Sem..

POLITECHNIKA ×ÓDZKA
Wydzia÷Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej
Kierunek:
Specjalność:
Matematyka
Matematyka Finansowa i Ubezpieczeniowa
Pawe÷Kadziela
¾
Seminarium 1
Praca zaliczeniowa napisana w Instytucie Matematyki
pod kierunkiem profesora Jana Kubarskiego
×ódź, styczeń 2009
1
1
Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowej
Twierdzenie 1 Niech E, F bed
¾ a¾ dowolnymi przestrzeniami liniowymi. Niech
ai , dla i = 1::r, bed
¾ a¾ dowolnymi wektorami nale·zacymi
¾
do E oraz niech bj , dla
r
P
aj
j = 1::r, bed
¾ a¾ bowolnymi wektorami liniowo niezale·znymi z F . Je·zeli
j=1
bj = 0, to aj = 0 dla ka·zdego j 2 f1::rg.
Dowód. Wektor (bj ) jest liniowo niezalez·ny. Oznacza to, z·e z·aden z bj ,
j = 1::r, nie jest liniowa¾ kombinacja¾ pozosta÷ych. Moz·emy zatem wybrać r
funkcjona÷
ów liniowych g i : F ! , i = 1::r określonych wzorem
g i (bj ) =
Rozwaz·my odwzorowanie dwuliniowe
(x; y) =
ij :
:E
r
X
F !
zde…niowane nastepuj
¾ aco
¾
f i (x) g i (y) ,
i=1
gdzie f i jest dowolnym funkcjona÷
em liniowym w E, takim, z·e f i : E ! . Z
·e istnieje liniowe odwzorowanie h : E F ! takie, z·e
2 wynika, z
h (x
y) =
(x; y) =
r
X
f i (x) g i (y) ,
i=1
Wtedy
0
1
r
r
r
X
X
X
h @ aj bj A =
f i (aj ) g i (bj ) =
f i (ai ) ,
j=1
Stad
¾ i z liniowości h,
j;i=1
r
P
ai
i=1
bi = 0. Ostatecznie mamy, z·e
i=1
r
P
f i (ai ) = 0.
i=1
Weźmy 1 k r, gdzie k jest liczba¾ naturalna.
¾ Niech f i = 0 dla i 6= k. Wtedy
r
P
z
f i (ai ) = 0 mamy, z·e f k (ak ) = 0. Poniewaz· k jest dowolna¾liczba¾naturalna¾
i=1
i f k jest dowolnym funkcjona÷em liniowym to ak = 0, dla k = 1::r.
References
[1] W.H. Greub, Multilinear Algebra, Springer-Verlag New York Inc., 1967.
2