Rozdział 11

SPIS TREŚCI
Przedmowa ......................................................................................... 13
1. PODSTAWY MECHANIKI ........................................................ 21
1.1. Pojęcia podstawowe ..................................................................... 21
1.2. Zasada d’Alemberta ..................................................................... 28
1.3. Zasada prac przygotowanych ....................................................... 32
1.4. Przyrost funkcji i wariacja funkcji ............................................... 34
Literatura ......................................................................... 44
2. STATYKA.................................................................................... 46
2.1. Pojęcie równowagi ....................................................................... 46
2.2. Geometryczne warunki równowagi płaskiego układu sił............. 62
2.3. Geometryczne warunki równowagi układu przestrzennego
sił .................................................................................................. 70
2.4. Analityczne warunki równowagi.................................................. 72
2.5. Oddziaływania mechaniczne, więzy i podpory ............................ 84
2.6. Redukcja przestrzennego układu sił do dwóch sił skośnych........ 98
2.7. Redukcja układu przestrzennego sił do skrętnika ...................... 101
2.8. Tarcie.......................................................................................... 110
2.9. Tarcie a ruch względny .............................................................. 130
2.10. Tarcie cięgien opasujących walec o przekroju kołowym........... 139
2.11. Modele tarcia.............................................................................. 146
Literatura ....................................................................... 150
6
3. GEOMETRIA MAS ...................................................................153
3.1. Pojęcia podstawowe ...................................................................153
3.2. Momenty II rzędu .......................................................................167
3.3. Macierz bezwładności i jej transformacje ..................................173
3.4. Tensor bezwładności, osie główne i elipsoida bezwładności .....188
Literatura .......................................................................198
4. KINEMATYKA PUNKTU I WPROWADZENIE DO
KINEMATYKI POŁĄCZONYCH CIAŁ SZTYWNYCH ........199
4.1. Ruch punktu na płaszczyźnie......................................................199
4.2. Ruch prostoliniowy.....................................................................200
4.3. Ruch prostoliniowy (harmoniczny) i przypadki szczególne
ruchu krzywoliniowego na płaszczyźnie ....................................203
4.4. Ruch po okręgu, po prostej i ruch krzywoliniowy w ujęciu
wektorowym ...............................................................................208
4.5. Promień wodzący, współrzędne prostokątne
i krzywoliniowe w przestrzeni....................................................220
4.6. Współrzędne krzywoliniowe ......................................................222
4.7. Współrzędne normalne ...............................................................260
4.7.1.
Wprowadzenie ...............................................................260
4.7.2.
Pojęcia podstawowe ......................................................260
4.7.3.
Prędkości i przyspieszenia we współrzędnych
normalnych ....................................................................261
4.8. Pary i łańcuchy kinematyczne, zmienne złączowe i algorytm
Denavita-Hartenberga.................................................................279
4.8.1.
Pary i łańcuchy kinematyczne .......................................279
4.8.2.
Zmienne złączowe i algorytm Denavita-Hartenberga ...282
4.9. Klasyfikacja problemów kinematyki..........................................285
Literatura .......................................................................290
5. KINEMATYKA CIAŁA SZTYWNEGO...................................291
5.1. Ruch postępowy i obrotowy .......................................................291
5.1.1.
Ciało sztywne w przestrzeni i stopnie swobody ............291
7
5.1.2.
Prędkość punktów ciała sztywnego............................... 295
5.1.3.
Ruch postępowy ............................................................ 297
5.1.4.
Ruch obrotowy .............................................................. 299
5.1.5.
Prędkości i przyspieszenia kątowe jako wektory,
wektor małego obrotu.................................................... 305
5.2. Ruch płaski................................................................................. 309
5.2.1.
Wiadomości wprowadzające......................................... 309
5.2.2.
Prędkości i przyspieszenia............................................. 315
5.2.3.
Metody wektorowe w kinematyce ruchu płaskiego ...... 327
5.2.3.1.
Prędkości....................................................... 327
5.2.3.2.
Przyspieszenia............................................... 336
5.3. Ruch złożony punktu w przestrzeni ........................................... 345
5.4. Ruch płaski złożony punktu ....................................................... 351
5.5. Ruch w przestrzeni ..................................................................... 354
5.5.1.
Wprowadzenie............................................................... 354
5.5.2.
Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe ciała
sztywnego...................................................................... 358
5.5.3.
Propozycja Eulera ......................................................... 360
5.5.4.
Kąty Eulera.................................................................... 366
5.5.5.
Kinematyczne równania Eulera..................................... 381
5.5.6.
Przemieszczenie ciała sztywnego z jednym
unieruchomionym punktem........................................... 385
5.5.7.
Przemieszczenie i obrót ciała sztywnego
(podstawowe twierdzenia)............................................. 387
5.5.8.
Przesunięcie równoległe i obrót ciała sztywnego
oraz przekształcenia jednorodne ................................... 392
5.5.9.
Stany kinematyczne ciała sztywnego ............................ 394
5.5.10. Prędkość i przyspieszenie w ruchu postępowym .......... 394
5.5.11. Prędkość i przyspieszenie w ruchu kulistym................. 395
5.5.12. Prędkość i przyspieszenia w ruchu ciała wokół osi
nieruchomej................................................................... 405
5.5.13. Prędkości punktu ciała sztywnego w różnych
układach współrzędnych ............................................... 408
8
5.5.14. Precesja regularna ciała sztywnego ...............................412
5.5.15. Ruch śrubowy ................................................................423
5.5.16. Interpretacja geometryczna prędkości i przyspieszenia punktu ciała sztywnego w ruchu dowolnym.......425
5.6. Ruch kulisty................................................................................440
5.6.1.
Energia kinetyczna, elipsoida bezwładności i kręt ........440
5.7. Ruch złożony ciała sztywnego....................................................448
Literatura .......................................................................453
6. KINEMATYKA CIAŁA ODKSZTAŁCALNEGO ...................455
6.1. Tensory w mechanice .................................................................455
6.2. Tensor naprężeń..........................................................................460
Literatura .......................................................................507
7. DYNAMIKA PUNKTU I UKŁADU MATERIALNEGO ........508
7.1. Dynamika punktu .......................................................................508
7.1.1.
Drugie prawo Newtona..................................................508
7.1.2.
Klasyfikacja problemów dynamiki................................511
7.1.3.
Ruch punktu pod działaniem sił prostych......................514
7.1.4.
Prawo zmienności pędu .................................................522
7.1.5.
Prawa zachowania wielkości kinematycznych
punktu materialnego ......................................................524
7.2. Podstawowe prawa dynamiki układu materialnego....................540
7.2.1.
Wprowadzenie ...............................................................540
7.2.2.
Prawo zmienności pędu .................................................542
7.2.3.
Prawo zachowania ruchu środka masy ..........................545
7.2.4.
Moment ilości ruchu......................................................548
7.2.5.
Energia kinetyczna UMD i UMC ..................................552
7.2.6.
Prawo zachowania krętu (momentu kinetycznego) .......556
7.2.7.
Prawo zachowania energii kinetycznej..........................565
7.3. Ruch punktu materialnego w polu środkowym ..........................566
Literatura .......................................................................580
9
8. WAHADŁO MATEMATYCZNE I WAHADŁO
FIZYCZNE ................................................................................. 582
8.1. Wahadło matematyczne ............................................................. 582
8.2. Wahadło fizyczne ....................................................................... 590
8.3. Dynamika wahadła fizycznego potrójnego w płaszczyźnie ....... 594
8.3.1.
Równania ruchu............................................................. 594
8.3.2.
Symulacje numeryczne.................................................. 602
8.3.3.
Reakcje dynamiczne w łożyskach................................. 611
Literatura ....................................................................... 620
9. DYNAMIKA I STATYKA WE WSPÓŁRZĘDNYCH
UOGÓLNIONYCH.................................................................... 621
9.1. Więzy i współrzędne uogólnione ............................................... 621
9.2. Zasady Jourdaina i Gaussa ......................................................... 650
9.3. Równanie ogólne statyki i stateczność położeń równowagi
układów mechanicznych w polu sił potencjalnych .................... 659
9.4. Równania Lagrange’a II i I rodzaju ........................................... 675
9.5. Własności równania Lagrange’a ................................................ 710
9.6. Całki pierwsze układów Lagrange’a .......................................... 717
9.7. Równanie Routha ....................................................................... 726
9.8. Współrzędne cykliczne............................................................... 730
9.9. Kinetyka układu ciał sztywnych – manipulator o trzech
stopniach swobody ..................................................................... 734
9.9.1.
Wprowadzenie............................................................... 734
9.9.2.
Model fizyczny i matematyczny ................................... 734
9.9.3.
Wyniki symulacji numerycznych.................................. 741
Literatura ....................................................................... 745
10. KLASYCZNE RÓWNANIA DYNAMIKI................................ 747
10.1. Mechanika Hamiltona ................................................................ 747
10.1.1. Równania Hamiltona..................................................... 747
10.1.2. Twierdzenie Jacobiego-Poissona .................................. 750
10
10.1.3. Przekształcenia kanoniczne ...........................................752
10.1.4. Przekształcenia kanoniczne nieosobliwe i funkcje
kierujące ........................................................................760
10.1.5. Metoda Jacobiego i równania
Jacobiego-Hamiltona .....................................................762
10.1.6. Postacie równań Jacobiego-Hamiltona w przypadku
zmiennych cyklicznych i układów zachowawczych .....764
10.2. Metody rozwiązywania równań Eulera-Lagrange’a...................766
10.2.1. Wprowadzenie ...............................................................766
10.2.2. Twierdzenie Eulera i równania Eulera-Lagrange’a .......767
10.2.3. Dekompozycja i równanie Bogomolnego .....................770
10.2.4. Transformacja Bäcklunda..............................................771
10.3. Równania Whittakera .................................................................775
10.4. Równania Vorontsa i równania Chaplygina ...............................778
10.5. Równania Appella ......................................................................788
Literatura .......................................................................796
11. TEORIA UDERZENIA ..............................................................798
11.1. Podstawowe pojęcia ...................................................................798
11.2. Podstawowe prawa teorii uderzenia ...........................................800
11.3. Uderzenie punktu materialnego o przegrodę ..............................805
11.4. Interpretacja fizyczna uderzenia .................................................807
11.5. Zderzenie dwóch kul poruszających się ruchem postępowym ...809
11.6. Zderzenie dwóch ciał sztywnych swobodnych...........................815
11.7. Środek uderzenia ........................................................................821
Literatura .......................................................................823
12. DRGANIA UKŁADÓW MECHANICZNYCH.........................824
12.1. Wprowadzenie ............................................................................824
12.2. Równania ruchu liniowych układów mechanicznych
o N stopniach swobody
825
12.3. Klasyfikacja sił mechanicznych liniowych i ich własności........827
11
12.4. Małe drgania układów liniowych o jednym stopniu
swobody ..................................................................................... 836
12.5. Małe drgania własne układu zachowawczego nieliniowego
o jednym stopniu swobody i postać bezwymiarowa równań
ruchu........................................................................................... 855
12.6. Układy mechaniczne o jednym stopniu swobody
z obciążeniem fragmentami liniowym i impulsowym
862
Literatura ....................................................................... 884
13. ELEMENTY DYNAMIKI PLANET......................................... 887
13.1. Wprowadzenie............................................................................ 887
13.2. Pola sił potencjalne..................................................................... 892
13.3. Dynamika dwóch punktów materialnych................................... 893
Literatura ....................................................................... 907
14. DYNAMIKA UKŁADÓW O ZMIENNEJ MASIE .................. 908
14.1. Wprowadzenie............................................................................ 908
14.2. Zmiana ilości ruchu i momentu kinetycznego............................ 908
14.3. Ruch punktu materialnego układu o zmiennej masie................. 911
14.4. Ruch rakiety (dwa zagadnienia Ciołkowskiego)........................ 914
14.5. Równania ruchu ciała o zmiennej masie .................................... 920
Literatura .................................................................. 928
15. DYNAMIKA CIAŁA I UKŁADÓW CIAŁ SZTYWNYCH .... 929
15.1. Obrót ciała sztywnego wokół osi nieruchomej........................... 929
15.2. Ruch ciała sztywnego wokół nieruchomego punktu .................. 934
15.3. Dynamika ciała sztywnego wokół punktu nieruchomego
w polu grawitacyjnym ................................................................ 945
15.4. Ruch ogólny swobodny ciała sztywnego ................................... 951
15.5. Ruch kuli jednorodnej po płaszczyźnie poziomej w polu
ciężkości z uwzględnieniem tarcia Coulomba ........................... 953
15.6. Ruch ciała sztywnego o powierzchni dowolnej wypukłej
po płaszczyźnie poziomej........................................................... 962
12
15.7. Równania drgań N układów ciał sztywnych połączonych
za pomocą przegubów Cardana-Hooke'a....................................966
15.8. Drgania zachowawcze bryły sztywnej podpartej sprężyście
w polu grawitacyjnym ................................................................979
Literatura .......................................................................995
16. GEOMETRODYNAMIKA ........................................................996
16.1. Wprowadzenie ............................................................................996
16.2. Metryka Jacobiego na Q ...........................................................1004
16.3. Równanie Jacobiego-Levi-Civita (JLC) ...................................1009
16.4. Równanie JLC we współrzędnych geodezyjnych ....................1014
16.5 Równanie JLC dla metryki Jacobiego ......................................1017
16.6. Układy mechaniczne o dwóch stopniach swobody ..................1019
Literatura ............................................................... 1025
DODATEK
D. PODSTAWOWE WIADOMOŚCI Z RACHUNKU
WEKTOROWEGO I MACIERZOWEGO ..............................1026
D.1. Skalary i wektory......................................................................1026
D.2. Algebra wektorów ....................................................................1030
D.2.1. Mnożenie wektora przez skalar .....................................1030
D.2.2. Wektory w układzie współrzędnych kartezjańskich......1032
D.2.3. Iloczyn skalarny wektorów............................................1036
D.2.4. Iloczyn wektorowy ........................................................1038
D.2.5. Iloczyn mieszany ...........................................................1041
D.2.6. Iloczyny wielokrotne .....................................................1043
D.3. Macierze .....................................................................................1044
Literatura .....................................................................1051
PRZEDMOWA
Niniejsza książka stanowi rozszerzenie i modyfikację podręcznika
pt. „Mechanika” mojego autorstwa wydanego przez WNT, Fundacja
Książka „Naukowo-Techniczna”, Warszawa, w roku 2007.
Prowadzone na bazie wspomnianego podręcznika wykłady i ćwiczenia na Wydziale Mechanicznym na kierunkach „Transport” i „Mechatronika” oraz na studiach doktoranckich z „Mechaniki” wpłynęły
na wychwycenie niektórych z nieścisłości i wprowadzenie stosownych poprawek do tekstu ww. książki.
Wprowadzenie kilku zupełnie nowych rozdziałów i znaczne modyfikacje już istniejących spowodowało również zmianę tytułu uwypuklającego fakt, że książka głównie jest skierowana do studentów,
doktorantów i pracowników naukowych wyższych uczelni technicznych.
Książka ta o charakterze podręcznika i monografii ma stanowić
kompendium wiedzy dotyczącej mechaniki klasycznej z uwypukleniem jej nowych gałęzi rozwoju, co w zamierzeniu powinno ożywić
mechanikę i wzmocnić zainteresowanie nią wśród szerokiej rzeszy
Czytelników, a w tym głównie inżynierów. W książce skoncentrowano się na prezentacji szerokiego wachlarza prostych i złożonych problemów w ujęciu wektorowym i przestrzeganiu jednolitego matematycznie zorientowanego podejścia do opisu i wyjaśnienia wielu nawet
złożonych i często zupełnie nowych działów mechaniki klasycznej.
Niniejsza książka stanowi wyraz konsekwentnego dążenia autora do
połączenia mechaniki technicznej zorientowanej inżyniersko z mechaniką klasyczną wykładaną na wydziałach fizyki i matematyki stosowanej.
Ponadto w książce starałem się zawrzeć krótkie opisy charakteryzujące wielkie postacie matematyki i mechaniki, których nazwiska
pojawiają się w tekście. Celem takiego podejścia było uwypuklenie
rysów historycznych rozwoju mechaniki i wskazanie na istotną rolę
jej drugiego (oprócz formalnego matematycznego) humanistycznego
oblicza.
Ponadto praktyka dydaktyczna autora oraz trudności z modyfikacją nauczania matematyki skierowanej na potrzeby inżynierskie do-
14
prowadziły do powstania „Dodatku”, w którym przedstawiono wiedzę
w „pigułce” związaną z rachunkiem wektorowym i macierzowym
wykorzystywanym w tej książce (rachunkowi tensorowemu poświęcono p. 3.4, p. 4.6, p. 5.5.2, p. 5.5.3 i rozdział 6).
W rozdziale 1 wprowadzono szereg podstawowych pojęć i praw
stosowanych w mechanice, a w szczególności zasadę d’Alemberta
i zasadę prac przygotowanych, które są następnie wykorzystywane
w dalszych rozdziałach książki. Na uwagę zasługuje p. 1.4 poświęcony zagadnieniom przemieszczeń rzeczywistych, wirtualnych i wariacji
funkcji. Rozdział ten został znacznie rozszerzony, zmodyfikowany
i uzupełniony o przykłady w porównaniu z książką „Mechanika”.
Rozdział 2 dotyczy wybranych zagadnień statyki, ze szczególnym
uwypukleniem geometrycznych warunków równowagi (wieloboku
sznurowego) oraz redukcji przestrzennego układu sił. Ponadto obszerną część tego rozdziału stanowi problematyka związana z klasycznym
rozumieniem tarcia i jego modelowaniem. Wprowadzono w nim wiele
nowych twierdzeń i definicji i uzupełniono o nowy podrozdział poświęcony oddziaływaniom mechanicznym, więzom i podporom, jak
również dodano kilka nowych przykładów. Dopisano również nowy
podrozdział dotyczący redukcji przestrzennego układu sił do dwóch
sił skośnych. Wzbogacony został podrozdział dotyczący tarcia przez
wprowadzenie nowych przykładów oraz dopisano podrozdział zatytułowany „Tarcie a ruch względny” oraz uzupełniono podrozdział dotyczący tarcia cięgien opasujących walec o przekroju kołowym.
Rozdział 3 stanowi obszerne opracowanie dotyczące tzw. geometrii mas. Po wprowadzeniu pojęć podstawowych momentów II rzędu
wiele uwagi poświęcono macierzy bezwładności i jej transformacjom.
Opisano również zagadnienia związane z tensorem bezwładności,
osiami głównymi i elipsoidą bezwładności. Ta ostatnia problematyka
została przedstawiona bardziej formalnie w stosunku do materiału
przedstawianego w klasycznych podręcznikach z mechaniki ogólnej.
W rozdziale 4 autor rozważa zagadnienia dotyczące kinematyki
punktu. W p. 4.1÷4.3 opisano ruch punktu w płaszczyźnie, ruch prostoliniowy oraz ruch krzywoliniowy w płaszczyźnie. W p. 4.4 opisano
ruch jednostajny po okręgu i po prostej w ujęciu wektorowym. Następnie wprowadzono pojęcie promienia wodzącego oraz współrzędnych prostokątnych i krzywoliniowych w przestrzeni. Znacznie szerzej w stosunku do klasycznych podręczników z mechaniki opisano
problematykę związaną ze współrzędnymi normalnymi. Ponadto zostały wprowadzone i rozszerzone w stosunku do książki „Mechanika”
pewne pojęcia z rachunku tensorowego oraz bazy kowariantne i kon-
15
trawariantne, co wykracza poza klasyczne opracowanie z mechaniki
ogólnej. Ponadto rozdział ten został wzbogacony o podrozdział dotyczący kinematyki łańcuchów kinematycznych i stosowanej w niej
notacji Denavita-Hartenberga, co otwiera nowe możliwości zastosowań mechaniki klasycznej, zwłaszcza w robotyce i teorii manipulatorów. Rozdział kończy opis i klasyfikacja problemów kinematyki.
Rozdział 5 dotyczący kinematyki ciała sztywnego należy do najbardziej obszernych rozdziałów tej książki. Rozdział ten został poprawiony w stosunku do książki „Mechanika” i uzupełniony o trzy
podrozdziały pt. „Metody wektorowe w kinematyce ruchu płaskiego”,
„Ruch płaski złożony punktu” i „Ruch złożony ciała sztywnego” oraz
uzupełniono go o kilka nowych przykładów. Opisano w nim szczegółowo zagadnienia ruchu postępowego i obrotowego ciała sztywnego,
jego ruch płaski i ruch w przestrzeni oraz ruch kulisty ciała sztywnego. Szczególną uwagę w tym rozdziale zwrócono na wprowadzone
kąty Eulera i kinematyczne równania Eulera. Podano również wiele
twierdzeń (i często również ich dowody) związanych z przemieszczeniem i obrotem ciała sztywnego. Rozdział ten uwypukla interpretację
geometryczną mechaniki i pokazuje zalety wykorzystywania rachunku
wektorowego.
Rozdział 6 obejmuje kinematykę ciała odkształcalnego. W p. 6.1
opisano rolę i znaczenie tensorów w mechanice, a w p. 6.2 szczegółowo opisano tensor naprężeń oraz podstawowe elementy rachunku
tensorowego oraz wskazano na potrzebę jego stosowania w mechanice, zwłaszcza w zagadnieniach statycznie niewyznaczalnych.
Rozdział 7 obejmuje proste zagadnienia dynamiki. W p. 7.1 opisano dynamikę punktu, a w tym II prawo Newtona i ruch punktu materialnego pod działaniem sił prostych. Przeprowadzono również klasyfikację problemów dynamiki oraz sformułowano i zilustrowano
prawa zmienności pędu i zachowania wielkości kinematycznych
punktu. W p. 7.2 opisano podobne prawa odniesione do układów materialnych. Rozdział ten został uzupełniony i wzbogacony o bibliografię, a ponadto dopisano do niego (w porównaniu do książki autora
„Mechanika”) p. 7.3 pt. „Ruch punktu materialnego w polu środkowym”, gdzie wprowadzone rozważania teoretyczne uzupełniono wieloma przykładami.
Rozdział 8 ilustruje rozwiązanie równań ruchu i zastosowanie
praw zachowania opisanych w rozdziałach poprzednich wykorzystując przykład wahadeł matematycznego i fizycznego. Interpretacje dynamiki punktu materialnego na przykładzie wahadeł wykraczają poza
tradycyjne klasyczne ujęcia dotyczące tej problematyki. Rozdział ten
16
„otwiera również drzwi” do analizy dynamiki chaotycznej punktu
materialnego. Dodatkowo rozdział ten zawiera p.8.3 dotyczący modelowania i analizy dynamiki wahadła fizycznego potrójnego w płaszczyźnie. Najpierw wyprowadzono równania ruchu wahadła opierając
się na równaniach Lagrange’a, a następnie dokonano ich symulacji
numerycznej. Pokazano kilka przykładów dynamiki regularnej (okresowej i quasi-okresowej) oraz chaotycznej analizowanego wahadła
potrójnego. Ponadto wyznaczono reakcje dynamiczne w przegubach
wahadła oraz podano kilka przykładowych ich przebiegów w przypadku ruchu wahadła regularnego i chaotycznego.
W rozdziale 9 opisano zagadnienia dynamiki i statyki we współrzędnych uogólnionych. W p. 9.1 wiele uwagi poświęcono więzom
i współrzędnym uogólnionym z uwypukleniem roli i znaczenia więzów nieholonomicznych oraz tzw. zagadnienia zamrożenia więzów.
W celu zrozumienia opisanej w nim problematyki autor uzupełnił rozważania teoretyczne o cztery przykłady. Podrozdział 9.2 jest zupełnie
nowy i dotyczy zasad Jourdaina i Gaussa, a przedstawione w nim
rozważania teoretyczne zilustrowano przykładami. Również p. 9.3
dotyczący zagadnień stateczności położeń równowagi jest zupełnie
nowym zilustrowanym szeregiem poglądowych przykładów. W kolejnym p. 9.4 wyprowadzono równania Lagrange’a II i I rodzaju, a rozważania teoretyczne zostały zilustrowane pięcioma przykładami. W p.
9.5 podano własności równań Lagrange’a. Całkom pierwszym układów Lagrange’a poświęcono p. 9.6, wprowadzono w nim m.in. pojęcie współrzędnych cyklicznych, a ich znaczenie zilustrowano poprzez
prosty przykład. Następnie w p. 9.7 zostało wyprowadzone równanie
Routha oraz znacznie szerzej opisano rolę i znaczenie współrzędnych
cyklicznych w p. 9.8. Z kolei p. 9.9 obejmuje kinetykę układu trzech
ciał sztywnych na przykładzie manipulatora o trzech stopniach swobody. Opierając się na wcześniejszych rozdziałach wyprowadzono
równania ruchu manipulatora, a następnie dokonano analizy jego ruchu wykorzystując symulacje numeryczne.
Klasycznym równaniom dynamiki poświęcono rozdział 10. W p.
10.1 po wprowadzeniu tzw. zmiennych Hamiltona i przekształcenia
Legendre’a, wyprowadzono postać kanonicznych równań Hamiltona.
Następnie sformułowano i udowodniono twierdzenie JacobiegoPoissona. Ponadto opisano przekształcenia kanoniczne prowadzące do
bezpośredniego otrzymania tzw. całek pierwszych rozpatrywanych
zagadnień. Wprowadzono (i niekiedy udowodniono) wiele twierdzeń
dotyczących kanoniczności przekształceń. Na koniec pokrótce zilustrowano metodę Jacobiego oraz wskazano na zalety wprowadzenia
17
równań Jacobiego-Hamiltona. Korzyści płynące z wprowadzenia tzw.
dekompozycji Bogomolnego oraz transformacji Bäcklunda wykorzystywanych podczas rozwiązywania równań Eulera-Lagrange’a opisano w p.10.2. Podejście to rozszerza możliwości metod analitycznych
do analizy niektórych silnie nieliniowych równań różniczkowych
cząstkowych. W p. 10.3 wyprowadzono równania Whittakera, w p.
10.4 równania Vorontsa i równania Chaplygina, a w p. 10.5 równania
Appella. Przeanalizowano zalety i wady wyprowadzonych równań,
a opisaną problematykę zilustrowano przykładami. Wprowadzone
p. 10.3÷10.5 są nowe w porównaniu do analogicznego rozdziału
książki „Mechanika”.
Rozdział 11 poświęcony został klasycznej teorii uderzenia. Najpierw wprowadzono podstawowe pojęcia związane z tą problematyką,
a w tym określono zjawiska uderzenia, siły zderzeniowej i impulsu
uderzenia. Następnie sformułowano podstawowe prawa teorii uderzenia. Ponadto w p. 11.3 opisano zagadnienie uderzenia punktu materialnego o przegrodę, a następnie (p. 11.4) dokonano fizycznej interpretacji uderzenia. Podrozdział 11.5 zawiera opis i ilustrację wraz
z przykładem zjawiska zderzenia dwóch kul poruszających się ruchem
postępowym. Na koniec tego rozdziału opisano zderzenie dwóch ciał
sztywnych swobodnych oraz zdefiniowano środek uderzenia.
Rozdział 12 dotyczy pewnych zagadnień teorii drgań układów
mechanicznych dyskretnych. Na początku wprowadzono zapis macierzowy drgań liniowych układów o wielu stopniach swobody oraz dokonano klasyfikacji sił mechanicznych. Następnie opisano małe drgania układów liniowych, fragmentami liniowych i nieliniowych o jednym stopniu swobody. Rozdział ten został znacznie wzbogacony
w porównaniu do rozdziału w książce „Mechanika” o dodatkowe
przykłady oraz m.in. o opis zastosowania metody funkcji zmiennej
zespolonej oraz analizę prostych układów dynamicznych poddanych
wymuszeniu impulsowemu.
Rozdział 13 wprowadza Czytelnika w problematykę ruchu planet,
w szczególności opisano tutaj szczegółowo zagadnienie dynamiki
dwóch punktów materialnych w polu sił grawitacyjnych.
Rozdział 14 poświęcono dynamice układów o zmiennej masie.
Opisano matematycznie zmiany ilości ruchu i momentu kinetycznego
i wyprowadzono równania ruchu punktu materialnego w układzie
o zmiennej masie, tzw. równanie Mieszczerskiego. Następnie opisano
i zilustrowano tzw. dwa zagadnienia Ciołkowskiego. W p. 14.5 wyprowadzono równanie ruchu ciała o zmiennej masie. Na końcu roz-
18
działu podano dwa przykłady związane z wcześniej przeprowadzonymi rozważaniami.
Rozdział 15 jest zupełnie nowym rozdziałem poświęconym dynamice ciała sztywnego i dynamice układów połączonych takich ciał.
Jest to tematyka raczej pomijana w klasycznych podręcznikach i monografiach dotyczących dynamiki i wymaga od Czytelnika dobrego
przygotowania matematycznego. Obejmuje on problematykę obrotu
ciała sztywnego wokół osi nieruchomej i wokół punktu nieruchomego, przypadek Kowalewskiej, ruch ogólny swobodny ciała sztywnego,
ruch kuli jednorodnej po płaszczyźnie poziomej w polu ciężkości z
tarciem oraz dynamikę (drgania) układów ciał sztywnych połączonych
poprzez przeguby Cardana-Hooke’a (Cardana) i drgania zachowawcze
bryły sztywnej podpartej sprężyście w polu grawitacyjnym.
Rozdział 16 jest poświęcony geometrycznemu podejściu do dynamiki układów hamiltonowskich i zawiera podstawowe wiadomości
z zakresu geometrodynamiki. Na początku wyjaśniono związek pomiędzy geometrią przestrzeni Riemanna a dynamiką. Następnie wyprowadzono podstawowe równanie geometrodynamiki tzw. równanie
Jacobi-Levi-Civita (JLC), a potem przeanalizowano przestrzeń konfiguracyjną wraz z metryką Jacobiego. Na koniec przedstawiono przykład geometryzacji prostego układu mechanicznego o dwóch stopniach swobody.
W załączonym Dodatku podano niektóre podstawowe wiadomości z rachunku wektorowego i macierzowego pomocne zwłaszcza dla
studentów wydziałów wyższych uczelni technicznych.
Czytelnik po podstawowym kursie mechaniki znajdzie w tej
książce kilka rozdziałów pomijanych podczas klasycznych wykładów
z mechaniki prowadzonych na wyższych uczelniach technicznych,
które z kolei pojawiają się na studiach prowadzonych na uniwersytetach. Właśnie jednym z celów tej książki jest przełamanie izolacji
pomiędzy „różnymi” mechanikami wykładanymi na uczelniach technicznych i uniwersytetach lub na studiach doktoranckich (głównie
chodzi tutaj o wydziały fizyki). W przekonaniu autora połączenie
dwóch odrębnych dotąd gałęzi mechaniki w jeden nurt nie tylko
wzbogaci zainteresowanie tym przedmiotem, ułatwi jego pełne zrozumienie, jak również będzie prowadzić do efektywnych rozwiązań
zarówno podczas modelowania procesów fizycznych, jak i następnie
podczas rozwiązywania zbudowanych modeli matematycznych. Wiele
rozdziałów z tej książki może być wykorzystanych w ramach nauczania przedmiotów Mechanika I, Mechanika II i Mechanika III.
19
Składam wyrazy głębokiego podziękowania Profesorowi W. Blajerowi za rzetelne, obiektywne i profesjonalne zrecenzowanie tej
książki.
Niemniej serdeczne podziękowania składam moim kolegom
i współpracownikom z Katedry, a mianowicie Panom dr. J. Mrozowskiemu i mgr. M. Kaźmierczakowi za pomoc w ostatecznym przygotowaniu tekstu. Rozdział 8.2 tej książki został opracowany przez dr.
G. Kudrę, a rozdział 16 przez dr. D. Sendkowskiego, których tematyka prac doktorskich pod moim promotorstwem związana była z materiałem przedstawionym w tych rozdziałach.
Ostateczne opracowanie materiału książki wiąże się również
z wytycznymi projektów konkursowych MNiSW.
Autor