Analiza zespolona

Analiza zespolona - zestaw C
1. Znaleźć obraz zbioru D przy odwzorowaniu f : C → C, jeżeli
a) D = {z ∈ C : |z − 1 + i| ≤ 2}, f (z) = (1 + 6i)z − 7;
√
b) D = {z ∈ C : 1 ≤ |z| ≤ 3, π3 ≤ argz ≤ π2 }, f (z) = 13iz 2 ;
√
c) D = {z ∈ C : √12 ≤ |z| ≤ 2, − π3 ≤ argz ≤ π3 }, f (z) = z 2 + 3i;
d) D = {z ∈ C : 0 ≤ Rez ≤ 1}, f (z) = ez ;
e) D = {z ∈ C : Imz = 0}, f (z) = ez ;
f) D = {z ∈ C : Rez = 0}, f (z) = ez ;
g) D = {z ∈ C :
1
e
≤ |z| ≤ 1, − π3 ≤ argz ≤ 0}, f (z) = ln(z).
Narysować zbiór D i otrzymany obraz.
2. Znaleźć obraz okręgu |z − 12 | =
wzorem f (z) = z1 .
1
2
bez punktu 0 przy f : C\{0} → C określonym
3. Znaleźć obraz okręgu |z − 12 | = 1 przy f : C \ {0} → C określonym wzorem
f (z) = z1 .
4. Zbadać ciągłość podanych funkcji:
Rez2
gdy z 6= 0;
z
a) f (z) =
0 gdy z = 0,
b) f (z) =
Rez
,
1+|z|
gdy z 6= 0;
0 gdy z = 0,
z2
z
c) f (z) =
d) f (z) =
z
z
0
gdy z 6= 0;
gdy z = 0,
e) f (z) = |z|,
(Rez2 )2
gdy z =
6 0;
z2
f) f (z) =
0
gdy z = 0,
g) f (z) = sin(z) · cos(z).
Uwaga. Większość zadań została zaczerpnięta z następującej książki: J. Długosz, Funkcje zespolone: teoria, przykłady, zadania, Wrocław, "GiS".