Wydział Matematyki i Informatyki XX

Wydział Matematyki i Informatyki
XX-lecie istnienia Wydziału Matematyki i Informatyki UŁ
sesja naukowa 18 listopada 2016 r.
„Nowa tematyka badawcza w matematyce i informatyce”
9.00-9.10
Otwarcie sesji:
wystąpienie Dziekana Wydziału Matematyki i Informatyki UŁ Marcina Studniarskiego
9.10-9.40
„Metody i zastosowania teorii prawdopodobieństwa.”
Adam Paszkiewicz (współautorzy: Anna Chojnowska-Michalik, Stanisław Goldstein,
Ryszard Jajte, Andrzej Łuczak, Andrzej Komisarski)
Omówimy dwa rodzaje wyników. Pierwszy to twierdzenia, które można sformułować prosto
i zrozumiale, choć dowody mogą być nawet bardzo długie. Stanowią one narzędzia do
dalszych wnioskowań lub wzorce analogicznych konstrukcji. Wspomnimy w szczególności:
Twierdzenie R. Jajte o ważonych prawach wielkich liczb; charakteryzację szeregów
zbieżnych prawie pewnie A. Paszkiewicza; istnienie produktów operatorów Pn...P1
rozbieżnych dla n  , gdy P1, P2,... wybierane są ze skończonego układu {Q1,..., Qn}
projekcji, a nawet z układu wartości oczekiwanych (twierdzenie A. Komisarskiego);
twierdzenie S. Goldsteina o ogólnej postaci ortogonalnej formy wektorowej na dowolnej
algebrze von Neumanna.
Drugi rodzaj wyników to twierdzenia podstawowe w wybranych specjalistycznych
dziedzinach, których rozwój jest niezbędny z uwagi na interpretację fizyczną i inne
zastosowania. Należy tu topologiczna i teoriomiarowa analiza stochastycznych równań
różniczkowych A. Chojnowskiej-Michalik, a także matematyczne uściślenia podstaw
informacji i informatyki kwantowej A. Łuczaka i współpracowników.
9.45-10.05
„Nowego typu odległości jako narzędzia w metrycznej teorii punktu stałego.”
Robert Plebaniak
Podstawowym instrumentem metrycznej teorii punktu stałego jest, jak sama nazwa wskazuje,
metryka. Metryka jest dość restrykcyjnym narzędziem, od którego żąda się między innymi
symetrii. Stosunkowo niedawno, w teorii punktu stałego pojawiła się koncepcja wyrażania
warunków kontrakcyjnych za pomocą nowego typu odwzorowań, które uogólniają tradycyjną
metrykę. Można tu wymienić wyniki D. Tataru, O. Kada, T. Suzuki i W. Takahashi,
T. Suzuki, L.-J. Lin, W.-S. Du, I. V´alyi. Za pomocą tych nowych odległości, autorzy
licznych prac wykazywali twierdzenia, stanowiące istotne rozszerzenia dobrze znanych w tej
teorii faktów. Podczas mojego odczytu przedstawię wyniki pochodzące z różnych prac,
dotyczące nowego typu odwzorowań realizujących odległość między punktami.
Na zakończenie zaprezentuję także, aktualne rezultaty własnych badań dotyczące
przedstawionej wyżej tematyki.
10.10-10.35 "Zbieżność ideałowa ciągów i jej zastosowania."
Marek Balcerzak (współautor: Małgorzata Filipczak)
Dajemy krótki przegląd wyników nt. ideałowej zbieżności wraz z zastosowaniami.
W szczególności prezentujemy wkład matematyków z Łodzi w te badania w ciągu ostatnich
16 lat.
10.40-11.05
„Struktury geometryczne na rozmaitościach Riemannowskich i Finslerowskich – wzory
całkowe, minimalność, entropia.”
Kamil Niedziałomski
Aktualna działalność naukowa pracowników Katedry Geometrii dotyczy zagadnień
związanych z niezmiennikami i własnościami pewnych struktur geometrycznych
na rozmaitościach Riemannowskich bądź, ogólniej, Finslerowskich. Dokładniej, badane
są własności foliacji na tych obiektach poprzez odpowiednie niezmienniki i wzory całkowe
z nimi związane oraz oszacowania entropii działań grup. Ponadto, badania dotyczą
minimalności struktur geometrycznych wyznaczonych przez redukcję grupy ortogonalnej do
pewnej domkniętej podgrupy.
Celem referatu jest dokładniejsze wyjaśnienie tych zagadnień.
11.05-11.25
Przerwa na kawę
11.25-11.45
„Optymalizacja względem dowolnych zbiorów preferencji”
Marcin Studniarski
W niektórych modelach ekonomicznych preferencje konsumentów lub producentów są
opisane za pomocą ogólnych odwzorowań preferencyjnych, niekoniecznie prowadzących do
relacji częściowego porządku. Zakłada się jedynie, że decydent będący w stanie x potrafi
podać zbiór stanów P(x), które uważa za lepsze od x. Na przykład firma produkująca x
jednostek jakiegoś produktu chętnie zwiększyłaby produkcję do 3x (gdyby istniał na nią
popyt), ale więcej wyprodukować już nie byłaby w stanie. Zatem zbiór preferowanych
stanów nie jest stożkiem, czyli zawodzi tutaj klasyczna teoria optymalizacji wielokryterialnej.
W referacie podam przykłady kilku twierdzeń z zakresu optymalizacji wielowartościowej
(set-valued optimization), które można uzyskać w tej ogólniejszej sytuacji.
11.50-12.15
„Nierówność Łojasiewicza z gradientem i zastosowania”
Stanisław Spodzieja
W 1962 S. Łojasiewicz udowodnił, że: Zbiór zer funkcji analitycznej w otoczeniu punktu jest
retraktem deformacyjnym tego otoczenia (jeśli jest ono dostateczne małe). Rezultat ten
uzyskał metodą całkowania pola gradientowego. Głównym punktem w tym dowodzie była
następująca, udowodniona przez Łojasiewicza, nierówność z gradientem: Niech f : (n, a) →
(, 0) będzie rzeczywistą funkcją analityczną (lub semialgebraiczną klasy C1). Wówczas
istnieją stałe dodatnie C, ε oraz stała  ∈ [0, 1) takie, że zachodzi następująca nierówność
Łojasiewicza z gradientem (Ł2) |∇f(x)| ≥ C|f(x)| , gdy |x − a| < ε. Kres dolny wykładników 
w (Ł2), oznaczany przez a(f), nazywany jest wykładnikiem Łojasiewicza w nierówności
z gradientem. Liczba a(f) jest wymierna i nierówność (Ł2) zachodzi dla każdego
wykładnika  ≥a(f) i pewnych stałych dodatnich C, ε. Dowód twierdzenia o retrakcie
deformacyjnym Łojasiewicz opierał się na następującym fakcie: Niech f : U → R będzie
funkcją analityczną, gdzie U ⊂n jest zbiorem otwartym i niech x : [0, β) → U będzie
maksymalną krzywą spełniającą układ (tj., rozwiązaniem integralnym prawostronnym
układu) x0 (t) = ∇f(x(t)). Jeśli krzywa x ma punkt graniczny x0 ∈ U, tj., istnieje ciąg t ∈ [0, β)
taki, że t → β i x(t) → x0, gdy ν → ∞, to długość krzywej x jest skończona oraz β = +∞.
W szczególności x(t) → x0, gdy t → ∞.
Celem referatu jest przedstawienie zastosowań powyższych rezultatów.
12.20-12.45
„Modele matematyczne i metody obliczeniowe w biologii i mechanice”
Andrzej Nowakowski
Modele matematyczne leczenia raka, gojenia się rany, rozwoju epidemii, rozwoju
arteriosklerozy, czy w biologii molekularnej opisane są nieliniowymi układami równań
o pochodnych cząstkowych. Podobnie sytuacja przedstawia się z modelowaniem zjawisk
związanych z mechaniką płynów, obróbką mechaniczną pręta, czy przemieszczaniem się faz
w metalach złożonych z kilku składników. Dotychczasowe badania tych modeli ograniczały
się do udowodnienia twierdzeń o istnieniu rozwiązań w odpowiedniej klasie funkcji lub
stabilności rozwiązań względem warunków początkowych, czy uzyskania pewnych
jakościowych własności rozwiązań. Każde z tych równań posiada parametry, niektóre z nich
mają wpływ na jakość zachowania się układu równań. Problemami które trzeba rozwiązać
są: jak dobrać parametry sterujące układów równań by otrzymać rezultaty w postaci
wyleczenia raka, zagojenia się rany, kontroli (zatrzymania się) rozwoju epidemii, czy
arteriosklerozy. Ten sam problem dotyczy również kontroli przemieszczania się faz
w metalach, czy w mechanice płynów jak również w genetyce populacyjnej. Następnie
należy stworzyć algorytmy obliczeniowe pozwalające efektywnie wyliczyć (i udowodnić!)
przybliżone rozwiązanie.
12.50-13.15
„O pewnych otwartych problemach związanych z dyskretnymi układami dynamicznymi
w analizie abstrakcyjnej.”
Ryszard J. Pawlak (współautorzy: Ewa Korczak-Kubiak, Anna Loranty)
Referat ten będzie zawierał nierozstrzygnięte problemy, które powstały w kontekście naszych
badań i uzyskanych dotychczas wyników. Zaprezentowane zagadnienia będą głównie
dotyczyły uogólnionych przestrzeni metrycznych (GMS), a w końcowej części problemów
związanych z funkcjami rzeczywistymi.
Przez cały referat motywem przewodnim będzie pojęcie topologicznej entropii w dyskretnych
układach dynamicznych.
W ramach naszego tematu, proponujemy zasygnalizowanie następujących zagadnień:
1. GMS Baire’a i nieskończone gry topologiczne.
2. Przedział p-jednostkowy w kontekście tranzytywności funkcji i chaosu w sensie
Devaney’a.
3. Punkty ogniskujące entropię.
4. 0-aproksymatywna ciągłość i punkty nieprzewidywalne funkcji.
Jeśli czas na to pozwoli, w nawiązaniu do ostatniego tematu, zaprezentowane będą pewne
pytania postawione w tym roku podczas konferencji przez prof. Pawła Walczaka i prof.
Władysława Wilczyńskiego oraz związane z nimi szersze problemy.
13.15-14.30
Przerwa obiadowa (posiłek na koszt własny)
14.30-15.30
Matematyka w konfrontacji z dzisiejszymi oraz nadchodzącymi wyzwaniami nauki,
technologii i gospodarki – wykład i dyskusja
Marek Niezgódka
15.35-15.55
"Warunki brzegowe: układanka."
Antoni Pierzchalski
Hasło "warunki brzegowe" dla operatora różniczkowego wywołuje najczęściej skojarzenie
z warunkami typu Dirichleta lub Neumanna. Celem wykładu jest pokazanie, że świat
warunków brzegowych może być o wiele bogatszy. Pełny niezwykłej harmonii i symetrii.
Przedstawione zostaną wyniki wspólne z T. Bransonem a także z W. Kozłowskim, A. Klekot
czy z A. Kimaczyńską.
15.55- 16.15 Przerwa na kawę
16.15-16.40
„Istnienie i ciągła zależność rozwiązań od parametrów pewnych typów równań
różniczkowych i różniczkowo-całkowych.”
Marek Majewski
W ramach referatu przedstawione zostaną główne kierunki badań prowadzonych w ostatnich
latach w Katedrze Równań Różniczkowych i Informatyki.
Pierwszym nurtem badań zaprezentowanym w trakcie referatu będzie zastosowanie pojęcia
całki i pochodnej ułamkowego rzędu. Oprócz wprowadzenie samych pojęć - niekoniecznie
znanych szerszemu gronu matematyków zostaną przedstawione wyniki dotyczące istnienia
i ciągłej zależności rozwiązań ułamkowych zagadnień różniczkowych od parametrów
funkcyjnych (sterowań) oraz pewne zagadnienia optymalne opisywane układami
różniczkowymi z pochodnymi ułamkowego rzędu.
Drugim zagadnieniem, które chciałbym omówić w trakcie referatu jest zastosowanie pojęcia
globalnego dyfeomorfizmu przestrzeni do badania własności rozwiązań pewnych typów
równań całkowych i różniczkowo-całkowych. Własność bycia dyfeomorfizmem dla pewnych
operatorów związanych z tymi zagadnieniami prowadzi do prostego wniosku o istnieniu
rozwiązań tych zagadnień oraz ich różniczkowalnej zależności od parametrów funkcyjnych.
16.45-17.05
„Liczbowe niezmienniki osobliwości”
Szymon Brzostowski
W trakcie referatu opowiemy o kilku liczbowych niezmiennikach wiązanych z punktem
osobliwym hiperpowierzchni zespolonej zadanej funkcją holomorficzną. Przedstawimy
wybrane, otwarte zagadnienia dotyczące tychże
niezmienników, ze szczególnym
uwzględnieniem tych będących przedmiotem aktywnych badań w Katedrze Geometrii
Algebraicznej i Informatyki Teoretycznej.
17.10-17.35
„Obcinanie gałęzi w drzewach gier”
Piotr Beling
Celem odczytu jest zaprezentowanie i zilustrowanie przykładami wybranych algorytmów
odcinania gałęzi w drzewach poszukiwań dla gier logicznych. Tego typu metody umożliwiają
znaczną redukcję czasu potrzebnego do zbadania grafu gry przez algorytmy decyzyjne.
Dzięki temu, algorytmy te mogą, w tym samym czasie, zbadać ten graf dokładniej
(przeszukać głębiej), co poprawia ich siłę gry, a w przypadku niektórych gier umożliwia
wręcz wyznaczenie optymalnej (bezbłędnej) decyzji w akceptowalnym czasie.