Pochodna I-go rzędu Zadanie 1. Na podstawie definicji - E-SGH

Pochodna I-go rzędu
Zadanie 1. Na podstawie definicji pochodnej funkcji
w punkcie
:
wyznaczyć, o ile istnieje, pochodną
a) funkcji
w punkcie
b) funkcji
w punkcie
oraz w punkcie
oraz w punkcie
w punkcie
c) funkcji
, punkcie
oraz w punkcie
.
Zadanie 2. Wykonać polecenie sformułowane w zadaniu 1, wykorzystując nie definicję pochodnej
lecz reguły różniczkowania funkcji. Dla kolejnych podpunktów a) ,b), c) zad.1.porównać wyniki,
otrzymane każdą z metod.
Zadanie 3. Na podstawie definicji (por. zad.1) wyznaczyć pochodne następujących funkcji w
dowolnym punkcie należącym do dziedziny tych funkcji
a)
, gdzie
b)
, gdzie
c)
, gdzie
Zadanie 4. Korzystając z ogólnej reguły różniczkowania funkcji potęgowej:
,gdzie
oraz
wyprowadzić wzory na pochodną następujących funkcji:
a)
,
b)
,
c)
,
d)
,
e)
Zadanie 5. Na podstawie reguły z zadania 3 i wzorów na pochodną sumy dwóch funkcji oraz
pochodną iloczynu funkcji przez stałą obliczyć pochodne
a)
, gdzie
b)
gdzie
c)
d)
, gdzie
, gdzie
Zadanie 6. Uzasadnić prawdziwość następującego wzoru
gdzie pochodna jest liczona po zmiennej
oraz
,
, …,
.
Zadanie 7. Stosując reguły różniczkowania iloczynu i ilorazu dwóch funkcji, wyprowadzić wzory na
oraz
. jeśli c
jest
pochodną następujących funkcji
funkcją różniczkowalną w .
Zadanie 8. Napisać wzory na pochodną funkcji
a następnie wyznaczyć
pochodną funkcji
a)
gdzie
b)
:
, gdzie
Zadanie 9. Pamiętając, że
a)
:
a także, że
, gdzie
d)
, gdzie
b)
c)
c)
, zróżniczkować funkcje
, gdzie x
e)
, gdzie x
d)
gdzie
,
.
Zadanie 10. Na podstawie reguły różniczkowania funkcji złożonych:
ocenić, które z następujących zależności są prawdziwe, jeśli
jest funkcją różniczkowalną w
całej swojej dziedzinie
a)
czy
b)
?
czy
c)
?
czy
d)
?
czy
e)
?
czy
?
Zadanie 11. Obliczyć pochodne podanych niżej funkcji złożonych,
a)
,
b)
.,
c)
,
d)
,
e)
.,
f)
,
g)
,
Zadanie 12. Korzystając z reguł różniczkowania, obliczyć wartość
a)
w punkcie
b)
(odp.: 1)
w punkcie
d)
w punkcie
(odp.:-0,5)
w punkcie
c)
(odp.:
w punkcie
e)
)
(odp 0)
w punkcie
w punkcie
f)
(odp 0,5)
(odp )
Zadanie 13. Wyznaczyć równanie stycznych do wykresu funkcji
styczności
h)
, jeśli
podane są punkty
. W każdym przypadku narysować wykres funkcji oraz na tym samym rysunku
wyznaczoną w zadanym punkcie styczną
a)
…………
b)
,dla
c)
, dla
d)
,
i
i
.
Zadanie 14. Wyznaczyć równania wszystkich tych stycznych do wykresu funkcji
, które to
styczne są równoległe do dwusiecznej kąta drugiej ćwiartki układu współrzędnych, jeśli funkcja jest
określona wzorem
Zadanie 15. Na wykresie wielomianu
pozioma.
wskazać punkty, w których styczna jest