Materiał wykładu, Wojciech Maćkowiak, UG

Wojciech Maćkowiak
8 czerwca 2004 roku
Algebra
1. Definicja działania n-elementowego, łącznego, przemiennego, elementu neutralnego, odwrotnego, rozdzielności
działań, algebry, algebry określonego typu, podalgebry, homomorfizmu i izomorfizmu grup.
2. Jądro i obraz homomorfizmu ϕ: G1 → G2 to odpowiednio podgrupy grup G1 , G2 .
3. Definicja produktu kartezjańskiego grup i działania w nim, zbioru generatorów grupy i rzędu elementu grupy.
4. Grupa permutacji Sn jest generowana przez elementy rzędu 2.
5. Twierdzenie Calyley’a.
6. Definicja podgrupy normalnej.
7. Podgrupa H jest normalna ⇐⇒ ∀g∈G gHg −1 ⊆ H.
8. Definicja g1 ≡ g2 ⇐⇒ g1 g2−1 ∈ H (relacja równoważności), warstwy lewo i prawostronnej.
9. Wszystkie warstwy są równoliczne.
10. Definicja indeksu podgrupy.
11. Twierdzenie Lagrange’a.
12. Definicja grupy ilorazowej (G/H, [e], ·).
13. Jeżeli H C G, to ϕ: G → G/H, gdzie ϕ(g) = gH = [g] jest homomorfizmem, ker ϕ jest podgrupą normalną.
14. (Twierdzenie o izomorfizmie) Jeżeli f : G G1 jest homomorfizmem i surjekcją, to G/ ker f ' G1 .
15. Definicja grupy alternującej, grupy prostej, normalizatora zbioru.
16. Twierdzenie Thomsona - każda grupa skończona rzędu nieparzystego nie jest prosta.
17. NH (M ) jest podgrupą grupy H.
18. Moc klasy podziorów sprzężonych ze zbiorem M za pomocą elementów z podgrupy H jest równa |G : NH (M )|.
19. Definicja komutatora, komutanta i centrum grupy.
20. [G, G] C G; G/[G, G] jest abelowa; jeżeli G jest abelowa, to [G, G] = e.
21. Definicja działania grupy G na zbiorze X, definicja G-zbioru.
22. Działanie grupy G na zbiorze X jest zadane ⇐⇒ istnieje odwzorowanie G × X → X takie, że ∀x∈X ex = x,
∀f,g∈G ∀x∈X g(f x) = (gf )x.
23. Definicja orbity i grupy izotropii punktu, działania tranzytywnego, relacji równow. x ∼ y ⇐⇒ ∃g∈G gx = x.
24. Gx jest podgrupą G; G(x) i G(y) są albo równe albo rozłączne; jeżeli y = gx, to gGx g −1 = Gy .
25. Jeżeli X jest skończony, to ∀x∈X |G| = |Gx | · |G(x)|.
26. Moc skończonego zbioru X, na którym działa p-grupa, to |X| = |X G | mod p.
27. Definicja grupy rozwiązalnej i twierdzenie Thomsona - każda grupa rzędu nieparzystego nie jest rozwiązalna.
28. Twierdzenie Sylowa.
29. Jeżeli |G| = pn · m, (p, m) = 1, p jest pierwsza, to Sp |m i Sp = 1 mod p, Sp to ilość p-podgrup Sylowa w G.
30. Niech |G| = pq, wtedy G jest abelowa postaci Zpq . Jeżeli q ≡ 1 mod p to istnieją takie grupy nieabelowe.
31. Definicja grupy abelowej skończenie generowanej, sumy prostej podgrup, grupy wolnej.
32. Każda skończenie generowana grupa abelowa jest sumą prostą (produktem) skończonej ilości grup cyklicznych
skończonych i nieskończonych.
33. Zbiór elementów skończonego rzędu grupy abelowej skończenie generowanej jest pogdrupą.
34. Jeżeli A jest skończenie genrowana, to podgrupa elementów torsyjnych At jest skończona.
1
35. Podgrupa B skończenie generowanej wolnej grupy abelowej A jest wolna.
36. Skończenie generowana beztorsyjna grupa abelowa jest wolna.
37. Jeżeli A jest skończenie generowaną grupą abelową, to A = At ⊕ A/At .
38. Jeżeli |A| = m1 · m2 , (m1 , m2 ) = 1, to A = m1 A ⊕ m2 A.
39. Każda skończona p-grupa abelowa jest izomorficzna z Apr11 ⊕ . . . ⊕ Aprss , gdy |A| = pr11 · . . . · prss .
40. Jeżeli b ∈ A, k k b 6= 0 i ma rząd pm , to b ma rząd pm+k . Jeżeli b.
41. Definicja i własności pierścienia, dzielnika zera, homomorfizmu pierścieni, ideału, pierścienia ilorazowego.
42. Każde jądro homomorfizmów pierścieni jest ideałem. Jeżeli f : R1 → R2 , to Im(f ) ' R1 / ker(f ).
43. Definicja dziedziny ideałów głównych, charakterystyki ciała K, ideału generowanego przez zbiór A.
44. Przekrój, suma, iloczyn ideałów przemiennych z „1” jest ideałem.
45. Definicja pierścienia szeregów formalnych, wielomianów, stopnia i jego własności, wielomianu unormowanego.
46. f, g ∈ R[x], g unormowany. Wtedy ∃q,r∈R[x] f = g · q + r, oraz deg(r) < deg(g).
47. Jeżeli K jest ciałem, to K[x] jest dziedziną ideałów głównych.
48. Definicja dziedziny, pierścienia funkcji wielomianowych, pierwiastka wielomianu, ideału pierwszego.
49. Twierdzenie Bézouta. a jest pierwiastkiem f ⇐⇒ (x − a)|f .
50. Ideał I jest pierwszy ⇐⇒ R/I jest dziedziną.
51. Definicja ideału maksymalnego, liczb stowarzyszonych.
52. Każdy pierścień przemienny z „1” ma ideał maksyamlny.
53. Ideał m ⊂ R jest maksymalny ⇐⇒ R/m jest ciałem.
54. Chińskie twierdzenie o resztach i wnioski.
55. Definicja systemu multiplikatywnego, pierścienia ułamków i działania w nim, lokalizacji pierścienia,
56. Jeżeli λ: R → RS , ϕ: R → R1 , to ∃!ψ: RS → R1 . λ: R → RS jest „1-1” ⇐⇒ ∀x6=06=y∈S x · y 6= 0 w R.
57. Homomorfizm λ: R → RS jest „1-1” ⇐⇒ żaden element z S nie jest dzielnikiem zera w R.
58. Definicja elementu nierozkładalnego i prostego, pierścienia z jednoznacznością rozkładu.
59. Element p ∈ P jest pierwszy ⇐⇒ ideał (p) jest pierwszy.
60. R dziedzina z jednoznacznym rozkładem ⇐⇒ każdy element 6= 0 nieodwracalny jest iloczynem elmentów
nierozkładalnych oraz każdy element nierozkładalny jest pierwszy.
61. R dziedzina ideałów głównych, wtedy ∀a∈R nieodwracalny i a 6= 0, a jest iloczynem elementów nieodwracalnych.
62. Dziedzina ideałów głównych jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu.
63. Jeżeli R jest dziedziną ideałów głównych, to d = N W D(a, b) ⇐⇒ (d) = (a, b).
64. Jednoznaczość rozkładu w pierścieniach wielomianów – twierdzenie Gaussa.
65. Definicja pierścienia Euklidesowego, każdy pierścień Euklidesowy jest dziedziną ideałów głównych.
66. Definicja ciała algebraicznie domkniętego i algebraicznego domknięcia. Zasadnicze twierdzenie algebry.
67. Jedyne nierozkładalne wielomiany C[x] to wielomiany liniowe,
68. Każde ciało jest zawarte w ciele algebraicznie domkniętym.
69. Istnieje liczba pierwsza p taka, że |K| = pn dla pewnego n.
70. Każde ciało skończone ne jest algebraicznie domknięte.
71. Definicja modułu, podmodułu, homomorfizmów modułów, modułów ilorazowych, reprezentacji grupy.
72. Istnienie pierw. wielomianu jest równoważne z istnieniem pierw. wielomnianu o wsp. przy xn−1 równym 0.
73. Wzory na pierwiastki równania sześciennego; jeżeli ∆ = 0 to równanie ma pierwiastki wielokrotne.
74. Zależność rozwiązań równania sześciennego od znaku ∆.
2