8.11.

Inne warianty metody indukcji
Dowód indukcyjny w następnym zadaniu będzie przebiegał według schematu:
I. T (0) ∧ T (1) ∧ T (2).
II. Krok indukcyjny: T (k) ∧ T (k + 1) ∧ T (k + 2) ⇒ T (k + 3) dla
dowolnego k ≥ 0.
Zadanie. Ciąg (an) określają następujące warunki:
a0 = 2 , a1 = 3 , a2 = 6 ,
an = (n + 4)an−1 − 4nan−2 + 4(n − 2)an−3 , dla n ≥ 3.
Udowodnij, że dla każdego n
an = n! + 2n.
1
Twierdzenia i dowody
2
Twierdzenie to prawdziwe zdanie logiczne dotyczące obiektów
danej teorii.
√
Przykład: „ 2 jest liczbą niewymierną”.
3
Twierdzenia na ogół mają postać implikacji
p ⇒ q,
a dokładniej:
∀x∈X (p(x) ⇒ q(x)),
gdzie p(x) i q(x) to formy zdaniowe określone w pewnym zbiorze X. Zdanie p nazywamy założeniem, a zdanie q – tezą twierdzenia.
Mówimy, że p jest warunkiem wystarczającym (dostatecznym)
dla q, a q jest warunkiem koniecznym dla p.
4
Przykład. Warunkiem wystarczającym na podzielność liczby naturalnej przez 9 jest to, by suma cyfr jej zapis dziesiętnego była
równa 9. Czy jest to warunek konieczny?
Przykład. Warunkiem koniecznym na to, by czworokąt był kwadratem jest posiadanie wszystkich kątów prostych. Czy jest to
warunek wystarczający?
5
Twierdzenie q ⇒ p nazywamy odwrotnym do twierdzenia p ⇒ q.
Twierdzenie: Dla dowolnego trójkąta ABC, jeśli |BAC| = 90◦,
to |AB|2 + |AC|2 = |BC|2.
Twierdzenie odwrotne: Dla dowolnego trójkąta ABC, jeśli |AB|2+
|AC|2 = |BC|2, to |BAC| = 90◦.
6
Niektóre twierdzenia mają postać zamkniętego układu implikacji


p1 ⇒ q1


 p ⇒q
2
2
.
..




pn ⇒ qn,
gdzie dla każdego x dokładnie jedno ze zdań p1(x), p2(x), . . .,
pn(x) jest prawdziwe.
7
Przykład. Dla dowolnego trójkąta ABC:

◦
2
2
2

 |BAC| < 90 ⇒ |AB| + |AC| > |BC| ,
|BAC| = 90◦ ⇒ |AB|2 + |AC|2 = |BC|2,


|BAC| > 90◦ ⇒ |AB|2 + |AC|2 < |BC|2.
8
Dowody dedukcyjne i redukcyjne
Podstawową metodą dowodzenia twierdzeń postaci
p⇒q
jest dowód dedukcyjny będący w najprostszym przypadku ciągiem implikacji wychodzących od założenia
p ⇒ p1 ⇒ . . . ⇒ pk ⇒ q.
Przykład. Jeśli a, b, c (a 6= 0) są takimi liczbami całkowitymi,
że a | b i a | c, to a | b + c.
9
Ciąg implikacji
p ⇒ p1 ⇒ . . . ⇒ pk ⇒ q
czasami konstruujemy od końca, nazywamy to metodą redukcyjną.
Przykład. Jeśli liczby rzeczywiste a, b są dodatnie, to
a+b √
> ab.
2
W praktyce często stosujemy metodę mieszaną, łączącą elementy obu metod.
10
Metoda „nie wprost”
Metoda dowodu „nie wprost” jest oparta na tautologii
(p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p).
Zadanie. Dane są liczby całkowite a i b. Wykaż, że jeśli a · b jest
liczbą parzystą, to a jest parzyste lub b jest parzyste.
Zadanie. Dane są liczby naturalne k1, k2, . . . , kn > 0. Wykaż, że
jeśli
1
n
1
+ ... +
> ,
k1
kn
2
to ki = 1 dla pewnego i.
11
Kwadrat logiczny
tw. proste
p⇒q
tw. odwrotne
q⇒p
(∼ p) ⇒ (∼ q)
tw. przeciwne
(∼ q) ⇒ (∼ p)
tw. przeciwstawne
12
Metoda „przez sprzeczność”
Metoda dowodu zdania p „przez sprzeczność” polega na przyjęciu
założenia ∼ p i wywnioskowaniu z niego „sprzeczności”: zdania
fałszywego lub dwóch zdań wzajemnie sprzecznych.
Zadanie. Udowodnij, że liczba
√
2 jest niewymierna.
Zadanie. Wykaż, że w każdym trójkącie co najmniej jeden z
kątów ma miarę nie mniejszą od 60◦.
13
Metoda dowodu implikacji
p⇒q
„przez sprzeczność” jest oparta na tautologii
(p ⇒ q) ⇔∼ (p∧ ∼ q).
Zadanie. Dane są liczby rzeczywiste x, y. Wykaż, że jeżeli x2 +
√
2
y < 1, to x + y < 2.
14