Ginzburg

Warsztaty metod fizyki teoretycznej
Zestaw 8
Teoria Ginzburga-Landaua
superconductivity made easy
Jan Kaczmarczyk
08.05.2014
Wstęp
Teoria Ginzburga-Landaua została sformułowana [1] w roku 1950, a więc na kilka lat przed
podaniem mikroskopowej teorii nadprzewodnictwa przez Bardeena, Coopera i Schrieffera [2].
W obecnym czasie mechanizm parowania się elektronów w nadprzewodnikach nie był jeszcze
do końca jasny. Ginzburg i Landau postanowili rozszerzyć teorię Landaua przejść fazowych
II rodzaju na przypadek nadprzewodnictwa i otrzymali w ten sposób bardzo prostą teorię
fenomenologiczną. Jak się później okazało, wiele zjawisk jest dobrze tłumaczonych właśnie
przez tą teorię, a nie przez mikroskopową teorię BCS, co może dziwić, biorąc pod uwagę jej
prostotę. Dodatkowo, w roku 1959 Gorkov pokazał, że formalizm Ginzburga-Landaua da się
wyprowadzić z teorii mikroskopowej BCS.
Piękno teorii GL polega na tym, że pozwala ona rozwiązać wiele problemów z dziedziny nadprzewodnictwa bez odwoływania się do mikroskopowej (skomplikowanej) teorii BCS. Między
innymi Abrikosovi udało się na gruncie formalizmu GL pokazać, że w nadprzewodnikach II rodzaju blisko krytycznego pola magnetycznego tworzy się sieć wirów (vortexów), za co przyznana
mu została nagroda Nobla (razem z Ginzburgiem i Leggettem) w roku 2003 (patrz rys. 1).
W obecnym zestawie postaramy się od zera sformułować teorię Ginzburga-Landaua zaczynając
od najprostszego przypadku jednorodnego i stopniowo udoskonalając model przez uwzględnienie
niejednorodności oraz pola magnetycznego. Następnie poznamy przykładowe zastosowania tej
prostej i równocześnie potężnej teorii.
Zad. 1.
Przypadek jednorodny - funkcjonał energii swobodnej
Teoria przejść fazowych drugiego rodzaju rozwinięta przez Landaua w latach 30-tych wykorzystuje fakt, że takie przejścia zwykle wiążą się ze zmianą symetrii w rozważanym układzie.
Przykładowo magnes w temperaturze powyżej temperatury Curie nie posiada momentu magnetycznego, natomiast poniżej tej temperatury spontanicznie pojawia sie namagnesowanie w
pewnym arbitralnym kierunku.
W teorii Landaua przejścia fazowe charakteryzuje parametr porządku, który jest zerowy
w stanie nieuporządkowanym powyżej Tc , a staje się niezerowy dla niższych temperatur. W
przypadku magnesu odpowiednim parametrem porządku jest magnetyzacja M (r).
1
Rysunek 1: Sieć wirów w nadprzewodniku (STM, NbSe2 , 1.9T , 4.3K, A. M. Troyanovski et
al., Leiden University, Nature 399, 665 (1999)) i nagroda Nobla dla Abrikosova.
Kluczowym krokiem w teorii Landaua przejść fazowych jest rozwinięcie energii swobodnej w
pobliżu przejścia w szereg potęgowy względem parametru porządku.
Zastanów się, co może być parametrem porządku w przypadku nadprzewodnika. Następnie rozwiń energię swobodną (na jednostkę objętości) w pobliżu T = Tc w szereg potęgowy względem
tego parametru.
Wskazówki:
• Taki parametr dla nadprzewodnika jest liczbą zespoloną, natomiast energia musi być
rzeczywista,
• Energia musi być analityczna w pobliżu parametr porzadku = 0,
• Zastanów się jaka jest najmniejsza liczba potrzebnych wyrazów,
• Rozwinięcie powinno mieć postać fs (T ) = fn (T ) + ..., gdzie fs (T ) i fn (T ) to energia
swobodna na jednostkę objętości dla nadprzewodnika i stanu normalnego, odpowiednio,
natomiast ... oznacza wyrazy zależne od parametru porządku.
Wyrazy rozwinięcia powinieneś dobrać tak, aby otrzymać zawsze minimum energii dla skończonej wartości parametru porządku oraz aby dla T < Tc rozwiązanie z niezerowym parametrem
porządku miało niższą energię.
Dla jakiej wartości parametru porządku wprowadzony funkcjonał energii swobodnej osiąga
wartość minimalną?
Jaką mamy degenerację? (Dla magnesu była degeneracja rozwiązań ze względu na obrót wektora
magnetyzacji)
Oblicz entropię s = S/V oraz ciepło właściwe CV = T ds/dT na jednostkę objętości.
Zad. 2. Przypadek niejednorodny
Sformułowanie
Wystartuj z funkcjonału dla przypadku jednorodnego Ψ(r) = Ψ = const.
2
fs (T ) = fn (T ) + a(T )|Ψ|2 +
b(T ) 4
|Ψ|
2
(1)
i uwzględnij przestrzenne zmiany Ψ(r). Wskazówki:
• Zapomnij na chwilę, że Ψ(r) jest parametrem porządku i zastanów się, jak w mechanice
kwantowej zmiany przestrzenne funkcji falowej wpływają na energetykę układu (równanie
Schroedingera). Jaki w związku z tym (w analogii do r. Schroedingera z Hamiltonianem
cząstki swobodnej) należy dodać wyraz do naszego funkcjonału fs (T )?
• Co teraz będzie wielkością, którą należy zminimalizować (w związku z tym, że fs (T ) zależy
od r)?
Znajdź minimum dla otrzymanego funkcjonału energii swobodnej (a raczej równanie je definiujące). W tym celu należy albo rozważyć Ψ(r) które daje minimum i małą odchyłkę od niego
Ψ(r) → Ψ(r)+δΨ(r), albo zróżniczkować funkcjonał po Ψ(r) oraz Ψ(r)∗ (functional derivatives)
i otrzymane pochodne przyrównać do zera.
Powinieneś otrzymać równanie nieliniowe na Ψ(r).
Zastosowanie - powierzchnia nadprzewodnika
Ciekawym problemem jest jak parametr porządku zachowuje się w pobliżu powierzchni nadprzewodnika, a w szczególności na jakiej głębokości ξ osiąga swoją maksymalną wartość.
W celu zbadania tego zjawiska rozważ jednowymiarowy problem, w którym dla x < 0 mamy
próżnię i warunek brzegowy Ψ(r) = 0, natomiast dla x > 0 nadprzewodnik i Ψ(r) 6= 0.
Przy takim warunku brzegowym rozwiąż równanie
h̄2 d2 Ψ(r)
+ a(T )Ψ(r) + b(T )Ψ3 (r) = 0.
(2)
2m∗ dx2
w obszarze x > 0. Co zmieni się, jeśli przyjmiemy warunek brzegowy Ψ(r) = C dla pewnej
stałej C?
Wskazówki: Przejdź do zmiennych bezwymiarowych, rozwiązaniem jest Ψ(r) = g(a, b) tgh(...)
−
Zad. 3. Uwzględnienie pola magnetycznego
Sformułowanie
Wystartuj z funkcjonału dla przypadku niejednorodnego z Ψ(r)
Fs (T ) = Fn (T ) + ...
(3)
i uwzględnij pole magnetyczne B.
Wskazówki:
• Zapomnij na chwilę, że Ψ(r) jest parametrem porządku i zastanów się, jak w mechanice
kwantowej uwzględnialiśmy pole magnetyczne :). Postąp analogicznie.
• Oprócz powyższej zmiany należy jeszcze dodać do naszego funkcjonału jeden wyraz (związany z obecnością pola). Jaki?
3
Rysunek 2: Pierścień nadprzewodzący w polu magnetycznym.
W domu znajdź minimum dla otrzymanego funkcjonału energii swobodnej. Teraz nie mamy na
to czasu (skomplikowane różniczkowanie względem Ψ(r), Ψ(r)∗ , A(r)) :).
Powinnieneś otrzymać dwa równania. Pierwsze analogiczne do (2), a drugie następujące
js = −
2eh̄i ∗
(2e)2 2
∗
(Ψ
∇Ψ
−
Ψ∇Ψ
)
−
|Ψ| A.
2m∗
m∗
(4)
Zastosowanie do obliczenia kwantu strumienia pola magnetycznego
Zastosujemy teraz teorię Ginzburga-Landaua do przypadku nadprzewodzącego pierścienia, przez
który przenika pole magnetyczne (patrz rys. 2). Będziemy opisywali nadprzewodnictwo przy
użyciu zmiennych cylindrycznych r = (r, φ, z). Oś z ustalamy jako prostopadłą do płaszczyzny
pierścienia i przechodzącą przez jego środek.
Jest oczywistym, że parametr porządku musi być periodyczną funkcją φ. Zakładamy, że zmiany
Ψ(r) w przekroju pierścienia są nieistotne, więc możemy zaniedbać zależność Ψ od r oraz z.
Wobec tego postać parametru porządku jest następująca
Ψ(φ) = Ψ0 einφ ,
(5)
gdzie n jest liczbą całkowitą, a Ψ0 to pewna stała.
1. Zakładając, że przez pierścień przenika strumień magnetyczny Φ pokaż, że potencjał wekΦ
, 0), gdzie R jest promieniem pierścienia.
torowy A może być wybrany jako A(r) = (0, 2πR
Wystartuj z definicji Φ.
2. Oblicz energię swobodną pierścienia dla funkcji falowej (5) oraz wprowadzonego powyżej
potencjału wektorowego. Wskazówka: ∇ = ∂r er + 1r ∂φ eφ + ∂z ez
3. Dla jakich wartości strumienia magnetycznego Φ energia swobodna osiąga minimum?
Wskazówka: Energia pola magnetycznego może być zapisana jako const. Φ2
Literatura
[1] V. L. Ginzburg and L. D. Landau, Zh. Eksperim. i. Teor. Fiz. 20, 1064 (1950).
[2] J. Bardeen, L. N. Cooper, J. R. Schrieffer, Theory of Superconductivity, Phys. Rev. 108,
1175 (1957).
4