Zbiory i odwzorowania

Zbiory i odwzorowania
1
Sposoby okre±lania zbiorów
1)
Zbiór wszystkich elementów postaci
zbiór
f (t), gdzie t przebiega
T:
{f (t); t ∈ T }.
2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj¡cych warunek
ϕ(x):
{x ∈ X : ϕ(x)}.
3)
Zbiór sko«czony mo»emy okre±li¢ przez wypisanie jego ele-
mentów, np.
{n ∈ N1 : n | 6} = {1, 2, 3, 6}.
2
• Zbiór liczb parzystych mo»emy okre±li¢ na dwa sposoby:
{2k; k ∈ Z} = {n ∈ Z : 2 | n}.
• Prost¡ o równaniu y = ax + b mo»emy okre±li¢ jako zbiór
punktów o wspóªrz¦dnych (x, ax + b), gdzie x ∈ R:
{(x, ax + b); x ∈ R}
lub jako zbiór tych punktów o wspóªrz¦dnych
speªniaj¡ warunek
(x, y), które
y = ax + b:
{(x, y) ∈ R2 : y = ax + b}.
3
Wa»ny przykªad zbiorów stanowi¡ przedziaªy osi liczbowej.
(a, b) = {x ∈ R : x > a ∧ x < b},
[a, b) = {x ∈ R : x > a ∧ x < b},
(−∞, a) = {x ∈ R : x < a}.
4
Rozwa»my dowolne dwa zbiory
A i B.
Suma A ∪ B skªada si¦ z wszystkich elementów, które nale»¡ do
zbioru A lub do zbioru B :
(x ∈ A ∪ B) ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B).
Cz¦±¢ wspólna (przekrój) A ∩ B skªada si¦ z wszystkich elementów, które nale»¡ jednocze±nie do zbioru A i do zbioru B :
(x ∈ A ∩ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B).
Ró»nica A \ B skªada si¦ z wszystkich elementów, które nale»¡
do zbioru A, ale nie nale»¡ do zbioru B :
(x ∈ A \ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x6∈B).
Oczywi±cie
(x6∈A) ⇔∼ (x ∈ A).
5
Ró»nica symetryczna
A ÷ B skªada si¦ z wszystkich elementów,
które nale»¡ do zbioru A, a nie nale»¡ do B , oraz tych, które
nale»¡ do B , a nie nale»¡ do A:
(x ∈ A ÷ B) ⇔ (x ∈ A Y x ∈ B).
Zauwa»my, »e
A ÷ B = (A \ B) ∪ (B \ A).
6
Przykªady:
[0, 2) ∪ [1, 3) = [0, 3), [0, 2) ∩ [1, 3) = [1, 2),
[0, 2) \ [1, 3) = [0, 1), [0, 2) ∪ {2} = [0, 2],
(−1, +∞) ∩ (−∞, 1) = (−1, 1),
[−1, 1] \ {−1, 1} = (−1, 1),
[−1, 1] \ {0} = [−1, 0) ∪ (0, 1].
Inny przykªad:
{n ∈ N1 : n | 12} ∩ {n ∈ N1 : n | 18} = {n ∈ N1 : n | 6}.
7
Wªasno±ci dziaªa« na zbiorach
Dla dowolnych zbiorów
A, B i C zachodz¡ nast¦puj¡ce równo±ci:
1) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C),
2) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C),
3) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C),
4) (A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C),
8
5) (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ B ,
6) (A \ B) ∪ C = (A ∪ C) \ (B \ C),
7) (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C),
8) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C).
Takich równo±ci mo»na dowodzi¢ dwiema metodami rachunku
zda« (bardziej formalna) i diagramów Venne'a (bardziej obrazowa).
9
Inkluzja zbiorów
Mówimy, »e zbiór
A jest zawarty w zbiorze B , co zapisujemy
A ⊂ B, je±li wszystkie elementy zbioru A nale»¡ do zbioru B ,
czyli dla dowolnego elementu x prawdziwe jest zdanie
(x ∈ A) ⇒ (x ∈ B).
Przykªady:
{0} ⊂ [0, 1) ⊂ (−1, 1) ⊂ [−1, 1] ⊂ (−∞, 1],
N1 ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
10
Wªasno±ci:
1) Je»eli
A ⊂ B i B ⊂ A, to A = B .
2) Je»eli
A ⊂ B i B ⊂ C , to A ⊂ C .
3) Je»eli
A ⊂ C i B ⊂ C , to A ∪ B ⊂ C .
4) Je»eli
A ⊂ B i A ⊂ C , to A ⊂ B ∩ C .
Zadanie.
Wyka», »e dla dowolnych zbiorów
A, B i C zachodz¡
nast¦puj¡ce równowa»no±ci:
A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A ⇔ A ∪ B = B.
11
Zbiór pusty to zbiór posiadaj¡cy
symbolem
0 elementów, oznaczamy go
∅.
Zbiór pusty jest zawarty w ka»dym zbiorze:
∅ ⊂ A.
Jest tylko jeden zbiór pusty:
(∅1 ⊂ ∅2) ∧ (∅2 ⊂ ∅1) ⇒ (∅1 = ∅2).
12
Algebra podzbiorów danego zbioru
Przez
X oznaczmy dowolny zbiór. Zbiór podzbiorów zbioru X
oznaczamy symbolem 2X , na przykªad:
je±li
X = {a, b}, to 2X = {∅, {a}, {b}, {a, b}},
je±li X = {1, 2, 3}, to
2X = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.
Twierdzenie.
Je±li zbiór
X ma n elementów, to zbiór 2X ma
Je±li mamy ustalony zbiór
X i rozwa»amy tylko jego podzbiory,
2n elementów.
to zbiór
X nazywamy przestrzeni¡ lub uniwersum.
13
A (w przestrzeni X ) nazywamy zbiór A0 =
X \ A. Dla ka»dego elementu x ∈ X prawdziwe jest zdanie
Dopeªnieniem zbioru
x ∈ A0 ⇔∼ (x ∈ A).
Zachodz¡ nast¦puj¡ce zale»no±ci:
A ∩ A0 = ∅, A ∪ A0 = X, (A0)0 = A,
∅0 = X, X 0 = ∅.
14
Odnotujmy prawa de Morgana dla zbiorów:
(A ∪ B)0 = A0 ∩ B 0, (A ∩ B)0 = A0 ∪ B 0.
Podobne zale»no±ci zachodz¡ dla wi¦kszej liczby zbiorów, na
przykªad:
(A ∪ B ∪ C)0 = A0 ∩ B 0 ∩ C 0,
(A ∩ B ∩ C ∩ D)0 = A0 ∪ B 0 ∪ C 0 ∪ D0.
15
Iloczyn kartezja«ski zbiorów
Rozwa»my dwa zbiory
A i B . Z dowolnych elementów a ∈ A i
b ∈ B mo»emy utworzy¢ par¦ (a, b). Zbiór wszystkich takich par
oznaczamy symbolem A×B i nazywamy iloczynem kartezja«skim
zbiorów A i B :
A × B = {(a, b); a ∈ A, b ∈ B},
przy czym
(a, b) = (a0, b0) ⇔ (a = a0) ∧ (b = b0).
Uwaga.
Je±li zbiory
A i B s¡ sko«czone i zbiór A ma m elementów, a zbiór B ma n elementów, to zbiór A × B ma m · n
elementów.
16
Kwadratem kartezja«skim zbioru
A nazywamy zbiór A2 = A × A.
Przykªad. R2 = R×R pªaszczyzna (z ukªadem wspóªrz¦dnych),
[0, 3) × (1, 2] ⊂ R2,
[0, 3) × (1, 2] = {(x, y); x ∈ [0, 3), y ∈ (1, 2]}.
17
Analogicznie okre±lamy iloczyn kartezja«ski wi¦kszej liczby zbiorów, na przykªad
A × B × C = {(a, b, c); a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C},
przy czym
(a, b, c) = (a0, b0, c0) ⇔ (a = a0) ∧ (b = b0) ∧ (c = c0).
Zbiór
An = |A × A ×
{z . . . × A} =
n
= {(a1, a2, . . . , an); a1, a2, . . . , an ∈ A}
nazywamy
n-t¡ pot¦g¡ kartezja«sk¡ zbioru A, na przykªad R3 to
przestrze« trójwymiarowa (z ukªadem wspóªrz¦dnych) i ogólnie
Rn to przestrze« n-wymiarowa.
18
Funkcje
Je»eli mamy dwa zbiory
X i Y , i ka»demu elementowi zbioru X
przyporz¡dkujemy jeden i tylko jeden element zbioru Y , to takie
przyporz¡dkowanie nazywamy funkcj¡.
f : X → Y , X dziedzina funkcji f , Y przeciwdziedzina funkcji f .
19
Przykªady:
• f : Z → Z, f (n) = n + 1,
• gi : R → R, g1(x) = ax + b, g2(x) = sin x, g3(x) = 2x,
g4(x) = anxn + . . . + a1x + a0,
• E(x) = [x], np. E : R → R lub E : R → Z,
• f : N1 × N1 → N1, f (m, n) = NWD(m, n),
20
• g : R3 → R, g(x, y, z) = xy + yz + zx,
• h : R → R2, h(t) = (cos t, sin t),
• X zbiór, IdX : X → X , IdX (x) = x,
• T zbiór trójk¡tów, P : T → R, P (ABC) pole trójk¡ta ABC ,
• ci¡g a1, a2, a3, . . . elementów zbioru A to funkcja
a : N1 → A, a(n) = an.
21
Zbiorem warto±ci funkcji
f : X → Y nazywamy zbiór
f (X) = {f (x); x ∈ X} = {y ∈ Y : ∃x∈X y = f (x)}.
Przykªady:
• f : R → R, f (x) = xn, gdzie n ∈ N1,
(
f (R) =
[0, +∞), je±li n jest parzyste,
R,
je±li n jest nieparzyste.
• g : R → R, g(x) = ax + b, gdzie a, b ∈ R,
(
g(R) =
R,
je±li a 6= 0,
{b}, je±li a = 0.
22
• E : R → R, f (x) = [x], E(R) = Z
• h : R → R2, h(t) = (cos t, sin t), h(R) =?
Uwaga. Zbiór warto±ci jest podzbiorem przeciwdziedziny:
f (X) ⊂ Y,
nie musi by¢ równy caªej przeciwdziedzinie!
23
Denicja.
Funkcj¦
f : X → Y nazywamy ró»nowarto±ciow¡ lub
injekcj¡, je±li ró»nym elementom zbioru X przyporz¡dkowuje ró»ne elementy zbioru Y :
∀x1,x2∈X x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2).
Warunek równowa»ny:
∀x1,x2∈X f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2.
24
Przykªady injekcji:
• f : R → R, f (x) = ax + b, gdzie a 6= 0,
• g : [− π2 , π2 ] → R, g(x) = sin x,
• dowolna funkcja rosn¡ca f : R → R.
Pytanie.
Dla jakich
n funkcja f : R → R, f (x) = xn jest injekcj¡?
25
Denicja.
Funkcj¦
f : X → Y nazywamy funkcj¡ na lub surjekcj¡, je±li ka»dy element zbioru Y jest przyporz¡dkowany jakiemu±
elementowi zbioru X , czyli
∀y∈Y ∃x∈X f (x) = y.
Funkcja jest na, gdy jej przeciwdziedzina jest zbiorem warto±ci:
f (X) = Y .
26
Przykªady surjekcji:
• f : R → R, f (x) = ax + b, gdzie a 6= 0,
• f : R → [−1, 1], f (x) = sin x,
• f : R → Z, f (x) = [x].
Pytanie.
Dla jakich
n funkcja f : R → R, f (x) = xn jest surjek-
cj¡?
27
Denicja.
Funkcj¦
f : X → Y nazywamy wzajemnie jednoznacz-
n¡ lub bijekcj¡, je±li jest ró»nowarto±ciowa i na (czyli jest injekcj¡ i surjekcj¡).
Przykªady bijekcji:
• f : R → R, f (x) = ax + b, gdzie a 6= 0,
• f : R \ {0} → R \ {0}, f (x) = 1
x,
• f : [− π2 , π2 ] → [−1, 1], f (x) = sin x,
• f : R → R+, f (x) = ax, gdzie a > 0 i a 6= 1.
28
Rozwa»my funkcje
f : X → Y i g : Y → Z . Dla x ∈ X mamy
y = f (x) ∈ Y , wi¦c mamy równie» g(y) = g(f (x)) ∈ Z . W ten
sposób okre±lamy zªo»enie funkcji f i g :
g ◦ f : X → Z, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) dla x ∈ X.
Przykªad: f, g : R → R, f (x) = x + 1, g(x) = x2,
f (g(x)) = x2 + 1, g(f (x)) = (x + 1)2.
29
Funkcja
f : X → Y jest bijekcj¡ wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy
element y ∈ Y jest przyporz¡dkowany dokªadnie jednemu elementowi x ∈ X . Wówczas istnieje funkcja g : Y → X taka, »e
g(y) = x ⇔ y = f (x) dla x ∈ X, y ∈ Y.
Funkcja
g speªnia warunki:
∀x∈X g(f (x)) = x i ∀y∈Y f (g(y)) = y,
czyli
g ◦ f = IdX i f ◦ g = IdY .
Funkcj¦
g nazywamy funkcj¡ odwrotn¡ do funkcji f i oznaczamy
symbolem f −1 .
30
Przykªady funkcji odwrotnych:
• f : R → R, f (x) = ax + b, gdzie a 6= 0,
f −1 : R → R, f −1(x) = x−b
a ,
• g : [0, +∞) → [0, +∞), g(x) = xn, gdzie n ∈ N, n > 2
√
g −1 : [0, +∞) → [0, +∞), g −1(x) = n x,
• h : R → (0, +∞), h(x) = ax, gdzie a > 0, a 6= 1,
h−1 : (0, +∞) → R, h(x) = loga(x).
31
Rozwa»my funkcj¦
f : X → Y . Dla dowolnego zbioru A ⊂ X okre-
±lamy jego obraz:
f (A) = {f (x); x ∈ A} = {y ∈ Y : ∃x∈A f (x) = y}.
Dla dowolnego zbioru
B ⊂ Y okre±lamy jego przeciwobraz:
f −1(B) = {x ∈ X; f (x) ∈ B}.
32
Przykªady:
• f : R → R, f (x) = x2 + x + 1,
−1 (( 3 , 1)) = (−1, − 1 ) ∪ (− 1 , 0)
f ([−1, 2]) = [ 3
,
7]
,
f
4
4
2
2
• g : R → R, g(x) = sin 3x,
g((0, π3 )) = (0, 1], g −1([−1, 0)) =
4π ) ∪ . . . =
)
∪
(π,
= . . . ∪ (− π3 , 0) ∪ ( π3 , 2π
3
3
S
(2k−1)π 2kπ
(
, 3 )
k∈Z
3
• E : R → R, E(x) = [x],
√ √
√ √
−1
E((− 2, 2)) = {−2, −1, 0, 1}, E ((− 2, 2)) = [−1, 2).
33
Zadanie.
Rozwa»my funkcj¦
f : Z × Z → Z, f (x, y) = xy . Znajd¹
obraz zbioru
{1, 10, 100, 1000} × {1, 10, 100, 1000}
oraz przeciwobraz zbioru
{1, 2, 3}.
34
Wªasno±ci.
Niech
f : X → Y b¦dzie dowoln¡ funkcj¡. Wówczas
dla dowolnych zbiorów A, B ⊂ X :
a)
f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B),
b)
f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B),
c)
f (A) \ f (B) ⊂ f (A \ B),
oraz dla dowolnych zbiorów
C, D ⊂ Y :
a)
f −1(C ∪ D) = f −1(C) ∪ f −1(D),
b)
f −1(C ∩ D) = f −1(C) ∩ f −1(D),
c)
f −1(C \ D) = f −1(C) \ f −1(D).
35