p → q

Paweł Łupkowski
Logika I
dowody aksjomatyczne
RO :
RSH :
A→B
B→C
A→C
A→B
A
RKO :
RP :
B
A→(B→C)
B→(A→C)
A
A[pi /B]
RIMP :
A→(B→C)
A∧B→C
1. Wykonaj następujące podstawienia:
(a) s [s/t ↔ ¬p] =
(b) q [s/t ↔ ¬p] =
(c) (p → q) → ((q → r) → (p → r)) [q/s] =
(d) (s → r) → (¬r → ¬s) [r/q ∧ ¬p] =
(e) (p → ¬q) → ((q → ¬r) → (p → r)) [r/p ∧ ¬q] =
(f) (p → q) → ((q → r) → (p → r)) [r/(p ∧ ¬q) ∨ r] =
(g) (p ∨ q) → ((q → ¬r) → ¬(p ∨ r)) [p ∨ q/t ↔ ¬s] =
(h) (p → q) → ((q → r) → (p → r)) [s/t ↔ ¬s] =
(i) q → ¬p [p/p → r] =
(j) ¬(t ∨ s) → ¬s [s/(p → q) → ((q → r) → (p → r))] =
(k) (p → ¬q) → ((q → ¬r) → (p → r)) [p → r/p ∧ ¬q] =
2. Opisz wiersze dowodów1 :
(a) p → p
1. p → (q → p)
[Ax.1.]
2. (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r))
[Ax.2.]
3. (p → (q → p)) → ((p → q) → (p → p))
4. (p → q) → (p → p)
5. (p → (q → p)) → (p → p)
6. p → p
(b) p → (¬p → q)
1. p → (q → p)
[Ax.1.]
2. (p → q) → ((q → r) → (p → r))
[teza 16.]
3. (¬p → q) → (¬q → p)
[teza 25.]
4. (p → (¬q → p)) → (((¬q → p) → (¬p → q)) → (p → (¬p → q)))
5. p → (¬q → p)
6. ((¬q → p) → (¬p → q)) → (p → (¬p → q))
7. (¬q → p) → (¬p → q)
8. p → (¬p → q)
1 Przykłady
(i numery tez) pochodzą z podręcznika T. Batoga Podstawy logiki.
REXP :
A∧B→C
A→(B→C)
(c) (p → ¬p) → ¬p
1.
2.
3.
4.
5.
(p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r))
[Ax.2.]
p → (¬p → q)
[teza 26.]
(p → q) → ((q → r) → (p → r))
[teza 16.]
(p → ¬q) → (q → ¬p)
[teza 24.]
(p → (p → q)) → (p → q)
[teza 19.]
6. (p → (¬p → ¬(p → ¬p))) → ((p → ¬p) → (p → ¬(p → ¬p)))
7. p → (¬p → ¬(p → ¬p))
8. (p → ¬p) → (p → ¬(p → ¬p))
9. ((p → ¬p) → (p → ¬(p → ¬p))) → (((p → ¬(p → ¬p)) → ((p → ¬p) → ¬p)) → ((p → ¬p) →
((p → ¬p) → ¬p)))
10. ((p → ¬(p → ¬p)) → ((p → ¬p) → ¬p)) → ((p → ¬p) → ((p → ¬p) → ¬p))
11. (p → ¬(p → ¬p)) → ((p → ¬p) → ¬p)
12. (p → ¬p) → ((p → ¬p) → ¬p)
13. ((p → ¬p) → ((p → ¬p) → ¬p)) → ((p → ¬p) → ¬p)
14. (p → ¬p) → ¬p
(d) (p ∧ q) ↔ ¬(¬p ∨ ¬q)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(p ↔ q) → (p → q)
[Ax.12.]
¬(p ∧ q) ↔ ¬p ∨ ¬q
[teza 66.]
(¬p → q) → (¬q → p)
[teza 25.]
(p ↔ q) → (q → p)
[Ax.13.]
(p → ¬q) → (q → ¬p)
[teza 24.]
(p → q) → ((q → p) → (p ↔ q))
[Ax.14.]
7. (¬(p ∧ q) ↔ ¬p ∨ ¬q) → (¬(p ∧ q) → ¬p ∨ ¬q)
8. ¬(p ∧ q) → ¬p ∨ ¬q
9. (¬(p ∧ q) → ¬p ∨ ¬q) → (¬(¬p ∨ ¬q) → p ∧ q)
10. ¬(¬p ∨ ¬q) → p ∧ q
11. (¬(p ∧ q) ↔ ¬p ∨ ¬q) → (¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ q))
12. ¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ q)
13. (¬p ∨ ¬q → ¬(p ∧ q)) → (p ∧ q → ¬(¬p ∨ ¬q))
14. p ∧ q → ¬(¬p ∨ ¬q)
15. (p ∧ q → ¬(¬p ∨ ¬q)) → ((¬(¬p ∨ ¬q) → p ∧ q) → (p ∧ q ↔ ¬(¬p ∨ ¬q)))
16. (¬(¬p ∨ ¬q) → p ∧ q) → (p ∧ q ↔ ¬(¬p ∨ ¬q))
17. p ∧ q ↔ ¬(¬p ∨ ¬q)
(e) (p ↔ q) → (¬p ↔ ¬q)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(p → q) → ((q → r) → (p → r))
[teza 16.]
(p ↔ q) → (q → p)
[Ax.13.]
(p → q) → (¬q → ¬p)
[Ax.3.]
(p ↔ q) → (p → q)
[Ax.12.]
(p → q) → ((q → p) → (p ↔ q))
[Ax.14.]
(p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r))
[Ax.2.]
7. (q → p) → (¬p → ¬q)
8. ((p ↔ q) → (q → p)) → (((q → p) → (¬p → ¬q)) → ((p ↔ q) → (¬p → ¬q)))
9. ((q → p) → (¬p → ¬q)) → ((p ↔ q) → (¬p → ¬q))
10. (p ↔ q) → (¬p → ¬q)
11. ((p ↔ q) → (p → q)) → (((p → q) → (¬q → ¬p)) → ((p ↔ q) → (¬q → ¬p)))
12. ((p → q) → (¬q → ¬p)) → ((p ↔ q) → (¬q → ¬p))
13. (p ↔ q) → (¬q → ¬p)
14. (¬p → ¬q) → ((¬q → ¬p) → (¬p ↔ ¬q))
15. ((p ↔ q) → (¬p → ¬q)) →
(((¬p → ¬q) → ((¬q → ¬p) → (¬p ↔ ¬q))) → ((p ↔ q) → ((¬q → ¬p) → (¬p ↔ ¬q))))
16. ((¬p → ¬q) → ((¬q → ¬p) → (¬p ↔ ¬q))) → ((p ↔ q) → ((¬q → ¬p) → (¬p ↔ ¬q)))
17. (p ↔ q) → ((¬q → ¬p) → (¬p ↔ ¬q))
18. ((p ↔ q) → ((¬q → ¬p) → (¬p ↔ ¬q))) → (((p ↔ q) → (¬q → ¬p)) → ((p ↔ q) → (¬p ↔ ¬q)))
19. ((p ↔ q) → (¬q → ¬p)) → ((p ↔ q) → (¬p ↔ ¬q))
20. (p ↔ q) → (¬p ↔ ¬q)