Momenty i podziały zbioru

Momenty i podziały zbioru
Rozważamy zbiór Ω wszystkich premutacji zbioru {1, 2, 3, . . . , n}. Zakładamy, że permutacje są jednakowoprawdopodobne. Definiujemy zmienną losową, która przyporządkowuje permutacji σ liczbę numerów i takich, że
σ(i) = i.
Pokażemy, że k-ty moment mk równy jest liczbie podziałów zbioru kelementowego na nie więcej niż n podzbiorów. Dla k ¬ n nie mamy ograniczenia na liczbę podzbiorów i mk jest liczbą Bella Bk (B0 = 1, B1 = 1,
B2 = 2, B3 = 5, B4 = 15, B5 = 52).
Dowód.
mk =
1 X
(δ1,σ1 + δ2,σ2 + · · · + δn,σn )k .
n! σ∈Ω
Wymnażając
(δ1,σ1 + δ2,σ2 + · · · + δn,σn )k
otrzymujemy nk składników postaci
δi1 ,σi1 δi2 ,σi2 · · · δik ,σik .
Popatrzmy na jeden ze składników. Indeksy i1 , i2 , . . . , ik tworzą pewien zbiór
j-elementowy. Wśród k indeksów wybranych ze zbioru n elementowego pewne
indeksy mogą się powtarzać.
Możemy myśleć, że nawiasy w iloczynie (potędze) zostały oznaczone etykietami z tego zbioru, przy czym każda etykieta została wykorzystana. W
ten sposób zbiór nawiasów został podzielony na j podzbiorów (do podzbioru
należą nawiasy opatrzone tą samą etykietą).
Dla danego j, określony podział na podzbiory może być uzyskany na
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − j + 1) sposobów.
W sumie względem σ mamy (n − j)! składników równych jeden (wartości
σ dla numerów nie występujących wśród i1 , i2 , . . . , ik mogą być zupełnie dowolne). Pozostałe składniki są równe zero. Zatem składniki odpowiadające
danemu podziałowi dadzą wkład równy
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − j + 1) × (n − j)! = n!,
a przez tyle dzielimy na koniec rozważaną sumę.
Wynika stąd, że mk jest liczbą podziałów zbioru k-elementowego na nie
więcej niż n niepustych podzbiorów.
1
Uwaga 1. Prawdopodobieństwo, że dla żadnego i nie zajdzie równość
σ(i) = i wyraża się wzorem (wynik można znaleźć w wielu podręcznikach)
Qn = 1 −
1
1
1
1
+ − + ··· ± .
1! 2! 3!
n!
Stąd prawdopodobieństwo, że dla dokładnie j indeksów zajdzie równość
σ(i) = i wynosi
Qn−j
.
Pj =
j!
Możemy więc napisać
mk =
n
X
jk
j=0
j!
Qn−j .
Uwaga 2. Podobne wzory mamy dla rozkładu Poissona:
Pj =
Bk =
e−1
,
j!
∞ k
1X
j
.
e j=0 j!
Zauważmy, że dla k ¬ n momenty obu rozkładów się pokrywają. Już dla
niewielkich n prawdopodobieństwa obu rozkładów są bardzo bliskie.
2