Pochodne funkcji jednej zmiennej
Transkrypt
Pochodne funkcji jednej zmiennej
Pochodne funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Pochodna funkcji w punkcie • Założenie techniczne f : ⊇ D → , x 0 ∈ D oraz istnieje ciąg punktów D ∋ x n → x 0 , x n ≠ x 0 • Funkcja f posiada w punkcie x 0 pochodną równą f ' (x 0 ) jeżeli dla dowolnego ciągu punktów D ∋ x n → x 0 , x n ≠ x 0 zachodzi limn →∞ f (x n ) − f (x 0 ) xn − x 0 = f ' (x 0 ) Pochodna funkcji w punkcie, c. d. • Pochodna, o ile istnieje, jest zdefiniowana jednoznacznie • Jeżeli istnieją f ' (x 0 ), g ' (x 0 ) to istnieją i są równe ( f + −g ) ' (x ) = f ' (x ) + −g ' (x ), ( f ⋅ g ) ' (x ) = f ' (x ) g (x ) + f (x ) g ' (x ) Jeżeli dodatkowo g (x ) ≠ 0, to 0 0 • 0 0 0 0 0 0 ( f / g ) ' (x ) = 0 f ' (x 0 ) g (x 0 ) − f (x 0 ) g ' (x 0 ) g (x ) 0 2 0 • Reguła łańcuchowa i pochodna funkcji odwrotnej Jeżeli istnieją f ' (x ), g ' ( f (x )), to istnieje również (g f ) ' (x ) i zachodzi równość 0 0 0 (g f ) ' (x ) = g ' ( f (x )) ⋅ f ' (x ) 0 0 0 • Jeżeli f ' (x 0 ) ≠ 0, f (x 0 ) = y 0 oraz istnieje −1 f funkcja odwrotna do funkcji f, , to również istnieje ( f −1 ) ' (y 0 ) i zachodzi równość ( f ) ' (y ) = 1 / f ' (x ) −1 0 0 • Zadanie: uzasadnić powyższe wzory Pochodna jako funkcja • Niech f : ⊇ D → • Niech C = {x 0 ∈ D : istnieje f ' (x 0 )} • Funkcją pochodną funkcji f (krócej: pochodną funkcji f) nazywamy funkcję f ' : C → ∀x ∈ C ( f ')(x ) = f ' (x ) • Zadanie: wyznaczyć pochodną funkcji exp i pochodną funkcji ln Funkcje elementarne • Funkcje elementarne zmiennej rzeczywistej: • funkcja stała, funkcja tożsamościowa • funkcja exp • funkcja sin ∋x x – funkcje otrzymane jako sumy, iloczyny, ilorazy funkcji elementarnych (wielomiany, funkcje wymierne) – funkcje odwrotne do funkcji elementarnych • funkcje ln, arcsin,... 2 ln x + 1,... – złożenia funkcji elementarnych Pochodne funkcji elementarnych • Ze wzorów na pochodną sumy, iloczynu, ilorazu i złożenia funkcji oraz ze wzoru na pochodną funkcji odwrotnej wynika, że funkcja pochodna funkcji elementarnej jest funkcją elementarną • Przykłady f (x ) = | f ' (x ) = xα | αx α−1 sin x | arctan x | cos x 1 x2 + 1 Pochodne a monotoniczność • Jeżeli f jest niemalejąca na przedziale (a,b) oraz dziedzina pochodnej funkcji f zawiera ten przedział, to ∀x ∈ (a,b ) f ' (x ) ≥ 0 • Zachodzi twierdzenie odwrotne: jeżeli ∀x ∈ (a, b ) f ' (x ) ≥ 0 to funkcja f jest niemalejąca na przedziale [a,b] • Zadanie: rozstrzygnąć czy jeżeli f jest (ściśle) rosnąca na przedziale (a,b) oraz dziedzina pochodnej funkcji f zawiera ten przedział, to ∀x ∈ (a, b ) f ' (x ) > 0 ? Pochodne drugiego rzędu a wypukłość • Pochodną drugiego rzędu funkcji f nazywamy funkcję pochodną pochodnej funkcji f f '' = ( f ') ' • Jeżeli funkcja f jest wypukła na przedziale (a,b) oraz dziedzina pochodnej drugiego rzędu funkcji f zawiera ten przedział, to ∀x ∈ (a, b ) f '' (x ) ≥ 0 • Zadanie: rozstrzygnąć, czy zachodzi twierdzenie odwrotne Pochodne wyższych rzędów wzór Taylora • Pochodne wyższych rzędów definiujemy rekurencyjnie: pochodną rzędu n. funkcji f nazywamy funkcję pochodną pochodnej (n-1). rzędu funkcji f f (n ) = ( f (n − 1) ) ', n = 2, 3, ... (n ) • Jeżeli istnieje f (x 0 ) , to w otoczeniu punktu x 0 funkcję f można przybliżyć wielomianem (st. n) limx →x (n ) f x n ( ) 0 f (x ) − f (x 0 ) + f ' (x 0 )(x − x 0 ) + ... + x − x0 ) ( n! 0 n (x − x ) 0 =0