W obszarze widmowym długich fal współczynnik załamania silnie

W obszarze widmowym długich fal współczynnik załamania silnie zależy od częstości, np. dla wody n
zmienia się od około 1,33 (światło sodowe
) aż do około 9 dla
. Tak dużą zmianę
współczynnika załamania z częstością można wyjaśnić następującym bardzo prostym modelem
oscylatora. Model ten opiera się na następujących założeniach:
ośrodek wypełniony jest jednorodnie atomami, N atomów w jednostce objętości,
jądra atomowe są nieruchome,
chmura elektronowa opisana jest przez ładunek q i masę m,
na ładunek działa siła harmoniczna:
oraz bardzo mała siła tłumiąca (powoduje,
że rozpatrujemy tylko rozwiązanie stacjonarne oscylatora tłumionego), na tyle mała, że w
rozwiązaniu stacjonarnym pomijamy tłumienie,
w ośrodku rozchodzi się fala elektromagnetyczna o długości dużo większej od rozmiarów
atomów. Pole elektryczne fali powoduje ruch chmury elektronowej. Falę tę traktujemy jako siłę
wymuszającą:
.
Chmura elektronowa wykonuje drgania opisane znanym nam równaniem oscylatora wymuszonego:
,
którego rozwiązanie stacjonarne jest postaci:
.
Stąd otrzymujemy gęstość wyidukowanego prądu:
.
Tę gęstość prądu wstawiamy do równań Maxwella:
i otrzymujemy następujące równanie falowe:
.
Jest to klasyczne równanie falowe z przenikalnością elektryczną (a więc i współczynnikiem
załamania) zależną od częstości:
.
W tym prostym modelu otrzymaliśmy zależność współczynnika załamania od częstości. Zależność ta
jest bardzo silna w pobliżu częstości własnej oscylatora swobodnego (częstości własnej ośrodka). Na
rysunku Figure 1 pokazano tę zależność, która mimo prostoty dość dobrze opisuje rzeczywiste
zależności.
Przykładowa zależność
współczynnika załamania
od częstości w pobliżu
częstości własnej
oscylatora.
W prosty sposób rozpatrywany model możemy zastosować do przewodnika. W przewodniku mamy
dużą liczbę swobodnych ładunków. Przejście do przewodnika polega na
(uwzględniamy w ten sposób ładunki swobodne oraz ładunki związane w zamkniętych powłokach).
Otrzymujemy wówczas wzór na przenikalność elektryczną:
,
gdzie wprowadziliśmy oznaczenie:
. Wielkość tę nazywamy częstością plazmową.
Dla częstości mniejszych od częstości plazmowej
, co oznacza, że współczynnik załamania
jest urojony, a to z kolei oznacza, że współczynnik odbicia dla tego zakresu wynosi 1, a więc fale
elektromagnetyczne o częstościach mniejszych są całkowicie odbijane od przewodnika. Dlatego
metale odbijają światło, np. dla srebra odbijane są fale z całego zakresu światła widzialnego,
natomiast dla złota częstość plazmowa wypada przy kolorze zielonym, stąd złoto „świeci” się na
żółto.
Na rysunku Figure 2 pokazano współczynnik odbicia dla przewodnika.
Kształt współczynnik
odbicia dla przewodnika
(według wzorów
omawianych w tekście).