vuu - Fizyka UMK

Wykł
Wykład VIII
STW i OTW
Elementy fizyki relatywistycznej
szczególna teoria względności (Einstein, 1905 r.)
transformacje Galileusza
inercjalne układy odniesienia
problem eteru i doświadczenie Michelsona-Morleya
dwa postulaty
osobliwa cecha prędkości światła
liniowa czasoprzestrzeń Minkowskiego
historyczne próby wyznaczenia prędkości światła
ogólna teoria względności (Einstein, 1916 r.)
względność jednoczesności
uogólnienie STW na układy nieinercjalne
transformacje Lorentza
zaawansowany aparat matematyczny
kontrakcja długości
przestrzeń Riemanna
dylatacja czasu
rachunek tensorowy
geometria nieeuklidesowa
pęd i energia w fizyce relatywistycznej
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
W. Drozdowski
1
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
W. Drozdowski
Transformacje Galileusza
Transformacje Galileusza
związki między współrzędnymi w układzie nieruchomym S
i układzie S’ poruszającym się wzdłuż osi x ze stałą prędkością v
związek między przesunięciami wzdłuż osi x w układach S i S’
∆ x = x2 − x1
S: 
 ∆t = t2 − t1
∆ x' = x2 '− x1 '
S': 
 ∆t ' = t2 '−t1 '
x' = x − vt
 y' = y


 z' = z
 t ' = t
x1 ' = x1 − vt1 , x2 ' = x2 − vt2
x = x'+vt
 y = y'


 z = z'
 t = t'
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
t1 ' = t1 , t2 ' = t2
x2 '−x1' = x2 − vt2 − ( x1 − vt1 ) = ( x2 − x1 ) − v(t2 − t1 )
∆ x' = ∆ x − v∆t
W. Drozdowski
3
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
W. Drozdowski
Transformacje Galileusza
Koncepcja eteru
związek między prędkościami w kierunku osi x w układach S i S’
dziewiętnastowieczny postulat istnienia ośrodka niezbędnego
do propagacji fal elektromagnetycznych (na wzór fal
mechanicznych)
∆x
S: u =
∆t
∆ x'
S': u' =
∆t'
układ spoczywającego eteru jako wyróżniony układ odniesienia
obecność „wiatru eteru” w innych układach - składanie prędkości zgodnie
z transformacjami Galileusza (brak przeciwwskazań wobec przekraczania
prędkości światła)
∆ x − v∆t ∆ x ∆t
=
−v
∆t
∆t
∆t
upadek teorii eteru w wyniku doświadczeń Michelsona
i Morleya
u' = u − v
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
4
kosmos wypełniony sprężystym ośrodkiem, tzw. eterem
∆ x' = ∆ x − v∆t
∆t' = ∆t
u' =
2
współczesne pamiątki: „na falach eteru”, ethernet
W. Drozdowski
5
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
W. Drozdowski
6
1
Doś
Doświadczenie MichelsonaMichelsona-Morleya
Dwa postulaty STW
wynik
postulat względności
brak różnic w rozkładzie prążków w obrazie interferencyjnym w różnych
dla wszystkich obserwatorów w inercjalnych układach odniesienia prawa
chwilach czasowych na przestrzeni roku
fizyki są takie same; żaden z układów nie jest w żaden sposób wyróżniony
wnioski
postulat stałej prędkości światła
brak wiatru eteru
światło w próżni rozchodzi się we wszystkich inercjalnych układach
odniesienia i we wszystkich kierunkach z tą samą prędkością c
słuszność praw Maxwella w każdym inercjalnym układzie odniesienia
jeden z najważniejszych eksperymentów w historii fizyki
c=
wiele powtórzeń w różnych konfiguracjach - zawsze taki sam
rezultat
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
W. Drozdowski
7
1
ε 0 µ0
= 299792458
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
m
s
W. Drozdowski
Osobliwa cecha prę
prędkoś
dkości światł
wiatła
Wyznaczanie prę
prędkoś
dkości światł
wiatła
prędkość światła wartością graniczną prędkości nie tylko dla fal
elektromagnetycznych, lecz również dla wszystkich cząstek
(zarówno tych posiadających masę, jak i tych jej pozbawionych)
próby nierezultatywne
doświadczenie Bertozziego (1964 r.) – przyspieszanie elektronów
z pomiarem ich prędkości i (niezależnie) energii kinetycznej
próby rezultatywne
8
Beeckman (1629 r.) - błysk strzelającego działa z odległości 1.6 km
Galileusz (1638 r.) - odsłonięcie odległej latarni
Rømer (1676 r.) - zaćmienie Io (księżyc Jowisza),
c ~ 220000 km/s
Bradley (1729 r.) - aberracja światła gwiazd,
c ~ 301000 km/s
Fizeau (1849 r.) - koło zębate i zwierciadło,
c ~ 315000 km/s
Foucault (1862 r.) - wirujące zwierciadło,
c ~ 298000 km/s
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
W. Drozdowski
9
Wyznaczanie prę
prędkoś
dkości światł
wiatła
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
W. Drozdowski
10
Wyznaczanie prę
prędkoś
dkości światł
wiatła
próby rezultatywne
Rosa i Dorsey (1907 r.) - pośrednio na podstawie wartości stałych
elektromagnetycznych,
c = (299710 ± 30) km/s
Michelson (1926 r.) - wirujące zwierciadło,
c = (299796 ± 4) km/s
Essen i Gordon-Smith (1950 r.) - mikrofalowa wnęka rezonansowa,
c = (299792.5 ± 3.0) km/s
Froome (1958 r.) – interferometr radiowy,
c = (299792.50 ± 0.10) km/s
Evenson (1972 r.) – interferometr laserowy,
c = (299792.4562 ± 0.0011) km/s
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
W. Drozdowski
11
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
W. Drozdowski
12
2
Wzglę
Względność
dność jednoczesnoś
jednoczesności
Transformacje Lorentza
jednoczesność pojęciem względnym, zależnym od ruchu
obserwatora
poszukiwane związki między współrzędnymi w układzie
nieruchomym S i układzie S’ poruszającym się wzdłuż osi x ze
stałą prędkością v
 x' = γ x + ε t
 y' = y


 z' = z
t ' = α x + β t
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
W. Drozdowski
13
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
W. Drozdowski
14
Transformacje Lorentza
Transformacje Lorentza
związki między przesunięciami w przestrzeni (w kierunku osi x)
i w czasie w układach S i S’
przypadek szczególny nr 1: spoczynek w układzie S
u = 0 ⇒ u' = −v
∆ x' = γ ∆ x + ε ∆t
∆t ' = α ∆ x + β ∆t
ε
β
ε = −β v
−v =
związek między prędkościami w kierunku osi x w układach S i S’
przypadek szczególny nr 2: spoczynek w układzie S’
∆ x' γ ∆ x + ε ∆t
=
∆t ' α ∆ x + β ∆t
γ u +ε
u' =
αu + β
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
u' = 0 ⇒ u = v
γ v +ε
αv + β
ε = −γ v
0=
W. Drozdowski
15
Transformacje Lorentza
W. Drozdowski
16
Transformacje Lorentza
ε = −β v = −γ v ⇒ β = γ
γ u +ε
u' =
αu + γ
końcowa postać związku między prędkościami w kierunku osi x
w układach S i S’
u −v
uv
1− 2
c
u'+v
u=
uv
1+ 2
c
u' =
przypadek szczególny nr 3: impuls świetlny
u = u' = c
γ c +ε
c=
αc +γ
α c2 + γ c = γ c + ε
α c2 = ε = −γ v
v
α = −γ 2
c
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
W. Drozdowski
17
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
u' = c ⇒ u =
W. Drozdowski
c+v
c+v
=c
=c
cv
c+v
1+ 2
c
18
3
Transformacje Lorentza
Transformacje Lorentza
uogólnienie dla składowych prędkości w trzech kierunkach
związki między współrzędnymi w układzie nieruchomym S i
układzie S’ poruszającym się wzdłuż osi x ze stałą prędkością v
r
r
r
u = (ux , u y , uz ) , u ' = (ux ' , u y ' , uz ' ) , v = (v,0,0)
 x' = γ x − γ vt = γ ( x − vt)

y' = y


z' = z

v
v
t ' = −γ 2 x + γ t = γ (t − 2 x)
c
c


ux '+v

ux = u v
1 + x2

c

uy '

u y = u v

1 + x2
c

uz '

u
=
z

uv
1 + x2

c


u x −v

ux ' = u v
1 − x2

c

uy

u y ' = u v

1 − x2
c

uz

u
'
=
z

uv
1 − x2

c

Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
W. Drozdowski
19
Transformacje Lorentza


x − vt
 x' =
v2

1− 2

c

 y' = y , z' = z

v
t− 2 x

c
 t' =
v2

1
−

c2
v2
v2
x' ) = γ 2 x' (1 − 2 )
2
c
c
współczynnik Lorentza
1
1−
20
końcowa postać związków między współrzędnymi
v
x = γ ( x'+vt' ) , t = γ (t '+ 2 x' )
c
γ=
W. Drozdowski
Transformacje Lorentza
x' = γ ( x − vt)
x' = γ 2 ( x'+vt'−vt'−
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
 x = γ ( x'+vt' )

y = y'


z = z'

v
t = γ (t '+ 2 x' )
c

v2
c2
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
W. Drozdowski
21
Transformacje Lorentza
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka


x'+vt'
 x=
v2

1− 2

c

 y = y' , z = z'

v
t '+ 2 x'

c
 t=
v2

1
−

c2
W. Drozdowski
22
Kontrakcja dł
długoś
ugości
prawidłowy pomiar długości - odczyt położenia początku i końca
spostrzeżenie
wniosek
przejście do transformacji
Galileusza przy v << c
mechanika klasyczna
przypadkiem szczególnym
mechaniki relatywistycznej
(tj. dla bardzo małych prędkości)
brak sensu przy v > c
prędkość światła c maksymalną
możliwą prędkością jakichkolwiek
obiektów we wszechświecie
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
W. Drozdowski
w tej samej chwili czasowej
prawidłowy sposób pomiaru - lewy rysunek
23
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
W. Drozdowski
24
4
Kontrakcja dł
długoś
ugości
Kontrakcja dł
długoś
ugości
wyznaczanie długości pręta (równoległego do osi x
i spoczywającego w układzie S) w układzie S’
wzór Lorentza
l0 = γ l
l0 = x2 (τ ) − x1 (τ )
v2
l = = l0 1− 2
γ
c
l0
l = x2 ' (τ ' ) − x1 ' (τ ' )
x1 = γ ( x1 '+vt1 ' ) , x2 = γ ( x2 '+vt2 ' )
efekt przewidziany przez FitzGeralda (1889 r.) i Lorentza (1892 r.)
przy próbach wyjaśnienia negatywnego wyniku doświadczenia
Michelsona-Morleya
x2 − x1 = γ ( x2 '+vt2 '− x1 '−vt1 ' )
t1 ' = t2 ' = τ ' ⇒ x2 − x1 = γ ( x2 '−x1 ' )
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
W. Drozdowski
alternatywna nazwa: skrócenie FitzGeralda-Lorentza
25
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
W. Drozdowski
26
Dylatacja czasu
Dylatacja czasu
zależność odstępu czasu między zdarzeniami zarówno od
współrzędnych czasowych, jak i przestrzennych
czas własny - odstęp czasowy między zdarzeniami zachodzącymi
w tym samym miejscu w układzie inercjalnym
bezwzględna konieczność synchronizacji zegarów
τ 0 = t2 − t1
τ = t2 '−t1 '
v
v
x1 ) , t2 ' = γ (t2 − 2 x2 )
c2
c
v
v
t2 '−t1 ' = γ (t2 − 2 x2 − t1 + 2 x1 )
c
c
t1 ' = γ (t1 −
x1 = x2 ⇒ t2 '−t1 ' = γ (t2 − t1 )
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
W. Drozdowski
27
Dylatacja czasu
τ = γτ 0
τ0
τ=
1−
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
W. Drozdowski
28
Pęd w fizyce relatywistycznej
konieczność modyfikacji definicji pędu w celu utrzymania
słuszności zasady zachowania pędu w różnych układach
inercjalnych
r
r
∆r
p=m
∆t0
2
v
c2
∆t
v2
= ∆t 1 − 2
γ
c
r
r
r
∆r
p =γm
= γ mv =
∆t
∆t0 =
potwierdzenia dylatacji czasu
miony atmosferyczne
doświadczenie Hafele’go i Keatinga
(1977 r.)
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
W. Drozdowski
29
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
r
mv
1−
v2
c2
W. Drozdowski
30
5
Energia spoczynkowa
Energia kinetyczna
masa jedną z postaci energii (Einstein, 1905 r.)
wyrażenie klasyczne
zależność energii spoczynkowej E0 od masy m
mv2
Ek =
2
E0 = mc2
stosowane jednostki
wyrażenie relatywistyczne
[m] = 1 u = 1.66⋅10 kg
[E] = 1 eV = 1.6 ⋅10−19 J
−27
c = 931.5
Ek = mc2 (γ −1) = mc2 (
MeV
u
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
1
v2
1− 2
c
−1)
zgodność przy niewielkich wartościach v (v << c)
W. Drozdowski
31
Energia cał
całkowita
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
W. Drozdowski
32
Diagram mnemotechniczny
E = γ mc2 , p = γ mv
suma energii spoczynkowej i energii kinetycznej
E0 = mc2
E 2 = γ 2m2c 4 , p2 = γ 2 m2v2
2
Ek = mc (γ −1)
E 2 − p2c2 = γ 2m2c4 − γ 2 m2v2c2
E = E0 + Ek = mc2 + mc2 (γ −1)
v2
E 2 − p2c 2 = γ 2m2c 4 (1 − 2 ) = m2c 4
c
E = γ mc2
E 2 = p 2c2 + m2c4
słuszność zasady zachowania energii całkowitej dla układów
izolowanych w mechanice relatywistycznej
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
W. Drozdowski
cosθ =
33
1
γ
Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka
W. Drozdowski
34
6