Fizyka dla poetów, kucharzy i biznesmenów
Transkrypt
Fizyka dla poetów, kucharzy i biznesmenów
Fizyka dla biznesmenów 1 Plan referatu 1. Zwiazek ˛ ekonomii z naukami ścisłymi 2. Ekonofizyka 3. Metody fizyki w inżynierii finansowej • Bładzenie ˛ przypadkowe • Uniwersalność • Korelacje • Macierze przypadkowe • ... 4. Metody fizyki w makroekonomii • Uniwersalność i rozkład dochodów • Kondensacja i korupcja 5. Podsumowanie i perspektywy Z.Burda XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich Fizyka dla biznesmenów 2 Zwiazek ˛ ekonomii z naukami ścisłymi Ekonomia jest nauka˛ społeczna. ˛ Rynek → Spekulacje → Rachunek Prawdopodobieństwa → Procesy Stochastyczne → Teoria Portfela (Macierze Przypadkowe) → Ryzyko Finansowe → ... Paul Samuelson, Economics: An introductory analysis, 1948 Z.Burda XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich Fizyka dla biznesmenów 3 Wielcy prekursorzy Spekulacje: Newton, Gauss I can calculate the motions of heavenly bodies, but not the madness of people. Isaac Newton Rachunek pradwopodobieństwa: Pascal, Laplace Procesy stochastyczne: Bachelier, Einstein, Smoluchowski, Wiener Teoria portfela ↔ Macierze przypadkowe: Markovitz ↔ Wigner Z.Burda XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich Fizyka dla biznesmenów 4 Louis Bachelier, Teoria Spekulacji, 1900 Xt+1 = Xt + ξt , hξt i = 0, hξt ξs i = σ 2 δts • prawo rynku finansowego (ruchy Browna) • rozkład prawdopodobieństwa cen, • wycena kontraktów (czasowych), • martyngały, • arbitraż, • efektywność rynku, • ... Nastepcy: ˛ Xt+1 = Xt eξt Przykład arbitrażu: Euro/USD = 1.2, 90 EURO Z.Burda USD/ZL=3.0, EURO/ZL=4.0 −→ 360 ZL −→ 120 USD −→ 100 EURO XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich Fizyka dla biznesmenów 5 Ekonofizyka Matematyka finansowa =⇒ Fizyka finansowa • doświadczalna: ogromne ilości danych • teoria: metody fizyki statystycznej Workshop on Econophysics, Budapeszt, 06.1997 J.-P. Bouchaud and M. Potters, Theory of Financial Risks: From Statistical Physics to Risk Management, Cambridge University Press R.-N. Mategna and H.E. Stanley, An Introduction to Econophysics Correlations and Complexity in Finance, Cambridge University Press Econophysics ? Phynance ? J.-P. Bouchaud Z.Burda XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich Fizyka dla biznesmenów 6 Metody fizyki w inżynierii finansowej • Procesy stochastyczne: prototyp ruchy Browna, równania Langevina, równania Fokkera-Plancka; • Uniwersalność: niezależność od szczegółów; przykład: centralne twierdzenie graniczne; • Macierze przypadkowe: funkcje Greena, diagramatyka Feynmana, rozwiniecie ˛ kolorowe; • ... Z.Burda XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich Fizyka dla biznesmenów 7 Teoria macierzy przypadkowych Wigner: nowy typ fizyki statystycznej do opisu kwantowego układu wielu ciał · ¸ N p(H)dH = exp − tr H2 dH 2 odległość miedzy ˛ poziomami: pW (x) = π 2x = H† ¤ 2 gdzie H £ · exp − π4 x 1 Wigner Poisson data probability 0.8 0.6 0.4 PSfrag replacements 0.2 0 Z.Burda 0 0.5 1 1.5 2 2.5 ∆λ/h∆λi 3 3.5 4 XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich Fizyka dla biznesmenów 8 Zastosowanie modeli macierzowy przypadkowych • kwantowe układy wielu ciał • teoria lokalizacji • szkła spinowe • chaos kwantowy • QCD - operator Diraca • rozwiniecie ˛ 1/N (diagramatyka planarna) • kombinatoryka wezłow, ˛ pseudowezłów, meandrów . . . • 2d grawitacja kwantowa, struny niekrytyczne • hipoteza Riemanna • statysyka wielu stopni swobody • ... • sui generis gałaź ˛ fizyki matematycznej Z.Burda XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich Fizyka dla biznesmenów 9 Macierze kowariancji N zmiennych przypadkowych: Xi , i = 1, . . . , N Macierz kowariancji: Dla prostoty: Cij = hXi Xj i − hXi ihXj i hXi i = 0 −→ Cij = hXi Xj i PSfrag replacements ag replacementsDoświadczalna macierz kowariancji: xit T pomiarów Xi : xit , t = 1, . . . , T N xit N T r = N/T , (r < 1) r = N/T , (r < 1) T cij = c= 1 T Z.Burda 1 T T P t=1 xit xjt c = x · xτ xxτ XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich Fizyka dla biznesmenów 10 Rozkład wartości własnych macierzy przypadkowych Przykład: nieskorolowane identyczne zmienne Cij = hXi Xj i = δij =⇒ ρC (λ) = δ(λ − 1) PSfrag replacements Pytanie: ρc (λ) ? cij ∼ δij + ²ij Granice: √ gdzie ²ij ∼ O(1/ T ) N → ∞ and r = N/T = const p 1 Wishart: ρc (λ) = 2πrλ (λ+ − λ)(λ − λ− ) √ 2 gdzie λ± = (1 ± r) 5 r=1.0 r=0.4 r=0.1 r=0.01 ρc (λ) 4 3 2 1 0 0 Z.Burda 0.5 1 1.5 λ 2.5 3 3.5 4 XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich Fizyka dla biznesmenów 11 Sygnał i szum w macierzy korelacji Problem wprost: ρC (λ) Problem odwrotny ρc (λ) =⇒ ρc (λ) =⇒ ρC (λ) Rzeczywisty problem λ1 , . . . , λN Wynik zależy od r = N T : np. =⇒ ρC (λ) r→0 ⇒ ρc (λ) → ρC (λ) • matematyka • fizyka • biologia • telekomunikacja • teoria informacji • matatyka finansowa (problem portfela) • ... Z.Burda XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich Fizyka dla biznesmenów 12 Wybór portfela Zysk, ryzyko, dywersyfikacja (H. Markovitz) N P pi = 1, X = i=1 Zysk: N P pi X i i=1 hXi = Ryzyko: N P i=1 pi hXi i σ 2 (X) = P pi Cij pj = ij P i λi vi2 Zasada wyboru portfela: zminimalizować ryzyko przy oczekiwanym zysku Jak wyliczyć Cij ? Dane historyczne: cij = ρc (λ) Z.Burda 1 T T P Rit = ln PPitit−1 =⇒ xit = Rit − hRi i xit xjt t=1 → ρC (λ) XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich Fizyka dla biznesmenów 13 Obserwacje empiryczne T 1X Rit − hRi i cij = xit xjt gdzie xit = T t=1 σi 6 6 ρ(λ) 4 4 Market ρ(λ) 2 0 0 20 λ 40 60 2 0 0 1 λ 2 3 PRL 83(7), 1467 (1999) by Bouchaud, Cizeau, Laloux, Potters C vs. c, pojedyncze piki = sektory Uniwersalność =⇒ Potrzebne precyzyjniejsze metody analizy! Z.Burda XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich Fizyka dla biznesmenów Zwiazek ˛ miedzy ˛ C and c 14 Burda, Görlich, Jarosz, Jurkiewicz, Physica A343 (2004) 295. 1 N g(z) = ¿ Tr 1 z−c 1 1 ∓ iπδ(x) = P V + x ± i0 x À = =⇒ 1 N * N X i=1 1 z − λi + 1 ρ(x) = − Im g(x+i0+ ) π 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 0 Z.Burda 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich Fizyka dla biznesmenów 15 Momenty spektralne mk = Z ρc (λ)λk dλ , Mk = Z ρc (λ)λk dλ m1 = M1 m2 = M2 + rM12 m3 = M3 + 3rM1 M2 + r2 M13 ... M1 = m1 M2 = m2 − rm21 M3 ... = m3 − 3rm1 m2 + 2r2 m31 . Odszumiane macierzy kowariancji Wykorzystanie niestatystycznej informacji w wyznaczaniu C Z.Burda XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich Fizyka dla biznesmenów 16 Makroekonomia - rozkład dochodów (bogactwa) V. Pareto, Cours d’économie politique, 1897 dx p(x) = A dx x1+α Prusy 1852 Prusy 1894 Saksonia 1880 Florencja 1880 Bazylea 1880 x À x0 α = 1.89 α = 1.60 α = 1.58 α = 1.41 α = 1.24 R. Gibrat, Les Inégalités Economiques, 1931 dx 1 ln2 (x/x0 ) √ dx p(x) = exp − 2 x 2πσ 2σ 2 Z.Burda XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich Fizyka dla biznesmenów 17 Rozkład bogactwa w Japoni ’98 Wataru Souma, Physics of Personal Income, cond-mat/0202388 Cumulative Probability 1 Adjusted Income−Tax Income Income + Employment Income Power law (α=2.06) Log−normal (x0=4 million yen, β=2.68) −2 10 −4 10 −6 10 −8 10 Z.Burda 1 10 1 2 10 3 10 10 Income (million yen) 4 5 10 XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich Fizyka dla biznesmenów 18 Argument średniopolowy Addytywne zmiany przypadkowe: hξt i = m , yt+1 = yt + ξt hξt ξs ic = σ 2 δts dy PA (y, T ) = √ dy 2πσ 2 T exp − Multiplikatywne zmiany przypadkowe: dx PM (x, T ) = Z.Burda " 1 2σ 2 T µ y − y0 − mT xt+1 = xt eξt , " 1 dx 1 √ exp − 2 x 2σ T 2πσ 2 T ¶2 # yt = ln xt µ ln x x0 emT ¶2 # XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich Fizyka dla biznesmenów Warunki brzegowe: 19 y > y∗ Addytywne zmiany przypadkowe: yt+1 = yt + ξt m = hξt i < 0 =⇒ rozkład eksponencjalny PA (y) dy = αe−α(y−y∗ ) dy Multiplikatywne zmiany przypadkowe: xt+1 = xt eξt , yt = ln xt xα ∗ PM (x) dx = α 1+α dx x Prawo Pareto dla m <0 Prawo Gibrata dla m Z.Burda >0 XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich Fizyka dla biznesmenów 20 Model kulek w pudełkach (poprawiony argument średniopolowy) P. Bialas, Z. Burda, D. Johnston, Nucl. Phys. B493 (1997) 505 p(x)dx ∼ x−1−α dx , X = x1 + ... + xN = const Liczby naturalne xi >0 Granica : N → ∞, ρ = X/N = const Z(X, N ) = X Y {xi >0} i à p(xi ) δ X − N X i=1 xi ! Efektywny rozkład prawdopodobieństwa : pb(x) = Z.Burda 1 N * N X i δ(xi − x) + Z XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich Fizyka dla biznesmenów 21 PSfrag replacements X= PN i=1 xi = P x • x4 = 2 1 Z.Burda 2 3 4 5 .... N −1 N p(x) XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich Fizyka dla biznesmenów Przejście fazowe at ρcr = P W punkcie przejścia fazowego: Faza deficytowa : ρ < ρcr : Faza nadmiarowa : ρ > ρcr : x 22 x p(x) . ρ = ρcr : pb(x) ∼ p(x) . pb(x) ∼ e−σx p(x) . 1 pb(x) ∼ pcr (x) + δ(x, X − N ρcr ) . N Z.Burda XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich Fizyka dla biznesmenów 23 Kondensacja 10 pb(x) ag replacements PSfrag replacements 10 −2 10 −4 10 −6 −8 10 10 1 Z.Burda 2 3 4 5 0 −10 1 10 100 x 1000 N −1 N XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich Fizyka dla biznesmenów 24 Paradoks Czym bardziej restryktywny system tym mniejsze ρcr . Im mniejsze ρcr tym łatwiej wygenerować kondensacje (przejście do fazy nadmiarowej) (Korupcja) W liberalnej makroekonomii typu Pareto nie ma korupcji p(x) ∼ x −1−α for 0 < α < 1 =⇒ ρcr = X x xp(x) = ∞ Nature : http:// www.nature.com/nsu/020121/020121-14.html Wealth spawns corruption Z.Burda XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich Fizyka dla biznesmenów 25 Podsumowanie • Teoria portfela (odszumianie macierzy kowariancji) • Makroekonomia (rozkład dochodów) Perspektywy • Instrumenty pochodne • Arbitraż statystyczny • Szukanie korelacji w danych • Transakcje w internecie • ... Z.Burda XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich