∆r, ∆h, ∆m oznaczają kolejno niepewności zmierzonego promienia, wysokości oraz masy.
taśma miernicza
seria
gęstość
(g/cm^3)
suwmiarka
niepewność gęstości
(g/cm^3)
Gęstość
(g/cm^3)
niepewność
gęstości (g/cm^3)
I
9
2
8,88
0,09
II
9
2
8,92
0,09
III
9
2
8,87
0,09
Tab1. Zestawienie wyników pomiarów dla trzech serii pomiarowych.
śruba mikrometryczna
gęstość
(g/cm^3)
niepewność
gęstości (g/cm^3)
8,94
8,95
8,95
0,02
0,02
0,02
Średnia gęstość obliczona na podstawie średniej ważonej błędami pomiarowymi
ρi
9
(3)
ρ =
∑s
i =1
9
2
i
1
∑s
i =1
2
i
Gdzie ρi oraz si to kolejno obliczone gęstości i niepewności tych gęstości.
Średnia niepewność obliczona jako niepewność wewnętrzna:
(4)
s ext =
1
9
∑
i =1
1
s i2
(niepewność zewnętrzna w tym przypadku wynosi zaledwie 0,002 g/cm^3)
Ostateczny wynik dla walca obliczony na podstawie wzorów 3 i 4:
8,94 +/- 0,01 g/cm^3
1.b Kula
Wzór na gęstość dla kuli (ρ) w zależności od promienia r i masy m:
ρ=
(5)
m
4 3
πr
3
Niepewność obliczonej gęstości wyraża się wzorem:
2
(6)
2

 

 3m
  ∆m 

∆ρ = 
∆r  + 
4 4  4 3
 πr
  πr 
3
 3

Gdzie ∆r, ∆m oznaczają kolejno niepewności zmierzonego promienia oraz masy.
taśma miernicza
gęstość
(g/cm^3)
suwmiarka
niepewność gęstości
(g/cm^3)
3,2
0,8
Tab2.
Zestawienie wyników pomiarów
śruba mikrometryczna
gęstość
(g/cm^3)
niepewność gęstości
(g/cm^3)
gęstość
(g/cm^3)
niepewność gęstości
(g/cm^3)
7,92
0,08
7,8
0,03
Średnia obliczona na podstawie wzorów 3 i 4:
7,87 +/- 0,05 g/cm^3
1.c Wielościan
(na podstawie objętości graniastosłupa o podstawie prostokąta)
Wzór na gęstość dla wielościanu (ρ) w zależności od długości boków podstawy a,b ,
wysokości h i masy m:
∆ρ =
(7)
m
abh
Niepewność obliczonej gęstości wyraża się wzorem:
2
2
2
2
 m
  m
  m
  1

∆h  + 
∆m 
∆ρ =  2 ∆a  +  2 ∆b  + 
(8)
2
 a bh   ab h   abh
  abh

Gdzie ∆a, ∆b, ∆h, ∆m oznaczają kolejno niepewności zmierzonych długości boków
podstawy, wysokości oraz masy.
taśma miernicza
gęstość
(g/cm^3)
niepewność gęstości
(g/cm^3)
8
1
Tab3.
Zestawienie wyników pomiarów
suwmiarka
śruba mikrometryczna
gęstość
(g/cm^3)
niepewność
gęstości (g/cm^3)
gęstość
(g/cm^3)
niepewność
gęstości (g/cm^3)
9,22
0,07
9,26
0,02
Średnia obliczona na podstawie wzorów 3 i 4:
9,25 +/- 0,03 g/cm^3
2. Wyznaczanie prędkości parowania denaturatu
Aby zmierzyć prędkość parowania denaturatu, otwarty piknometr z denaturatem został
ustawiony na szalce wagi analitycznej (dokładność 0,01mg). Masa (m) denaturatu
znajdującego się w piknometrze była sprawdzana dla wcześniej ustalonych czasów (t)
(dokładność 1s). Do punktów pomiarowych zaznaczonych na wykresie 1 została dopasowana
przy pomocy programu „Panda” prosta najmniejszych kwadratów postaci m(t) = a * t + b
gdzie a jest szukaną prędkością parowania!
Badanie zależności masa (czas)
28,964
28,962
masa [g]
28,960
28,958
28,956
28,954
0
50
100
150
200
250
czas [s]
Rys1.
Wykres przedstawia prostą najmniejszych kwadratów dopasowaną do punktów pomiarowych.
Prosta z Rys1. została dopasowana z współczynnikiem kierunkowym odpowiadającym
prędkości parowania a = -3.77E-5 +/- 6.4E-6 (g)/(s) (bł.wzgl.=16.78%)
Dodatkowo obliczony współczynnik b = 28.9644 +/- 0.0012 g
300
3. Wyznaczanie objętości próbki piasku
Objętość próbki piasku została zmierzona pośrednio poprzez przyrównanie jej z objętością
wypartej wody (jej objętość została obliczona przy użyciu tablicowej wartości gęstości wody
destylowanej (ρ=9,99g/cm^3) i zmierzonej masy wypartej wody. Wykonane zostały cztery
pomiary przy użyciu wagi analitycznej (dokładność 0,01mg), pustego piknometru (m),
piknometru napełnionego wodą (m + mw), piknometry częściowo wypełnionego pisakiem (m
+ mp) oraz piknometru częściowo wypełnionego piaskiem i dopełnionego wodą (m + mp +
m1). Warto zauważyć że mw= m0 + m1
Objętość można obliczyć z wzoru:
V =
(9)
m0
ρ
Aby użyć wielkości zmierzonych można ten wzór przekształcić do następującej postaci:
(10)
V =
(m + mw ) − (m ) − (m + m p + m1 ) + (m + m p )
ρ
Niepewność związana będzie jedynie z masą wody wypartej, oraz wartością tablicową
gęstości wody, która znana jest z dokładnością 0,01 g/cm^3
Obliczona w ten sposób objętość piasku wynosi:
0,34 cm3 +/- 0,02 cm3
4. Dyskusja wyników
Otrzymany wynik gęstości walca oraz wielościanu można porównać z wartościami
tablicowymi dla miedzi, ponieważ można podejrzewać że oba obiekty zostały wykonane
właśnie z miedzi (na podstawie koloru). Wartość ta jest jednak wartością dla czystej miedzi a
badana substancja była najprawdopodobniej stopem miedzi innego metalu. W bezpośrednich
wynikach pomiarów uderzają różnice w zmierzonych długościach, dużo większe od
niepewności przyrządów. Oczywiście związane jest to z tym że badane obiekty nie były
idealnym walcem, kulą i wielościanem. Obliczona gęstość powinna być zatem opatrzona
większą niepewnością. Aby uzyskać dokładny wynik należało by przeprowadzić również
więcej serii pomiarowych dla kuli i wielościanu.
Zależność dopasowana do punktów pomiarowych (Rys1.) budzi wątpliwości, niestety zbyt
mała liczba pomiarów uniemożliwia sensowną analizę. Być może odstępstwa od liniowości
mogą być związane z innym charakterem zależności. Pomiar prędkości nie jest zbyt dokładny
o czym świadczy duży błąd względny. Warto zauważyć że współczynnik b dosyć dobrze
pokrywa się ze zmierzoną masą początkową!
Zmierzoną objętość piasku można wyznaczyć z dużo większą dokładnością o ile
wykorzystamy dokładniejszą wartość stałej tablicowej.