Funkcje pola we współrzędnych krzywoliniowych cd.

Funkcje pola we współrzędnych
krzywoliniowych cd.
Mariusz Adamski
1.
Współrzędne walcowe.
Definicja. Jeżeli M jest rzutem punktu P na płaszczyznę xy, a r i ϕ są współrzędnymi biegunowymi
M , to zmienne u = r, v = ϕ, w = z nazywamy współrzędnymi walcowymi P .
z
rdϕ
dr
dz
P
z
z^
r^
ϕ
ϕ^
y
r
M
dϕ
x
Między współrzędnymi walcowymi a kartezjańskimi istnieje następujący związek:


 x = r cos ϕ
y = r sin ϕ .

z = z
Ortogonalność. Jeżeli ustalimy współrzędną r, to otrzymamy powierzchnię boczną walca o osi
głównej pokrywającej się z osią z. Jeżeli następnie ustalimy ϕ pozostawiając pozostałe współrzędne
zmienne, otrzymamy półpłaszczyznę zawierającą oś z. Oczywiście obie te powierzchnie są prostopadłe.
Jeżeli natomiast ustalimy z, to dostaniemy płaszczyznę równoległą do xy, która jest prostopadła do
w/w powierzchni. Zatem wszystkie powierzchnie utworzone przez ustalenie jednej ze współrzędnych
są prostopadłe. Wynika z powyższego, że współrzędne walcowe są ortogonalne.
1
Współczynniki Lamego. Przyrosty skalarne wektora wodzącego w kierunkach wersorów r̂, ϕ̂, ẑ są
równe odpowiednio dsr = dr, dsϕ = rdϕ, dsz = dz. Zatem
dr̄ = r̂dsr + ϕ̂dsϕ + ẑdsz = r̂U dr + ϕ̂V dϕ + ẑW dz,
gdzie U , V , W to współczynniki Lamego. Z równości tej wynika postać współczynników Lamego
układu walcowego: U = 1, V = r, W = 1. Element objętości we współrzędnych walcowych dτ =
dsr dsϕ dsz = rdrdϕdz.
2.
Współrzędne sferyczne.
Definicja. Współrzędnymi sferycznymi punktu P nazywamy zmienne u = r, v = ϑ, w = ϕ takie,
że r - odległość P od początku układu współrzędnych, ϑ - kąt pomiędzy promieniem OP a dodatnią
częścią osi z, ϕ - kąt pomiędzy płaszczyzną zawierającą punkt P i oś z a dodatnią częścią osi x.
z
r sinϑdϕ
nϑ
dr
rsi
P
ϑ
r
rdϑ
dϑ
r^
ϕ^
y
^
ϑ
dϕ
ϕ
x
Między współrzędnymi sferycznymi a kartezjańskimi istnieje następujący związek:


 x = r sin ϑ cos ϕ
y = r sin ϑ sin ϕ .

 z = r cos ϑ
Ortogonalność. Jeżeli ustalimy współrzędną r to otrzymamy sferę o środku w początku układu.
Jeżeli natomiast ustalimy ϑ to otrzymamy powierzchnię boczną stożka o wierzchołku w (0, 0, 0),
która jest oczywiście prostopadła do powierzchni sfery. Jeżeli następnie ustalimy ϕ to dostaniemy
półpłaszczyznę zawierającą oś z. Płaszczyżna ta jest prostopadła zarówno do sfery, jak i do stożka.
Z powyższego wynika, że współrzędne sferyczne są ortogonalne.
2
Współczynniki Lamego. Przyrosty skalarne wektora wodzącego w kierunku wersorów r̂, ϑ̂, ϕ̂ są
równe odpowiednio dsr = dr, dsϑ = rdϑ, dsϕ = r sin ϑdϕ. Zatem współczynniki Lamego U = 1,
V = r, W = r sin ϑ. Elemnet objętości we współrzędnych sferycznych dτ = r2 sin ϑdrdϑdϕ.
3.
Operatory różniczkowe we współrzędnych krzywoliniowych.
Gradient we współrzędnych krzywoliniowych. Jeżeli u, v, w są ortogonalnymi współrzędnymi
krzywoliniowymi, to przyrost funkcji skalarnej Φ(u, v, w) można zapisać jako
dΦ =
∂Φ
∂Φ
∂Φ
du +
dv +
dw,
∂u
∂v
∂w
natomiast przyrost wektora wodzącego
dr̄ =
∂ r̄
∂ r̄
∂ r̄
du +
dv +
dw = t̂1 U du + t̂2 V dv + t̂3 W dw,
∂u
∂v
∂w
∂ r̄
∂ r̄
∂ r̄
gdzie t̂1 , t̂2 , t̂3 są wersorami osi odpowiednio u, v, w, a U = | ∂u
|, V = | ∂v
|, W = | ∂w
| to współczynniki
Lamego. Mając powyższe na wzlędzie można zapisać różniczkę zupełną Φ w postaci
!
dΦ =
Ponieważ
t̂1 ∂Φ t̂2 ∂Φ
t̂3 ∂Φ +
+
◦ t̂1 U du + t̂2 V dv + t̂3 W dw =
U ∂u
V ∂v
W ∂w
dΦ
dr̄
!
t̂1 ∂Φ t̂2 ∂Φ
t̂3 ∂Φ
+
+
◦dr̄.
U ∂u
V ∂v
W ∂w
= ∇Φ, mamy
t̂1 ∂Φ t̂2 ∂Φ
t̂3 ∂Φ
+
+
.
U ∂u
V ∂v
W ∂w
Zatem operator ∇ we współrzędnych krzywoliniowych jest postaci
∇Φ =
∇=
t̂1 ∂
t̂2 ∂
t̂3 ∂
+
+
.
W ∂u V ∂v W ∂w
Mnożąc różniczkę zupełną wektora wodzącego dr̄ kolejno przez ∇u, ∇v oraz ∇w można otrzymać
zależności typu
∂ r̄
dr̄◦∇u =
◦∇udu.
∂u
Z drugiej jednak strony dr̄ ◦ ∇u = du, ponieważ jest to rzut przyrostu dr̄ na kierunek wzrostu u.
Ostatecznie otrzymujemy relacje









∂ r̄
∂u
∂ r̄
∂v
∂ r̄
∂w
◦∇u = 1
◦∇v = 1 ⇒



∇u =



∇v =




 ∇w =
◦∇w = 1
t̂1
U
t̂2
V
t̂3
W
Przy takich oznaczeniach operator ∇ można zapisać
∇ = ∇u
∂
∂
∂
+ ∇v
+ ∇w
.
∂u
∂v
∂w
3
.
Dywergencja we współrzędnych krzywoliniowych. Wektor Ā we współrzędnych krzywoliniowych u, v, w można zapisać jako Ā = Au t̂1 + Av t̂2 + Aw t̂3 , gdzie Au , Av , Aw to rzuty wektora Ā na
kierunki wersorów odpowiednio t̂1 , t̂2 , t̂3 . Jeżeli wersory te zapiszemy w postaci


 t̂1 = t̂2 × t̂3 = V W ∇v×∇w
t̂ = t̂ × t̂ = W U ∇w×∇u
2
3
1

 t̂ = t̂ × t̂ = U V ∇u×∇v
3
1
2
to wektor Ā = (V W Au )∇v ×∇w + (W U Av )∇w ×∇u + (U V Aw )∇u×∇v. Taki zapis wektora Ā jest
przydatny dlatego, że dywergencja członów postaci ∇v×∇w jest równa 0, co udowodnimy kożystając
z notacji sumacyjnej:
∂
(εijk ∇vj ∇wk ) = εijk
div(∇v×∇w) =
∂xi
∂
∇vj ∇wk + εijk
∂xi
∂
∇wk ∇vj .
∂xi
Dokonując zmiany indeksów w pierwszej sumie cyklicznie, a w drugiej zamieniając miejscami i i j
otrzymujemy
!
εjki
!
∂
∇vk ∇wi + εjik
∂xj
∂
∇wk ∇vi =
∂xj
!
!
∂
∂
∇vk ∇wi − εijk
∇wk ∇vi ,
εijk
∂xj
∂xj
ale εijk ∂x∂ j ∇vk = (rot grad v)i = 0, a εijk ∂x∂ j ∇wk = (rot grad w)i = 0, zatem obie sumy znikają.
Kożystając z powyższego można dywergencję Ā zapisać jako
div Ā = ∇◦ Ā = ∇(V W Au ) ◦(∇v×∇w) + ∇(W U Av ) ◦(∇w×∇u) + ∇(U V Aw ) ◦(∇u×∇v).
Pierwszy składnik po uwzględnieniu ∇ we współrzędnych krzywoliniowych:
∂
∂
∂
(V W Au )∇u +
(V W Au )∇v +
(V W Au )∇w ◦(∇v × ∇w) =
∂u
∂v
∂w
∂
=
(V W Au )(∇u◦∇v×∇w).
∂u
∇(V W Au ) ◦(∇v×∇w) =
Postępując podobnie z pozostałymi składnikami sumy oraz zauważając, że ∇u◦∇v×∇w = U V1W jako
objętość prostopadłościanu rozpiętego na wektorach ∇u, ∇v, ∇w otrzymujemy ostatecznie
1
div Ā =
UV W
∂
∂
∂
(V W Au ) +
(W U Av ) +
(U V Aw ) .
∂u
∂v
∂w
Rotacja we współrzędnych krzywoliniowych. Zapisując wektor Ā w postaci Ā = Au t̂1 + Av t̂2 +
Aw t̂3 = U Au ∇u + V Av ∇v + W Aw ∇w i uwzględniając rot ∇u = rot ∇v = rot ∇w = 0, mamy
rot Ā = ∇× Ā = ∇(U Au ) ×∇u + ∇(V Av ) ×∇v + ∇(W Aw ) ×∇w.
Rozpiszmy pierwszy składnik tej sumy; otrzymamy:
Oczywiście
∇(U Au ) ×∇u =
∂
∂u (U Au )∇u×∇u
∂
∂
∂
(U Au )∇u +
(U Au )∇v +
(U Au )∇w ×∇u.
∂u
∂v
∂w
= 0. Zatem
∂
∂
∂
1
∂
1
(U Au )∇v×∇u +
(U Aw )∇w×∇u =
(U Au )
t̂2 × t̂1 +
(U Au )
t̂3 × t̂1 ,
∂v
∂w
∂v
VU
∂w
WU
4
ale t̂2 × t̂1 = −t̂3 oraz t̂3 × t̂1 = t̂2 :
∇(U Au ) ×∇u =
∂
1
∂
1
(U Au )
t̂2 −
(U Au )
t̂3 .
∂w
UW
∂v
UV
Postępując podobnie można otrzymać analogiczne związki dla pozostałych czynników:
∂
1
∂
1
(V Av )
t̂3 −
(V Av )
t̂1
∂u
UV
∂w
WV
∂
1
∂
1
∇(W Aw ) ×∇w =
(W Aw )
t̂1 −
(W Aw )
t̂2 .
∂v
VW
∂u
VW
∇(V Av ) ×∇v =
Ostatecznie po pogrupowaniu wyrazów przy odpowiednich wersorach rotacja wektora Ā przybiera
postać
t̂1
rot Ā =
VW
∂
∂
(W Aw ) −
(V Av )
∂v
∂w
∂
t̂2
∂
+
(U Au ) −
(W Aw ) +
U W ∂w
∂u
t̂3
∂
∂
+
(V Av ) −
(U Au )
U V ∂u
∂v
lub w bardziej zwięzłej postaci symbolicznego wyznacznika
U t̂ V t̂ W t̂ 1
2
3 1 ∂
∂
∂
.
rot Ā =
∂u
∂v
∂w
UV W U Au V Av W Aw Laplasjan we współrzędnych krzywoliniowych. Laplasjan to dywergencja gradientu; zastosujemy więc wyprowadzone wyżej wzory na gradient i dywergencję we współrzędnych krzywoliniowych:
2
4Φ ≡ ∇ Φ = div grad Φ = div
t̂1 ∂Φ t̂2 ∂Φ
t̂1 ∂Φ
+
+
U ∂u
U ∂v
W ∂w
!
V W ∂Φ
U ∂u
1
=
UV W
∂
∂u
∂
+
∂v
Literatura
[1] Zarys teorii tensorów i wektorów - Edmund Karaśkiewicz
5
=
W U ∂Φ
V ∂v
∂
+
∂w
U V ∂Φ
W ∂w
!
.