WRAiT lista 7 1 XII 2016

WRAiT
lista 7 1 XII 2016
Zad. 1 Podaj przykład funkcji f jednostajnie ciagłej
˛
takiej, że f2 nie jest jednostajnie ciagła.
˛
Czy
2
istnieje funkcja f, która nie jest jednostajnie ciagła,
˛
a f i owszem?
Zad. 2 Czy suma funkcji spełniajacych
˛
warunek Lipschitza musi spełniać warunek Lipschitza? A
iloczyn? A jak jest dla funkcji jednostajnie ciagłych?
˛
Zad. 3 Niech a b˛edzie ustalonym punktem przestrzeni metrycznej (X, d). Pokaż, że funkcja f : X →
R określona wzorem
f(x) = d(a, x)
jest ciagła.
˛
Czy funkcja f jest ciagła jednostajnie? Czy spełnia warunek Lipschitza?
Zad. 4 Korzystajac
˛ z zadania 8 z listy 5 pokaż, że funkcja odległości od ustalonego zbioru A, czyli
f(x) = dist (x, A) : X → [0, ∞) spełnia warunek Lipschitza.
Zad. 5 Zakładamy, że (X, d) jest przestrzenia˛ metryczna,˛ A, B ⊂ X sa˛ niepustymi, rozłacznymi
˛
i
domkni˛etymi podzbiorami X. Dla x ∈ X niech
f(x) =
dist (x, A)
.
dist (x, A) + dist (x, B)
Uzasadnij, że f : (X, d) → ([0, 1], dE ) jest funkcja˛ ciagł
˛ a˛ oraz dla x ∈ A f(x) = 0, zaś dla x ∈ B
f(x) = 1.
Zad. 6 Które z poniższych funkcji T : X → Y sa˛ ciagłe,
˛
jednostajnie ciagłe,
˛
spełniaja˛ warunek
Lipschitza?
a) T (f) = f(0, 12112015), X = (C[0, 1], dsup ), Y = (R, dE );
b) T (f)(x) = f(1 − x) − 3x + 5, X = Y = (C[0, 1], dsup );
c) T (f)(x) = f 0 (x), X = (C1 [0, 1], dsup ), Y = (C[0, 1], dsup ).
Zad. 7 Załóżmy, że (X, dX ) oraz (Y, dY ) sa˛ przestrzeniami metrycznymi a S jest ograniczonym
podzbiorem X. Załóżmy, że f : X → Y spełnia warunek Lipschitza. Pokaż, że f(S) jest ograniczonym
podzbiorem Y.