pobierz plik referatu

Transkrypt

Rozdział monografii: 'Bazy Danych: Nowe Technologie', Kozielski S., Małysiak B., Kasprowski P., Mrozek D. (red.), WKŁ 2007
Rozdział 32
w
Wspomaganie podejmowania decyzji w rozmytych
bazach danych metodą AHP
w
1 Wstęp
da
.b
w
Streszczenie. Rozdział zawiera propozycje wspomagania podejmowania decyzji w rozmytych bazach danych (BD). Hierarchiczna metoda stosowana w
celach modelowania preferencji oraz funkcja użyteczności uzyskana poprzez
wnioskowanie rozmyte, mogą być podstawą do podejmowania decyzji na
podstawie danych rozmytych. Metoda jest pokazana na tle sposobów i przykładów dotyczących reprezentacji w BD informacji rozmytej i realizacji rozmytych zapytań. W rozdziale zaprezentowano aplikacje implementujące
omawiane zagadnienia.
pl
s.
W rzeczywistym świecie informacja jest zwykle podawana w sposób nieprecyzyjny i niepewny. W tradycyjnych, relacyjnych bazach danych, informacje przechowywane są w sposób konkretny i precyzyjny. Jest to rozwiązanie wygodne i proste. Dane pozyskiwane np.
z pomiarów są uzyskiwane w formie precyzyjnej. Katalogując dany obiekt lepiej jest jego
nieprecyzyjne cechy określić i zapisać w sposób precyzyjny, bo nieprecyzyjna ocena obiektu katalogowanego może być subiektywna. Transformacja atrybutów nieprecyzyjnych do
ścisłych wartości pomaga w zachowaniu obiektywnego opisu danego obiektu. Inaczej ma
się sprawa z wydobywaniem informacji zapisanej w formie precyzyjnej. Jeśli baza danych
zawiera informacje z urządzeń pomiarowych, to istotna jest ich interpretacja w postaci pewnego rozkładu. Przeszukując bazę danych często szuka się informacji nieprecyzyjnych, np.
cena produktu jest nieco mniejsza niż 100, a jakość produktu jest około 3. Ogólnie celem
jest z danych zapisanych precyzyjnie pozyskiwać pewną wiedzę o obiekcie.
Mieczysław Drabowski
Politechnika Krakowska, Samodzielne Laboratorium Informatyki Technicznej, ul. Warszawska 24,
31-155 Kraków, Polska
email: [email protected]
Krzysztof Czajkowski
Politechnika Krakowska, Instytut Teleinformatyki, ul. Warszawska 24, 31-155 Kraków, Polska
email: [email protected]
(c) Copyright by Politechnika Śląska, Instytut Informatyki, Gliwice 2007
M. Drabowski, K. Czajkowski
2 Reprezentacja informacji w rozmytej bazie danych
Idea rozmytej bazy danych najczęściej jest oparta na formułowaniu nieprecyzyjnych zapytań i pozyskiwaniu pewnego rozkładu „ostrych” odpowiedzi. Reprezentowanie informacji
w rozmytej relacyjnej bazie danych polega na przypisaniu atrybutom funkcji przynależności, które determinują krotkę do występowania w danej relacji. Rozkład wartości atrybutu
w danej relacji to możliwość, tabela 2.
w
Tabela 2. Informacja rozmyta reprezentowana przez rozkład wartości atrybutu
Wartość
0
0,25
0,75
0
0
w
w
Termin zmiennej lingwistycznej
bardzo mała
mała
średnia
duża
bardzo duża
Zależność pomiędzy wartościami atrybutu to podobieństwo. Jest ono relacją rozmytą
i dotyczy atrybutów dyskretnych, np. podobieństwo pomiędzy położeniem lokalu w bloku
mieszkalnym reprezentuje się przy pomocy macierzy podobieństwa, tabela 3.
da
.b
Tabela 3. Macierz podobieństwa atrybutu „położenie lokalu” w bloku mieszkalnym
I piętro
II piętro
III piętro
IV piętro
I piętro
1
0,8
0,6
0,4
II piętro
0,8
1
0,8
0,6
III piętro
0,6
0,8
1
0,8
IV piętro
0,4
0,6
0,8
1
3 Rozmyte zapytania
pl
s.
Rozmyte zapytanie w relacyjnej bazie danych realizuje się przez konstrukcje specjalnego
modułu, który przetwarza zapytanie w języku naturalnym na język bazy danych (np. SQL),
tabela 4.
Tabela 4. Realizacja zapytań rozmytych
id
4
5
3
powierzchnia
54
62
48
cena
850
1100
700
spełnienie
0.92
0.72
0.63
Innym sposobem może być implementacja dedykowanego języka zapytań rozmytych
FSQL, który można skonstruować na bazie języka SQL. Na przykład mając daną tabelę 5
wykonujemy następujące zapytanie SQL:
SELECT cena, powierzchnia
FROM mieszkania
346
Modelowanie preferencji w rozmytych bazach danych metodą AHP
WHERE cena<=’1000’and cena>=’800’ and powierzchnia>=’50’ and
powierzchnia <=’60’
To samo zapytanie można przedstawić w postaci rozmytego zapytania FSQL następująco:
SELECT cena, powierzchnia
FROM mieszkania
WHERE min(cena = ‘średnia’ ; powierzchnia =’duża’)
FULFILMENT RATE (FR) 0,6
w
Tabela 5. Tabela mieszkanie
powierzchnia
30
35
48
54
62
cena
500
650
700
850
1100
w
w
id
1
2
3
4
5
da
.b
Tabele 6 i 7 przedstawiają wyniki obu zapytań. W przykładzie atrybuty cena i powierzchnia
są zmiennymi lingwistycznymi określonymi na zbiorze terminów: cena: {bardzo mała, mała, średnia, duża, bardzo duża} i powierzchnia: {bardzo mała, mała, średnia, duża, bardzo
duża}.
Tabela 6. Wynik zapytania SQL
id
4
powierzchnia
54
cena
850
Wynikiem zapytania rozmytego jest zbiór wszystkich krotek z przetwarzanych tabel, które
spełniają ograniczenie nazywane współczynnikiem spełnienia (FR), który jest wyznaczany
przez rozmytą implikację wszystkich zbiorów rozmytych biorących udział w zapytaniu.
Tabela 7. Wynik zapytania FSQL
powierzchnia
54
62
48
cena
850
1100
700
spełnienie
0.92
0.72
0.63
pl
s.
id
4
5
3
Aby zwiększyć funkcjonalność zapytań rozmytych są implementowane rozmyte operatory
porównania. Klasyczne operatory porównania takie jak =, >, < można zastąpić ich rozmytymi odpowiednikami, np. takimi jak: mniej więcej równe (~=), nieco większe(~>), nieco
mniejsze(~<), znacznie mniejsze(~<<), znacznie większe(~>>).
4 Wnioskowanie w rozmytej bazie danych
Procedura wnioskująca na podstawie danych wejściowych (przesłanek) oraz informacji
z bazy wiedzy (implikacji) buduje wniosek w postaci zbioru rozmytego (rys. 1).
347
w
Rys. 1. Operacja wnioskowania rozmytego
w
da
.b
w
Tak powstały zbiór rozmyty jest poddawany operacji defuzyfikacji, która w wyniku daje
ostrą wartość wniosku. Przykładem wymagającym zastosowanie wnioskowania rozmytego
w aplikacji opartej na rozmytej bazie danych, może być sytuacja, w której celem jest wybranie najlepszej oferty spośród zbioru ofert zgromadzonych w bazie danych, a wybór jest
dokonywany przez wielu decydentów, którzy mogą mieć różne rangi. Jeśli decyzję podejmuje dwóch decydentów oraz dane są 2 zbiory rozmyte A, B, to zbiór C będzie decyzją
(wnioskiem) rozmytą. Dla wyżej wymienionego przypadku można zapisać następujące
reguły rozmyte:
Reguła I: Jeśli x jest A1 and y jest B1 to z jest C1
Reguła II: Jeśli x jest A2 and y jest B2 to z jest C2
Decyzję dla decydenta 1 stanowi zbiór rozmyty C1 o funkcji przynależności:
µ
C1
( z ) = min[
µ
A1
( x ), µ
B1
( y )]
(1)
Decyzję dla decydenta 2 stanowi zbiór rozmyty C2 o funkcji przynależności:
µ C ( z ) = min[ µ
2
A2
( x ), µ
B2
( y )]
(2)
pl
s.
Wnioskiem z obu reguł jest zbiór C o funkcji przynależności:
µ C ( z ) = max[ µ C ( z ), µ C ( z )]
1
2
(3)
Powyższa metoda wnioskowania często nazywana jest metodą maksymalnego pesymizmu.
Wartość ostrą decyzji rozmytej można uzyskać stosując różne metody defuzyfikacji, np.
metodę środka ciężkości oraz metodę ważonej wysokości.
5 Modelowanie preferencji metodą AHP
Metoda hierarchicznej analizy procesu (AHP – Analytic Hierarchy Process) znajduje zastosowanie we wspomaganiu wyboru wariantów decyzyjnych przez określenie ich preferencji,
przy założeniu porównywalności wariantów. Metodę AHP można realizować w czterech
etapach:
− etap I hierarchizacja problemu decyzyjnego,
− etap II ocena kryteriów przez porównanie parami,
− etap III określenie preferencji kryteriów,
348
w
− etap IV podjęcie decyzji na podstawie uzyskanych preferencji przez zastosowanie
funkcji użyteczności.
Na rys. 2 przedstawiony jest proces hierarchizacji problemu decyzyjnego w przypadku
decyzji grupowej. Oceny kryteriów dokonuje się przez względne porównanie parami każdego z nich nadając stopnie dominacji jednego kryterium nad drugim. Zakres i znaczenie
stopni dominacji jest przedstawiony w tabeli 8a. W tym celu buduje się macierz parzystych
porównań i wypełnia się ją wartościami stopni dominacji, tak jak w tabeli 8b. Kolejnym
krokiem jest wyliczenie współczynników względnej ważności kryteriów, które to zostaną
użyte podczas wnioskowania rozmytego jako rangi zbiorów rozmytych zastosowanych
w regułach rozmytych. W podejściu [6] wykorzystuje się metodę maksymalnej wartości
własnej. Jednak metoda ta w przypadku rozmytych wartości kryteriów nie zawsze gwarantuje dobre rozwiązania. Inną metodą, która gwarantuje dobre rozwiązanie jest metoda średniej geometrycznej:
w
α
=
i
n −1
n
∏
a
(4)
ij
j = 0
w
da
.b
gdzie aij to stopnie dominacji.
Nadanie rang decydentom biorącym udział w podejmowaniu decyzji grupowej jest dokonywane według następującego algorytmu [2], [1]. Każdy decydent di przypisuje odpowiedni termin tij zmiennej RANGA dla każdego decydenta dj. Na rys. 3 a, b, c, jest przedstawiony wybór terminów lingwistycznych dla trzech decydentów. Działanie to można
przedstawić w postaci koniunkcji rozmytych faktów:
x1 jest ti1 AND x2 jest ti2 AND … AND xn jest tin (dla i =1,…,n)
(5)
Decydent nie wybiera rangi dla samego siebie. Z koniunkcji (5) otrzymuje się funkcję
przynależności, która odzwierciedla decyzję grupową dla i-tego decydenta. Funkcję tę
można zapisać w postaci:
µd
j
(x ) =
υ j (x )
(x )
υ max
j
(6)
υ j : [0 ,1 ] → IR
pl
s.
Cij – jest singeltonem rozmytym terminu tij wybranym przez i-tego decydenta dla określenia
pozycji j-tego decydenta.
υ j ( x ) = µ C ( x ) + ... + µ C ( x )
1j
υ max
= sup x υ j ( x )
j
Tabela 8a. Tabela stopni dominacji
stopień dominacji
1
3
5
7
9
2, 4, 6, 8
nj
(7)
(8)
określenie
równoważność
niewielka przewaga
silna przewaga
bardzo silna przewaga
absolutna przewaga
wartości pośrednie
349
Tabela 8b. Macierz parzystych porównań
kryteria
cena
powierzchnia
wiek
cena
1
1/5
1/7
powierzchnia
5
1
1/3
wiek
7
3
1
w
w
w
da
.b
Rys. 2. Hierarchizacja procesu decyzyjnego w metodzie AHP
Rys. 3. Ranga decydentów d1, d2, d3
6.1 Motywacje
pl
s.
6 Przykładowa aplikacja – wspomaganie wyszukiwania nieruchomości
Prezentowana aplikacja jest rozmytą bazą danych zawierającą oferty wynajmu lub sprzedaży mieszkań, posiadającą interfejs umożliwiający rozmyte wyszukiwanie ofert, oraz moduł
wnioskowania i podejmowania decyzji rozmytej. Jej funkcjonalność jest rozszerzona przez
implementację modułu wspomagającego podejmowanie decyzji grupowej, opartego na
wnioskowaniu rozmytym [9] i wariancie metody AHP [7], [8] kształtującym preferencje.
Aplikacja jest pomocna dla klientów zamierzających zakupić mieszkanie i może być uzupełnieniem pracy [5], gdzie proces wyceny nieruchomości jest rozpatrywany z punktu widzenia sprzedającego.
Proces zakupu mieszkania wiąże się z podjęciem bardzo wielu ważnych i trudnych decyzji. Jest czasochłonny i skomplikowany. Decydując się na wybór konkretnej nieruchomości
bierze się pod uwagę wiele różnych kryteriów i warunków, których znaczenie i waga są
zróżnicowane. Przy wykonywaniu zapytania w klasycznym systemie wyszukującym, znale350
w
zione zostaną tylko te oferty, które dokładnie spełniają wszystkie podane kryteria. Może się
jednak okazać, że w bazie są oferty, których część własności różni się od podanych granicznych wartości tylko nieznacznie, np. o kilka procent, i różnica ta byłaby do przyjęcia
dla klienta. W ludzkim rozumieniu, tego typu oferty nadal spełniają w pewnym, większym
lub mniejszym stopniu wybrane kryteria, lecz w świecie logiki dwu wartościowej [0;1] zostają odrzucone. Innym przykładem może być bardzo często spotykany problem decyzyjny
w sytuacji, gdy wyboru dokonuje grupa osób (decydentów). Problem jest o tyle trudniejszy,
że decydenci mogą mieć różne preferencje i różny pogląd na ich znaczenie. Istotnym elementem też są relacje pomiędzy nimi samymi, czyli ich znaczenie w procesie decyzyjnym.
6.2 Konfiguracja aplikacji
w
da
.b
w
Przed przystąpieniem do pracy z aplikacją, należy odpowiednio ją skonfigurować, to znaczy ustawić parametry dla wybranych kryteriów oraz rozmytych operatorów porównywania
– choć istnieje możliwość przyjęcia ustawień domyślnych.
Dla poszczególnych kryteriów możliwe jest wybranie jednej z sześciu funkcji przynależności. Funkcje te zostały dobrane ze względu na ich łatwość w implementacji przy zachowaniu bardzo dobrej interpretacji zbiorów rozmytych. Każda z funkcji ma pewne punkty
charakterystyczne, które określają jej maksimum i minimum. Punkty są dobierane przez
użytkownika w zależności od wybranego kryterium i terminu lingwistycznego. Użytkownik
ma możliwość określenia do pięciu terminów lingwistycznych przypadających na jedno
kryterium. Każdy z zainicjowanych terminów lingwistycznych musi mieć wybraną funkcję
przynależności, oraz określone punkty charakterystyczne w zależności od typu wybranej
funkcji (rys. 4).
pl
s.
Rys. 4. Ustawienia dla wybranego kryterium.
W przypadku ustawienia rozmytych operatorów porównania dostępnych jest pięć operatorów o nazwach: FNM (Fuzzy Nieco Mniejsze ~<), FNW (Fuzzy Nieco Większe ~>), FMR
(Fuzzy Mniej więcej Równe ~=), FZW (Fuzzy Znacznie Większe ~>>), FZM (Fuzzy Znacznie Mniejsze ~<<).
351
Dokonuje się tego przez dobranie odpowiednich wartości punktów charakterystycznych.
Dla ułatwienia dostępne są pomocnicze rysunki przedstawiające funkcje przynależności określające dany operator [9] (rys. 5). Wartości punktów ustala się przez podanie procentowej
długości odcinka np. |AX| (gdzie A jest punktem charakterystycznym, a X jest wartością
poddawaną działaniu operatora) w odniesieniu do długości uniwersum atrybutu, którego
wartością jest X.
w
da
.b
w
w
Rys. 5. Ustawienia dla operatorów rozmytych.
6.3 Wyszukiwanie
pl
s.
Dostępne są dwa rodzaje wyszukiwania: proste i zaawansowane. Do wyboru są tylko te
kryteria, które wcześniej ustawił w opcjach ustawień aplikacji. Dla ustawień domyślnych
dostępne są wszystkie kryteria wyboru. W przypadku wyszukiwania prostego należy
wybrać odpowiednie terminy lingwistyczne i określić współczynnik spełnienia, który może
przyjmować wartości z przedziału [0,1]. Jeśli dla któregoś kryterium nie zostanie określony
żaden termin lingwistyczny, to kryterium to nie bierze udziału w operacji wyszukiwania.
W przypadku wyszukiwania zaawansowanego możliwe jest przypisywanie kryteriom
(atrybutom) odpowiednich wag w zależności od preferencji użytkownika, oraz terminów
lingwistycznych określających dane kryterium. Dodatkowo można określić typ relacji
rozmytych pomiędzy poszczególnymi atrybutami lub operatorami przez wybór T-norm lub
S-norm (na rys. 6 przedstawione jako and i or). Możliwe jest wykonywanie operacji porównań rozmytych przez wykorzystanie rozmytych operatorów. Wybór wagi nie jest konieczny, jeśli została ona wybrana wyżej przy ustalaniu terminów lingwistycznych dla kryteriów. Jeśli waga nie zostanie wcale określona, to zostanie przypisana domyślna waga o wartości 1. Rys. 6 przedstawia przykładową konfigurację dla czterech kryteriów. Wyjściowy
zbiór rozmyty jest określany jako relacje and i or, czyli odpowiednio T-normy lub S-normy
na wybranych zbiorach rozmytych z uwzględnieniem ich wag. Wynikiem jest tabela ofert.
352
w
w
w
da
.b
Rys. 6. Interfejs zapytań rozmytych.
6.4 Wspomaganie podejmowania decyzji grupowej
pl
s.
Aplikacja umożliwia wspomagania decyzji grupowej w warunkach niepewności rozmytej,
stosując modelowanie preferencji metodą AHP i wnioskowanie rozmyte do określenia
zbioru wynikowego ofert. Pierwszym etapem jest wybranie liczby decydentów biorących
udział w procesie oraz nadanie im nazw. Następnie każdy decydent określa wagi pozostałych (jak omówiono w podrozdziale 5). Decydenci wspólnie muszą wybrać wszystkie kryteria, które są dla nich istotne w procesie podejmowania decyzji.
Decydenci mogą dokonać ustawień manualnie określając nośnik zbioru rozmytego dla
wybranego kryterium, czyli podając minimalną i maksymalną wartość wybranego atrybutu.
Następnie wszyscy decydenci muszą wspólnie określić i zainicjować do pięciu terminów
lingwistycznych określających dane kryterium. Po zatwierdzeniu ustawień dla wybranych
terminów lingwistycznych zostaną utworzone zbiory rozmyte o trójkątnych funkcjach
przynależności na przedziale wartości określonym przez punkty A i B (rys. 7).
Rys. 7. Określenie terminów lingwistycznych
353
w
Każdy decydent wybiera terminy lingwistyczne dla wybranych kryteriów (rys. 8).
Wszystkie kryteria muszą zostać określone terminami lingwistycznymi. Następnie każdy
decydent wypełnia macierz względnych porównań w celu określenia swoich preferencji.
Kryteria, które nie są istotne dla wybranych decydentów, zostaną zweryfikowane przez
otrzymanie najniższych współczynników względnej ważności i będą miały minimalny
wpływ na podjętą decyzję cząstkową. Kryteria najbardziej istotne otrzymają najwyższe
współczynniki. Metoda wyliczania współczynników względnej ważności jest opisana
w podrozdziale 5. Decydenci określają swoje preferencje przez wybór stopni dominacji jednego kryterium nad drugim (rys. 8). W ten sposób określana jest decyzja cząstkowa dla
każdego decydenta. Zbiór rozmyty określający decyzję cząstkową decydenta można wyznaczyć metodą wnioskowania rozmytego tak, jak jest to opisane w rozdziale 4, lub wyznaczając funkcję przynależności metodą multiplikatywną zaproponowaną w [6]. Aplikacja
umożliwia wybranie jednej z wyżej wymienionych metod agregacji zbioru ofert. Aby
otrzymać zbiór wynikowy ofert należy podać współczynnik spełnienia o wartości z przedziału [0,1], który ograniczy ilość wyświetlanych ofert tylko do tych, które najlepiej spełniają określone preferencje.
da
.b
w
w
pl
s.
Rys. 8. Określenie preferencji decydentów
7 Przykładowa aplikacja – wspomaganie wyboru samochodu
Przedstawiana aplikacja ma za zadanie wsparcie procesu podejmowania decyzji przy zakupie samochodu. Zaimplementowano procedury umożliwiające obliczanie średnich wartości
funkcji przynależności, zmienne lingwistyczne charakteryzujące pojazd, wraz z odpowiednimi wartościami, którym przyporządkowano stosowne funkcje przynależności oraz różne
rodzaje iloczyn i sumy.
Konstruując zapytanie należy określić, które dane mają zostać wyświetlone (dla ułatwienia są pogrupowane w działy). Po ustaleniu listy kolumn można sprecyzować warunki, które spełniać będą musiały dane wynikowe. Po wybraniu kolumny, dla której zdefiniowane
zostały wartości rozmyte, z listy będzie można wybrać wartość nieprecyzyjną, np. spalanie:
354
w
niskie, średnie, wysokie lub wartość precyzyjną wpisaną przez użytkownika. Istnieje możliwość określenia rodzaju sortowania według wybranych kolumn w bazie lub według obliczonego indeksu, czyli możliwości, z jaką spełniony jest warunek rozmyty. Indeks ten obliczany jest w oparciu o wybraną funkcję przynależności i pobierany z odpowiedniej tabeli
z bazy. Możliwy jest również wybór funkcji przynależności (typy: S, L, T, Z, Pi) (rys. 9).
Jeżeli zostaną wybrane dwa warunki o wartościach nieprecyzyjnych, dodana zostanie
możliwość wyboru sposobu przynależności do zbioru rozmytego, który jest iloczynem lub
też sumą wcześniej wybranych zbiorów rozmytych (np. samochody bardzo szybkie
i o niskim spalaniu). Do wyboru są iloczyn i suma: mnogościowa, Hamachera, algebraiczna, Einsteina, logiczna i drastyczna (rys. 10). Wynikowe dane zostaną zaprezentowane
w postaci tabeli, z dodatkową kolumną, której wartości będą przedstawiały współczynnik
spełnienia.
da
.b
w
w
Rys. 9. Konstruowanie zapytania
pl
s.
Rys. 10. Konstruowanie zapytania cd.
355
8 Podsumowanie
W niniejszym rozdziale zaprezentowano zastosowania metody AHP we wspomaganiu podejmowania decyzji. Opracowane aplikacje potwierdzają jej przydatność szczególnie
w tych zastosowaniach, gdzie znaczna część kryteriów oceny ma charakter niepewny lub
rozmyty, a ocena dokonywana jest przez grupę subiektywnych decydentów.
w
Literatura
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
9.
da
.b
8.
w
w
Drabowski M., Tracz K.: Rozmyte bazy danych, Raport Techniczny, TR3/2004, SLIT PK,
Kraków, 2004.
Drabowski M., Turek W.: Rozmyte bazy danych z modułem wnioskowania, TR4/2005, SLIT
PK, Kraków, 2005.
Kandel A.: Fuzzy Expert Systems, CRC Press, New York 1991.
Kandel A., Langholz G.: Fuzzy Control Systems, CRC Press, New York 1993.
Korcala A.: Wybór wielokryterialny w warunkach niepewności rozmytej, w zastosowaniu do
wyceny nieruchomości, Politechnika Częstochowska, 2003.
Łachwa A.: Rozmyty świat zbiorów, relacji i reguł, Exit, Warszawa 2001.
Saaty T.L. How to Make a Decision: The Analytic Hierarchy Process, European Journal of
Operations Research, 48, 1990.
Saaty T.L.: Axiomatic Foundation of the Analytic Hierarchy Process, Management Science, Vol.
32, No. 7, 1986.
Siler W., Buckley J.J.: Fuzzy expert systems and fuzzy reasoning, Wiley-Interscience, John
Wiley & Sons, Inc., 1994.
pl
s.
356

pobierz plik referatu

Transkrypt

Podobne dokumenty

Formularz adiunkt IISI

ESI 8 - Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych

Czy zauważyłeś kiedyś w swoim otoczeniu napis „Fuzzy Logic

Podstawy modelowania i symulacji rozmytej

pobierz plik referatu - BDAS

Spis treści: Wprowadzenie Elżbieta Gołembska Logistyka

pobierz plik referatu - BDAS

JOURNAL OF KONES 2005 NO 3