MUMIO Lab 2 ( transformaty, momenty) 1. Funkcja tworzaca

MUMIO Lab 2 ( transformaty, momenty)
1. Funkcja tworza̧ca prawdopodobieństwa zmiennej losowej X w punkcie
t ma postać: PX (t) = E(tX ). Znajdź funkcje tworza̧ce prawdopodobieństwa dla nastȩpuja̧cych rozkładów dyskretnych:
P oi(λ)
Bin(n, p) (Dwumianowy)
Geo(p) (Geometryczny)
Rozkład atomowy skupiony w punktach 1, ..., N z prawdopodobieństwami p1 , ..., pN
2. Funkcja tworza̧ca momenty zmiennej losowej X w punkcie t ma postać:
MX (t) = E exp(tX). Znajdź funkcje tworza̧ce momenty dla nastȩpuja̧cych
rozkładów dyskretnych: (Wsk: MX (t) = PX (etX ))
P oi(λ) (Poissona)
Geo(p) (Geometryczny)
Bin(n, p) (Dwumianowy)
rozkład atomowy skupiony w punktach a1 , ..., aN z prawdopodobieństwami p1 , ..., pN
3. Korzystaja̧c z zadania 2 oblicz (różniczkujac
, funkcje, tworzac
, a, momenty) E(X 2 ), E(X 3 ), E((X − EX)2 ), E((X − EX)3 ) - momenty
powyższych zmiennych losowych
4. Znajdź funkcje tworza̧ce momenty dla nastȩpuja̧cych rozkładów cia̧głych:
Exp(λ) (wykładniczy)
Erlang(n, β) (Erlanga)
U [a, b] (jednostajny na odcinku [a, b])
Znajdź pierwsze trzy momenty tych rozkładów, oraz wariancję, używając funkcji tworzących oraz niezależnie z definicji (Spróbuj najpierw
wykonać zadanie bez użycia Maple).
5. Funkcja gȩstości rozkładu wektora losowego (X, Y ) dana jest wzorem
f(X,Y ) (x, y) = x + y, (x, y) ∈ (0, 1) × (0, 1),
oraz równa jest zero poza tym obszarem. Znajdź wykres gestości.
Policz
,
E(X | Y = 0.5).
1