Liczby zespolone

Liczby zespolone
(fragment notatnika NOF_3.nb)
Liczby zespolone to (uporządkowane) pary liczb rzeczywistych, dla których
dodawanie i mnożenie jest określone wzorami:
(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)
(a,b) * (c,d) = (a*c-b*d,a*d+b*c),
gdzie a, b, c i d to liczby rzeczywiste. Liczby zespolone z powyższymi
działaniami stanowią ciało.
Liczbę (a,b) można napisać w postaci:
(a,b) = (a,0)*(1,0) + (b,0)*(0,1).
Liczby postaci (a,0) wykazują identyczne własności jak liczby rzeczywiste, a
więc możemy je utożsamić z nimi i pisać krótko a. Liczbę zespoloną (0,1)
oznaczamy literą i.
Ostatecznie, zamiast (a,b) piszemy często a + b*i. Liczbę a nazywamy częścią
rzeczywistą liczby z (a = Re(z)), a liczbę b nazywamy częścią urojoną liczby z
(b=Im(z)).
Wielkość z = a2 + b2 nazywamy wartością bezwzględną (modułem)
liczby zespolonej. Każdą liczbę ϕ o tej własności, że
Re(z) = | z | cos ϕ ,
Im(z) = | z | sin ϕ ,
nazywamy argumentem liczby zespolonej z, pisząc ϕ=arg(z).
Jeśli ϕ=arg(z) → ϕ’=ϕ+2π=arg(z).
Dlatego umawiamy się co do tzw. argumentu głównego liczby zespolonej, że
będzie leżał w przedziale [ 0, 2π ).
Każda liczba zespolona z może być więc zapisana w postaci
2
liczby_zespolone1.nb
trygonometrycznej:
z = | z | ( cos ϕ + i*sin ϕ ) , gdzie ϕ jest dowolnym argumentem z.
Często uzywany jest też zapis wykładniczy
z = | z | ⅇⅈϕ , równoważny postaci trygonometrycznej.
Każda liczba zespolona różna od zera ma n różnych pierwiastków
n-tego stopnia. Są to liczby o tej własności, że podniesione do potęgi n dają
liczbę z. Jeśli z =
zk =
n
z
ⅇ
ⅇⅈϕ , to pierwiastkami są liczby
z
ⅈ (ϕ + 2 k )
n
,
gdzie k=0, 1, ..., n-1.
In[55]:=
Liczba zespolona jako para liczb rzeczywistych
In[56]:=
(* Zapis {x, y} oznacza parę liczb dokładniej listę dwuelementową,
zaś zij jest j-tym elementem listy zi. Tego
zapisu uzyjemy do bezpośredniej definicji liczb zespolonych *)
In[57]:=
z1 = a1, b1; z2 = a2, b2; z3 = a3, b3; z4 = a4, b4;
In[58]:=
(* Zakładamy, że wielkości a1,b1,a2,b2,a3,b3,a4,b4 są rzeczywiste *)
In[59]:=
$Assumptions = Elementa1, b1, a2, b2, a3, b3, a4, b4, Reals
Out[59]=
In[60]:=
Out[60]=
(a1
b1
a2
b2
a3
b3
a4
b4) ∈ Reals
Simplify[Im[a1]]
0
In[61]:=
Udowodnimy, że dodawanie liczb zespolonych jest łączne, korzystając najpierw z definicji Hamiltona,
gdzie liczba zespolona jest parą liczb rzeczywistych
In[62]:=
(* Definicja dodawania liczb
zespolonych: działanie na dwóch listach daje listę *)
In[63]:=
dodaj[z1_, z2_] := {z1[[1]] + z2[[1]], z1[[2]] + z2[[2]]}
In[64]:=
z12 = dodaj[z1, z2]
Out[64]=
In[65]:=
Out[65]=
{a1 + a2, b1 + b2}
l = dodaj[z12, z3]
{a1 + a2 + a3, b1 + b2 + b3}
liczby_zespolone1.nb
In[66]:=
Out[66]=
In[67]:=
Out[67]=
z23 = dodaj[z2, z3]
{a2 + a3, b2 + b3}
p = dodaj[z1, z23]
{a1 + a2 + a3, b1 + b2 + b3}
In[68]:=
l⩵p
Out[68]=
True
In[69]:=
(* Dodawanie liczb zespolonych jest więc łączne ! *)
In[70]:=
Udowodnimy, że mnożenie liczb zespolonych jest łączne, korzystając najpierw z definicji Hamiltona,
gdzie liczba zespolona jest parą liczb rzeczywistych
In[71]:=
(* Definicja mnożenia liczb
zespolonych: działanie na dwóch listach daje listę *)
In[72]:=
mnóż[z1_, z2_] :=
{z1[[1]] * z2[[1]] - z1[[2]] * z2[[2]], z1[[1]] * z2[[2]] + z1[[2]] * z2[[1]] }
In[73]:=
z12 = mnóż[z1, z2]
Out[73]=
In[74]:=
Out[74]=
In[75]:=
Out[75]=
In[76]:=
Out[76]=
In[77]:=
Out[77]=
In[78]:=
Out[78]=
In[79]:=
{a1 a2 - b1 b2, a2 b1 + a1 b2}
l = mnóż[z12, z3]
{a3 (a1 a2 - b1 b2) - (a2 b1 + a1 b2) b3, a3 (a2 b1 + a1 b2) + (a1 a2 - b1 b2) b3}
z23 = mnóż[z2, z3]
{a2 a3 - b2 b3, a3 b2 + a2 b3}
p = mnóż[z1, z23]
{-b1 (a3 b2 + a2 b3) + a1 (a2 a3 - b2 b3), a1 (a3 b2 + a2 b3) + b1 (a2 a3 - b2 b3)}
l⩵p
{a3 (a1 a2 - b1 b2) - (a2 b1 + a1 b2) b3, a3 (a2 b1 + a1 b2) + (a1 a2 - b1 b2) b3} ⩵
{-b1 (a3 b2 + a2 b3) + a1 (a2 a3 - b2 b3), a1 (a3 b2 + a2 b3) + b1 (a2 a3 - b2 b3)}
Simplifyl ⩵ p
True
(* Mnożenie liczb zespolonych jest więc łączne ! *)
In[80]:=
In[81]:=
(* Element odwrotny dla dodawania *)
In[82]:=
z4 = a4, b4;
3
4
liczby_zespolone1.nb
In[83]:=
Out[83]=
Solvedodaj[z1, z4] ⩵ {0, 0}, z4
{{a4 → -a1, b4 → -b1}}
In[84]:=
In[85]:=
(* Element odwrotny dla mnożenia, przyzałożeniu,
że liczba zespolona nie jest parą zer *)
In[86]:=
Solvemnóż[z1, z4] ⩵ {1, 0}, z4
Out[86]=
In[87]:=
a4 →
a1
a12
+ b12
, b4 → -
b1
a12
+ b12

ClearAll[z1, z2, z3, z4];
In[88]:=
Teraz do wykazania łączności dodawania i mnożenia liczb zespolonych
zastosujemy zapis z I, gdzie I*I=-1
Udowodnimy, że dodawanie liczb zespolonych jest łączne
In[89]:=
z1 = a1 + b1 * I; z2 = a2 + b2 * I; z3 = a3 + b3 * I; z4 = a4 + b4 * I;
In[90]:=
z12 = z1 + z2
Out[90]=
In[91]:=
Out[91]=
In[92]:=
Out[92]=
In[93]:=
Out[93]=
In[94]:=
Out[94]=
In[95]:=
a1 + a2 + ⅈ b1 + ⅈ b2
l = z12 + z3
a1 + a2 + a3 + ⅈ b1 + ⅈ b2 + ⅈ b3
z23 = z2 + z3
a2 + a3 + ⅈ b2 + ⅈ b3
p = z1 + z23
a1 + a2 + a3 + ⅈ b1 + ⅈ b2 + ⅈ b3
Simplifyl ⩵ p
True
(* A więc dodawanie jest łączne *)
In[96]:=
Udowodnimy, że mnożenie liczb zespolonych jest łączne
In[97]:=
Out[97]=
In[98]:=
Out[98]=
z12 = z1 * z2
(a1 + ⅈ b1) (a2 + ⅈ b2)
Expand[z1 * z2]
a1 a2 + ⅈ a2 b1 + ⅈ a1 b2 - b1 b2
liczby_zespolone1.nb
In[99]:=
l = Expand[z12 * z3]
Out[99]=
a1 a2 a3 + ⅈ a2 a3 b1 + ⅈ a1 a3 b2 - a3 b1 b2 + ⅈ a1 a2 b3 - a2 b1 b3 - a1 b2 b3 - ⅈ b1 b2 b3
In[100]:=
z23 = z2 * z3
Out[100]=
In[101]:=
Out[101]=
In[102]:=
Out[102]=
(a2 + ⅈ b2) (a3 + ⅈ b3)
Expand[z2 * z3]
a2 a3 + ⅈ a3 b2 + ⅈ a2 b3 - b2 b3
p = Expand[z1 * z23]
a1 a2 a3 + ⅈ a2 a3 b1 + ⅈ a1 a3 b2 - a3 b1 b2 + ⅈ a1 a2 b3 - a2 b1 b3 - a1 b2 b3 - ⅈ b1 b2 b3
In[103]:=
l⩵p
Out[103]=
True
In[104]:=
(* Z tego wynika, że mnożenie też jest łączne ! *)
5