Punkt, prosta i płaszczyzna to elementy zasadnicze.

GEOMETRIA RZUTOWA
Geometria rzutowa to dział geometrii ogólnej, zajmujący się badaniem opisowych
własności utworów geometrycznych w przestrzeni rzutowej.
Przestrzeń rzutowa to zbiór punktów, prostych, płaszczyzn przestrzeni
kartezjańskiej powiększona o punkty, proste i płaszczyzny znajdujące się w
nieskończoności.
Punkt, prosta i płaszczyzna to elementy zasadnicze.
Przez pojedynczy ruch elementu zasadniczego powstają utwory I wymiaru:
•Prosta punktów,
•Pęk prostych,
•Pęk płaszczyzn
p
π
P
Utwory II-go wymiaru powstają przez pojedynczy ruch utworu I-go wymiaru
lub podwójny ruch elementu zasadniczego. Są to:
•Płaszczyzna punktów,
•Płaszczyzna prostych,
•Wiązka prostych
•Wiązka płaszczyzn
p
P
p
p
p
Płaszczyzna prostych: ruch
pęku prostych wzdłuż
prostej punktów
Utwory III-go wymiaru powstają przez potrójny ruch elementu zasadniczego lub
przez podwójny ruch utworu I-go wymiaru lub ruch utworu II-go wymiaru. Są to:
•Przestrzeń punktów,
•Przestrzeń płaszczyzn
P P P P P P
P P P P P P
P P P P P P
P P P P P P
P P P P P P
Utwory IV-go wymiaru powstają przez……….Należy do nich
•Przestrzeń prostych
Przestrzeń punktów
Przekształcenia rzutowe:
Rzutowanie: z prostej lub z punktu
Przecinanie: prostą lub płaszczyzną
Rzutowanie prostej punktów p2
z punktu W1. Wynik: pęk
prostych o wierzchołku W1
Przecinanie pęku prostych o
wierzchołku W2 prostą. W wyniku
dostajemy prostą punktów p3 (lub p2
lub p4).
Kiedy dwa utwory są perspektywiczne?
Dwa utwory jednoimienne są perspektywiczne, kiedy są wynikiem rzutowania lub
przecinania jednego i tego samego utworu podstawowego tego samego wymiaru.
Warunkiem jest istnienie elementu zjednoczonego.
p2, p3, p4 – proste punktów
są perspektywiczne.
Powstały z przecięcia pęku
prostych W2 prostymi
Kiedy dwa utwory są perspektywiczne?
Dwa utwory różnoimienne są perspektywiczne, jeżeli elementy zasadnicze tych
utworów przynależą do siebie
Pęk prostych W2 ma z prostą punktów
p4 przynależące punkty.
Kiedy dwa utwory są rzutowe?
Kiedy są w łańcuchu przekształceń
perspektywicznych.
p1 i p2 są perspektywiczne, W1 i W2 są
perspektywiczne.
p1 i p3 są rzutowe.
W1 i p3 są rzutowe.
A1, A2,
B1, B2
A2, A3….elementy homologiczne
Własności utworów rzutowych
A
λ = ( ABCD) =
C
B
D
AC BD ( xC − x A )( xD − xB )
=
BC AD ( xC − xB )( xD − x A )
( ABCD) = (CDAB)
Dwustosunek czwórki punktów jest niezmiennikiem przekształceń rzutowych
Co to są współrzędne rzutowe?
Współrzędnymi rzutowymi punktu nazywamy stosunek liczb y1:y2:y3:……yn
określony przez zależność:
[ y '] = A[ y ]
Gdzie A jest macierzą nieosobliwą, a [y] to wektor współrzędnych jednorodnych.
Niech w dowolnym układzie ukośnokątnym OXYZ współrzędne punktu
rzeczywistego będą x, y, z, a punkt leżący w ∞ jest przedstawiony przez stosunek
1:m:n. Każdemu punktowi przyporządkujmy stosunek czterech nie znikających
liczb:
y1:y2:y3:y4 = x:y:z:1 (punkt właściwy)
y1:y2:y3:y4 = 1: m:n:0 (punkt w ∞)
Są to współrzędne jednorodne
Przekształcenie rzutowe jest jednoznaczne ze zmianą układu
Przekształcenie prostej na prostą
y2=1
y2’=1
y1 '
y2 '
= A⋅
y1
y2
=
a11
a12
⋅
y1
a21 a22 y2
y1 ' = a11 y1 + a12 y2
y2 ' = a21 y1 + a22 y2
y1 ' a11 y1 + a12 y2
=
y2 ' a21 y1 + a22 y2
y1 '
y
a
a12 y1
= A ⋅ 1 = 11
⋅
y2 '
y2 a21 a22 y2
y1 ' = a11 y1 + a12 y2
y2 ' = a21 y1 + a22 y2
y1 ' a11 y1 + a12 y2
=
y2 ' a21 y1 + a22 y2
x1 ' =
a11 y1 + a12 y2
a21 y1 + a22 y2
y2 = 1
y1
+ a12
y2
x1 ' =
y
a21 1 + a22
y2
a11
x1 ' =
Ax1 + B
Cx1 + 1
a
y2
a11
x1 + 12
y2 a11 x1 + a12 a22
a22
=
=
a
y2 a21 x1 + a22 a21
x1 + 22
y2
a22
a22
Przekształcenie rzutowe prostej na prostą
Przekształcenie rzutowe płaszczyzny na płaszczyznę
y1 '
y2
S
’
y1
y1
y3 ’
x2
’
a13 y1
y2 ' = a21 a22
y3 ' a31 a32
a23 y2
a33 y3
y1 ' = a11 y1 + a12 y2 + a13 y3
y3 ' = a31 y1 + a32 y2 + a33 y3
y3
y1 ' a11 y1 + a12 y2 + a13 y3
=
= x1 '
y3 ' a31 y1 + a32 y2 + a33 y3
O’
x
O
a12
y2 ' = a21 y1 + a22 y2 + a23 y3
y2
x1
a11
x2
y2 ' a21 y1 + a22 y2 + a23 y3
=
= x2 '
y3 ' a31 y1 + a32 y2 + a33 y3
I analogicznie jak poprzednio przechodzimy z
układu jednorodnego na układ współrzędnych
punktu rzeczywistego:
I analogicznie jak poprzednio przechodzimy z układu jednorodnego na układ
współrzędnych punktu rzeczywistego:
y1' a11y1 + a12 y2 + a13 y3
= x1'
=
y3 ' a31y1 + a32 y2 + a33 y3
y2 ' a21y1 + a22 y2 + a23 y3
=
= x2 '
y3 ' a31y1 + a32 y2 + a33 y3
y3 = 1
Przekształcenie płaszczyzny na płaszczyznę
x1' =
a11y1 + a12 y2 + a13
a31y1 + a32 y2 + a33
x1 ' =
x2 ' =
a21y1 + a22 y2 + a23
a31y1 + a32 y2 + a33
Ax1 + Bx2 + C
Dx1 + Ex2 + 1
x2 ' =
Fx1 + Gx2 + H
Dx1 + Ex2 + 1
Przekształcenie przestrzeni na przestrzeń:
x1 ' =
Ax1 + Bx2 + Cx3 + D
Ex1 + Fx2 + Gx3 + 1
x2 ' =
Hx1 + Ix2 + Jx3 + K
Ex1 + Fx2 + Gx3 + 1
x3 ' =
Lx1 + Łx2 + Mx3 + N
Ex1 + Fx2 + Gx3 + 1
Jeśli przyjmiemy jako utwory wymiaru III-go: przestrzeń punktów i jedną z
płaszczyzn przestrzeni:
x1 ' =
x2 ' =
Ax1 + Bx2 + Cx3 + D
Ex1 + Fx2 + Gx3 + 1
Hx1 + Ix2 + Jx3 + K
Ex1 + Fx2 + Gx3 + 1
Zwane równaniami DLT (Direct Linear
Transformation
Do tej samej postaci wzoru DLT można dojść drogą przekształceń równania
kolinearności
x = −ck
a11 X + a21Y + a31Z + (−a11 X 0 − a21Y0 − a31Z 0 )
/(−a13 X 0 − a23Y0 − a33Z 0 )
a13 X + a23Y + a33Z + (−a13 X 0 − a23Y0 − a33Z 0 )
y = −ck
a12 X + a22Y + a32 Z + (− a12 X 0 − a22Y0 − a32 Z 0 )
/( − a13 X 0 − a23Y0 − a33 Z 0 )
a13 X + a23Y + a33 Z + (− a13 X 0 − a23Y0 − a33 Z 0 )
a11X
a21Y
a31Z
(−a X −a Y −a Z )
+
+
+ 11 0 21 0 31 0
(−a X −a Y −a Z ) (−a13X0 −a23Y0 −a33Z0) (−a13X0 −a23Y0 −a33Z0) (−a13X0 −a23Y0 −a33Z0)
x = −ck 13 0 23 0 33 0
a13X
a23Y
a33Z
+
+
+1
(−a13X0 −a23Y0 −a33Z0) (−a13X0 −a23Y0 −a33Z0) (−a13X0 −a23Y0 −a33Z0)
a32 Z
(−a12 X 0 − a22Y0 − a32 Z 0 )
a12 X
a22Y
+
+
+
(−a13 X 0 − a23Y0 − a33 Z 0 ) (−a13 X 0 − a23Y0 − a33 Z 0 ) (−a13 X 0 − a23Y0 − a33 Z 0 ) (−a13 X 0 − a23Y0 − a33 Z 0 )
y = − ck
a13 X
a23Y
a33 Z
+
+
+1
(−a13 X 0 − a23Y0 − a33 Z 0 ) (−a13 X 0 − a23Y0 − a33 Z 0 ) (−a13 X 0 − a23Y0 − a33 Z 0 )
Przekształcenie DLT – 6 par punktów