x - HIRG - Politechnika Warszawska

Komputerowa Analiza
Danych Doświadczalnych
Prowadząca:
dr inż. Hanna Zbroszczyk
e-mail:
e-mail [email protected]
tel:
tel +48 22 234 58 51
www: http://hirg.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd
Politechnika Warszawska
Wydział Fizyki
Pok. 117b (wejście przez 115)
1
Regulamin przedmiotu
- Zajęcia trwają 15 tygodni (1 godzina wykładu, 2 godziny laboratorium)
- Warunki zaliczenia:
a) zaliczenie wykładu (kolokwium z teorii na ostatnim wykładzie – 09.06.2010)
b) zaliczenie laboratorium:
- przewidzianych jest 15 zajęć laboratoryjnych
(pierwsze zajęcia wprowadzające, 2 kolokwia, ostatnie zajęcia będą przeznaczone
na wystawianie ocen i ewentualne poprawy; jest 11 zajęć punktowanych);
obecność jest obowiązkowa na każdych zajęciach (możliwe 2 nieobecności);
- spóźnienie na zajęcia powyżej 15 minut automatycznie jest odnotowane jako nieobecność;
- programy należy oddać na tych samych zajęciach- nie ma możliwości oddania za tydzień;
- programy oddane na zajęciach są oceniane w skali 0-5 pkt (pierwsze zajęcia bez punktów);
- w przypadku nie skończenia programu na zajęciach oceniony zostanie napisany fragment;
- w przypadku usprawiedliwionej nieobecności można z prowadzącym ustalić formę zaliczenia
zaległego programu na mniejszą (4 pkt) ilość punktów;
- w trakcie semestru będą 2 kolokwia: jedno w połowie semestru, drugie na końcu;
- kolokwium będzie polegało na napisaniu 3 programów z materiału zrealizowanego
na zajęciach, o podobnym stopniu trudności, każde zadanie będzie punktowane
w skali 0-5 pkt; maksymalna liczba punktów z jednego kolokwium to 15 pkt;
Na ocenę końcowa wpływają wyniki z kolokwium z wykładu (z wagą 0.3),
z kolokwium z laboratorium (0.4) oraz z programów napisanych na zajęciach
(z wagą 0.3).
2
Zalecana literatura
1. S. Brandt; Analiza danych, PWN, Warszawa (1999)
2. R. Nowak, Statystyka dla fizyków, PWN, Warszawa (2002)
3. W.T.Eadie, D.Drijard, F.E.James, M.Ross, B.Sadoulet;
Metody statystyczne w fizyce doświadczalnej, PWN, Warszawa (1989)
4. A.Plucińska, E.Pluciński; Elementy probabilistyki, PWN, Warszawa (1979)
5. Programy biblioteki CERN : CERNLIB, HBOOK, PAW, ROOT
Matriał tego wykładu został opracowany m. in. na podstawie skryptu:
Jolanta Gałązka-Friedman, Irma Śledzińska “Metody opracowania I analizy wyników pomiarowych”;
skrypt wykorzystywany w Laboratorium Fizyki I
3
Program wykładu
1) Pomiary w eksperymentach fizycznych (przypomnienie z rachunku błędów).
2) Zmienne losowe i ich rozkłady (1D, 2D, nD, propagacja błędów).
3) Elementy metody Monte Carlo, generacja liczb pseudolosowych za pomocą komputera.
5) Podstawowe rozkłady statystyczne (dyskretne i ciągłe; centralne twierdzenie graniczne).
6) Pomiar jako pobieranie próby. Estymatory.
7) Metoda największej wiarygodności.
8) Weryfikacja hipotez statystycznych (m. in. test χ2)
9) Metoda najmniejszych kwadratów (przypadek liniowy, wielomianowy, ...)
11) Zagadnienie minimalizacji i optymalizacji.
13) Modelowanie komputerowe eksperymentu.
14) Współczesna realizacja eksperymentów fizycznych.
4
Błędy i niepewności pomiarowe
Dokonując pomiaru danej wielkości (np. fizycznej), niezwykle ważne jest:
- poprawne wykonanie tego pomiaru,
- analiza końcowych wyników pod względem ich wiarygodności, poprawności,
- przedstawienie uzyskanych rezultatów tak, by możliwe było ich poprawne
zinterpretowanie.
Bardzo często dzieje się tak, że mierzona wielkość nie pokrywa się z jej wartością
rzeczywistą. Przyczyny tego faktu mogą być bardzo różne.
Wyniki pomiarów są obarczone błędami pomiarowymi.
5
Błędy i niepewności pomiarowe
Rodzaje błędów pomiarowych:
- błędy grube, tzw. pomyłki, które należy wyeliminować (np. wykonujemy serię
pomiarową 1000 zliczeń rozpadu danego pierwiastka, faktycznie zostało
zmierzone 999 zliczeń)
- niepewności przypadkowe, związane z mierzoną wielkością lub samą metodą
pomiaru: eksperymentatorem wraz z otoczeniem lub przyrządem, jakim
mierzymy (np. pomiar średnicy pręta ołowianego: niepewność systematyczna
obiektu wynikać może z różnicami średnicy w różnych miejsach pręta,
niepewność
systematyczne
metody:
różnice
w
dociskaniu
śruby
mikrometrycznej); związane z wieloma niezależnymi od siebie przyczynami, ich
cecha charakterystyczną jest to, że układają się one symetrycznie wokół wartości
rzeczywistej
- niepewności systematyczne, których źródłem są
ograniczone możliwości
pomiarowe związane np. z klasą użytego przyrządu oraz możliwością odczytu
jego wskazań przez eksperymentatora.
6
Prezentacja wyników pomiaru
- Bezwzględna niepewność pomiarowa ∆x określa o ile wynik pomiaru x może
różnić się od wartości rzeczywistej x0: |x-x0|≤∆x
Zapis ten oznacza, że nie znamy wartości rzeczywistej, ale zakładamy, że mieści
się ona w przedziale: (x-∆x) ≤ x0≤ (x+∆x)
Wynik końcowy zapisujemy jako: x0 = x± ∆x
- Niepewność względna pomiaru to stosunek wartości niepewności bezwzględnej
do wartości otrzymanego wyniku, wyrażony w procentach: ∆xwzgl = (∆x / x) * 100%
7
Prezentacja wyników pomiaru
Końcowe wyniki należy prezentować wraz z odpowiednio dobraną jednostką oraz
z odpowiednią precyzją.
O precyzji świadczy ilość cyfr znaczących (od 1 do 9, 0 jest cyfrą znaczącą tylko
wtedy, kiedy znajdyje się pomiędzy cyframi znaczącymi, np. 509 – 3 cyfry
znaczące; 30 – 1 cyfra znacząca, ponieważ 300 = 3*102, w przypadku 2 cyfr
znaczących: 30 = 3,0 *101).
Niepewności pomiarowe podajemy zawsze z dokładnością do co najwyżej 2
miejsc znaczących i tylko wtedy, kiedy cyfrą znaczącą jest 1 lub 2. W pozostałych
przypadkach wyniki są zaokrąglane do 1 cyfry znaczącej.
8
Prezentacja wyników pomiaru
Zaokrąglanie: ostatnia cyfra nie ulega zmianie, jeśli cyfrą następną jest cyfra z
przedziału [0,4], jeśli cyfra kolejna jest z przedziału [5,9], to ostatnia cyfra zostaje
zwiększona o 1.
Wynik pomiaru jest zakrąglony zawsze do tego samego miejsca dziesiętnego, co
jego niepewność.
Przykłady poprawnie zapisanych wielkości:
m = (92,34 ± 0,12) * 10-3 kg
∆mwzgl = 0,13%
I = (12,7 ± 0,8) mA
∆Iwzgl = 6%
9
Niepewności pomiarowe
Pomiary wielkości fizycznych oraz szacowanie ich niepewności zasadniczono
można podzielić na 3 kategorie:
1) przewaga niepewności systematycznych nad przypadkowymi,
2) przewaga niepewności przypadkowych nad systematycznymi,
3) niepewności przypadkowe są porównywalne z systematycznymi.
W każdej z tych kategorii dodatkowo należy rozważyć przypadki, kiedy:
- pomiar mierzonej wielkości następuje bezpośrednio
(np. pomiar średnicy pręta śrubą mikrometryczną),
- pomiar mierzonej wielkości następuje pośrednio
(np. wyznaczenie objętości ołowianej kulki poprzez pomiar jej średnicy).
10
Ogólne zasady sporządzania wykresu
1) Mierzona wartość jest odkładana na osi odciętych (X). Osie powinny zostać
oznaczone symbolem lub nazwą zmiennej wraz z odpowiednią jednostką
2) Skale obu osi należy dobrać w taki sposób, aby krzywa wykresu przebiegała
możlwie przez całą (większość) powierzchnię. W praktyce: osie nie muszą
zaczynać się od 0, lecz od wartości mniejszej niż wartość zmierzona, a kończyć
na wartości większej niż wartość zmierzona.
3) Przedziałki skali muszą być wyrażnie zaznaczone, tak, by łatwo było odczytać
punkty pomiarowe.
4) Punkty doświadczalne powinny być wyrażnie zaznaczone, tak, aby łatwo było
je odróżnić od przeprowadzonej krzywej (teoretycznej).
5) Należy nanieść niepewności pomiarowe, jeśli znane są niepewności zarówno
wartości odłożonej na osi odciętych, jak i rzędnych, to zaznaczane są kreski
przechodzące przez środek zmierzonego punktu (np, jeśli błąd zmierzonej
wartości odłożonej na osi x wynosi a, to rysowana jest pozioma kreska o długości
2a, gdzie środek przechodzi dokładnie przez wartość punktu na osi odciętych)
11
Przykłady poprawnych wykresów
6) Prowadząc krzywą teoretyczną, nie łączymy ze sobą punktów pomiarowych.
Wartości zmierzone powinny fluktuować wokół krzywej. Krzywa powinna mieścić się
w granicach punktów pomiarowych. Krzywa powinna zostać przeprowadzona w
sposób ciągły.
− x− x 0 
1
exp
2


22
x 0 −wartość oczekiwana
−odchylenie standardowe
f  x =
2

Przykłady poprawnie
zaprezentowanych danych
12
Niepewności systematyczne (duże w porównaniu z przypadkowymi)
1) Pomiar bezpośredni
Na wielkość niepewności systematycznej składają się:
- użyty przyrząd (klasa przyrządu): np. pomiar napięcia woltomierzem
analogowym na zakresie 300V, klasa miernika to 1%: błąd związany z
przyrządem wynosi ∆V1 = 300V * 1% = 3V
- wykonanie czynności pomiarowej przez eksperymentatora: jeśli niepewność
wychylenia się wskazówki w mierniku ocenimy na 1V, to całkowita niepewność
pomiaru wyniesie ∆V = 4V
Oba przyczynki nie kompensują się, lecz dodają z jednakowymi znakami.
13
Niepewności systematyczne (duże w porównaniu z przypadkowymi)
2a) Pomiar pośredni – metoda różniczki zupełnej
Przypadek ten dotyczy większości pomiarów, gdzie niepewności systematyczne
dominują nad przypadkowymi: np. pomiar objętości walca poprzez pomiar jego
wysokości oraz średnicy podstawy.
Na przykładzie funkcji jednej zmiennej:
Chcemy obliczyć zmianę ΔY funkcji f(x) przy zmianie jej arumentu Δx
Y ±Y = f  x± x 
Rozwijając w szereg Taylora mamy oraz zaniedbując wyrazy, gdzie Δx występuje
w potędze wyższa niż 1:
df  x 
Y ±Y = f  x ± x
dx
14
Niepewności systematyczne (duże w porównaniu z przypadkowymi)
Ponieważ:
Y = f x
df  x
Y =∣
∣ x
dx
Bezwzględna niepewność wielkości będącej funkcją jednej zmiennej (której
wartość mierzymy) równa jest bezwzględnej niepewności wielkości mierzonej
pomnozonej przez pochodną funkcji.
Uogólniając ten przypadek na funkcję wielu zmiennych Y= f(x1, x2, ..., xn):
Y =∣
∂ f  x
∂ f  x
∂ f  x
∣ x 1 ∣
∣ x 2...∣
∣ x n
∂ x1
∂ x2
∂ xn
15
Niepewności systematyczne (duże w porównaniu z przypadkowymi)
2a) Pomiar pośredni – metoda różniczki zupełnej - przykład
Mamy 2 równolegle połączone oporniki R1 oraz R2. Błąd wyznaczenia oporności
każdego z nich wynosi 10%. Wyznaczyć wartość oporu zastępczego.
R1=40  , R2 =60  ,  R1=0,4 , R 2 =0,6 
1 1
1
= 
R R1 R2
R=
R1 R 2
=24 
R 1 R 2
∂ R R2  R1  R2  R1 R 2
=
∂ R1
 R1 R2 2
 R=∣
∂R
∂R
∣ R1 ∣
∣ R2
∂ R1
∂ R2
∂ R R1  R1  R2  R1 R 2
=
∂ R2
 R1 R 2 2
R1
R
R2
 R=0,84∗0,40.64∗0,6 []=0,72 
R=24,0±0,7
16
Niepewności systematyczne (duże w porównaniu z przypadkowymi)
2a) Pomiar pośredni – metoda różniczki logarytmicznej
W przypadku, kiedy funkcja Y= f(x1, x2, ..., xn) ma postać iloczynową,
wygodniej jest stosować tę metodę.
a1
a2
an
Y = A x 1 x 2 ... x n
Po zlogarytmowaniu:
Różniczka:
ln Y =ln Aa 1 ln x 1 a 2 ln x 2...a n ln x n
dx 1
dx 1
dx n
dY
=a1
a 2
ln Y ...an
Y
x1
x2
xn
∣
 xi
Y
∣=∑ ∣a i
∣
Y
xi
17
Niepewności systematyczne (duże w porównaniu z przypadkowymi)
a1
a2
an
Y = A x 1 x 2 ... x n
 xi
Y
∣
∣=∑ ∣a i
∣
Y
xi
Przykład: wyznaczenie oporności opornika, na którym zmierzono spadek
napięcia U oraz przez który przepłynął prąd stały o natężeniu I
U =31,07±0,52 V
I =2,01±0,07 A
R=
U 31,07
=
V / A=15,46 
I
2,01
 R U
− I
∣
∣=∣
∣∣
∣=0,01670,0348=0,515
R
U
I
R=15,4±0,8
R
18
Niepewności przypadkowe (duże w porównaniu z systematycznymi)
1) Pomiar bezpośredni
Przykład:
n=1000
została
razy
zmierzona
grubość
ołowianego pręta za pomocą
śruby
mikrometrycznej
(niepewność systematyczna od
śruby to ∆x = 0,01 mm).
Wyniki zestawiono na histogramie, gdzie szerokość jednego przedziału wynosi ∆x
= .0,05 mm. Rysujemy rozkład częstości, a następnie dopasowujemy rozkład
Gaussa, charakteryzujący się parametrami: wartością średnią a oraz odchyleniem
standardowym σ.
19
Niepewności przypadkowe (duże w porównaniu z systematycznymi)
Średnia arytmetyczna:
xi
∑
m= x=
n

2
Odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru:
 x − xi 
∑
Sx=
n −1
Średni błąd kwadratowy średniej:
Sx
Sx=
=
n
Wartości
x ± Sx

∑  x− x i 2
n  n −1
określają przedział, w jakim z prawdopodobieństwem 68%
nalezy oczekiwać wartości rzeczywistej. Wzięcie przedziału równego x ±2Sx
lub x ±3Sx spowoduje wzrost tego prawdopodobieństwa do 95,4% oraz 99,7%.
W praktyce podajemy wynik na poziomie 1 odchylenia standardowego.
20
Niepewności przypadkowe (duże w porównaniu z systematycznymi)
2) Pomiar pośredni
Załóżmy, że przedmiotem pomiary jest wielkość Z=f(X1, X2,...Xn).
Mierzone bezpośrednio są wielkości X 1 , X 2 , ... X n
S X , S X , ... , S X
wraz z ich niepewnościami:
1
1
n
Można wykazać, że Z = f  X 1 , X 1 ,... , X n 

2
∂ f  x 1 , x 2 ,... , x n 
x 1 , x 2 ,... , x n  s 2x
A także: S Z = ∑ 
∂ xi
i
Przykład: Zmierzona została długość ołowianego pręta: l±S l =1,05±0,11cm
Celem jest wyznaczenie objętości tego pręta. Zmierzono także średnice,
otrzymano wynik: d ±S d =5,02±0,12 cm
2
Objętość: V =d / 2 l=20,78 cm

3
2
2
∂
f
l
,
d

∂
f
l
,
d

2
2
3
Błąd: S V = ∑ 
 s l 
 s d =2.39 cm
∂l
∂d
V =20,8±2,4cm
3
21