Zestaw 2. Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna

Zestaw 2.
Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna.
Elementarne równania i nierówności.
Przykład 1. Wykonać działanie
nywalne.
x−a−2
,
x−a−1
podając założenia, przy jakich jest ono wyko-
Rozwiązanie. Niech x 6= 0, a ∈ R. Wówczas
x−a−2
x−a−1
= x−a−2−(−a−1) = x−1 = x1 .
3
Przykład 2. Rozwiązać równanie x− 4 = 18 .
Rozwiązanie. Wyznaczamy dziedzinę równania: x ∈ R+ .
Ponieważ obie strony równania są dodatnie, możemy
je podnieś do potęgi:
√
3
4
4
4
3
(x− 4 )− 3 = ( 18 )− 3 . Stąd x = ( 18 )− 3 , czyli x = 84 = 16. Liczba 16 ∈ R+ , więc jest
rozwiązaniem równania.
Przykład 3. Rozwiązać nierówność x3 + 2x2 − 16x − 32 > 0.
Rozwiązanie. Rozkładamy wielomian po lewej stronie nierówności na czynniki liniowe
(wykorzystujemy metodę grupowania wyrazów i wzór skróconego mnożenia): x3 +2x2 −
16x − 32 = x2 (x + 2) − 16(x + 2) = (x2 − 16)(x + 2) = (x − 4)(x + 4)(x + 2). Obliczamy
miejsca zerowe tego wielomianu, z uwzględnieniem ich krotności: x = −4, x = −2, x =
4, jednokrotne. Szkicujemy wykres tego wielomianu i odczytujemy z niego rozwiązania
nierówności: x ∈ (−4, −2) ∪ (4, +∞).
√
Przykład 4. Do którego z przedziałów: (0, 1), czy (1, ∞) należy a, gdy a
3
< a1,1 ?
√
Rozwiązanie. Zaważmy, że 3 > 1, 1. Zatem a ∈ (0, 1) ( bo funkcja f (x) = ax jest
funkcją malejącą jeżeli a ∈ (0, 1)).
Przykład 5. Rozwiązać równanie 22x−4 = 45−3x .
Rozwiązanie. Równanie 22x−4 = 45−3x jest równoważne równaniu 22x−4 = (22 )5−3x .
Korzystając z praw działań na potęgach ((ax )y = axy , a > 0, x, x ∈ R) mamy 22x−4 =
210−6x . Z różnowartościowości funkcji wykładniczej otrzymujemy 2x−4 = 10−6x, czyli
8x = 14. Stąd x = 74 .
Przykład 6. Rozwiązać równanie 3x+3 − 3x−2 =
26
.
9
x
Rozwiązanie. Korzystając z praw działań na potęgach (ax ay = ax+y , aay = ax−y , a >
0, x, y ∈ R) zapisujemy równanie 3x+3 − 3x−2 = 26
w postaci: 3 · 3x − 19 · 3x = 26
i
9
9
1
26
26
x
x 26
x
x
0
równoważnie 3 (3 − 9 ) = 9 . Stąd 3 · 9 = 9 , czyli 3 = 1 i równoważnie 3 = 3 . Z
różnowartości funkcji wykładniczej otrzymujemy x = 0.
1
Przykład 7. Rozwiązać nierówność 32x−1 > ( 31 )5x−1 .
Rozwiązanie. Zapiszemy nierówność w postaci równoważnej: ( 31 )−2x+1 > ( 13 )5x−1 . Z
uwagi na monotoniczność funkcji y = ( 31 )x (a dokładniej z faktu, że funkcja ta jest
funkcją malejącą), mamy: −2x + 1 < 5x − 1, czyli x > 72 .
Przykład 8. Obliczyć log2 32.
Rozwiązanie. Zgodnie z definicją, loga b = c ⇔ ac = b, a > 0, a 6= 1, b > 0. Kładąc
zatem log2 32 = x, mamy 2x = 32, stąd log2 32 = 5.
Przykład 9. Rozwiązać równanie log2 (x − 4) = 0.
Rozwiązanie. Określimy dziedzinę równania. Logarytm po lewej stronie równania istnieje dla x spełniających nierówność x − 4 > 0, czyli dla x > 4. Korzystając z definicji
logarytmu otrzymujemy x − 4 = 20 , czyli x − 4 = 1. Stąd x = 5. Ponieważ 5 ∈ (4, ∞),
więc jest rozwiązaniem tego równania.
Przykład 10. Rozwiązać równanie 2 log(2 − x) − log x = log(x + 5).
Rozwiązanie. Określimy dziedzinę równania. Powyższe logarytmy istnieją, gdy :
2 − x > 0 ∧ x > 0 ∧ x + 5 > 0, czyli x < 2 ∧ x > 0 ∧ x < −5. Stąd x ∈ (0, 2). Korzystając
z podstawowych praw działań na logarytmach (dla a, b, c > 0, a 6= 1 mamy
loga b + loga c = loga bc, loga b − loga c = loga cb , k loga b = loga (bk )) otrzymujemy
równanie równoważne: log(2 − x)2 = log(x(x + 5)). Z różnowartościowości funkcji logarytmicznej mamy (2 − x)2 = x(x + 5) ⇔ 4 − 4x + x2 = x2 + 5x ⇔ 9x = 4 ⇔ x = 49 .
Ponieważ 49 ∈ (0, 2), więc jest rozwiązaniem tego równania.
Przykład 11. Rozwiązać nierówność log4 (2x + 3) < 1.
Rozwiązanie. Logarytm istnieje, o ile 2x + 3 > 0 ⇔ x > − 23 . Zauważmy, że 1 = log4 4,
więc nierówność można zapisać w postaci równoważnej log4 (2x + 3) < log4 4. Ponieważ
funkcja y = log4 x jest funkcją rosnącą, więc 2x + 3 < 4 ⇔ x > 12 . Zbiór rozwiązań
nierówności jest częścią wspólną zbiorów (− 32 , ∞) oraz ( 21 , ∞), więc ostatecznie
x ∈ ( 12 , ∞).
Przykład 12. Znaleźć dziedzinę funkcji f (x) = log2 (4x − x2 + 5).
Rozwiązanie. Funkcja f istnieje dla
x takich, że −x2 + 4x + 5 > 0. Liczymy
√
−4−6
∆ = 42 − 4 · (−1) · 5 = 36, więc ∆ = 6; x1 = 2·(−1)
= 5 ∨ x2 = −4+6
= −1. Szkicując
−2
parabolę odczytujemy rozwiązania nierówności kwadratowej: x ∈ (−1, 5). Ostatecznie
Df = (−1, 5).
2
Zadanie 2.1. Wykonać poniższe działania, podając założenia, przy jakich są one wykonywalne.
a)
u−6 w2 x−5
v −2
b)
x4 y −7
x−2 z
:
·
w−5 x6
;
u−5 v −1
x6 y −1
;
y 7 z −1
−1 4
−4 3
b −2
b −3
c) ( ac2 d−3
) : ( cad−6
) .
Zadanie 2.2. Podać dziedziny i naszkicować wykresy funkcji:
a) y = x, y = x3 , y = x5 ;
b) y = x2 , y = x4 , y = x6 ;
c) y = x−2 , y = x−4 , y = x−6 ;
d) y = x−1 , y = x−3 , y = x−5 ;
1
1
1
e) y = x 2 , y = x 3 , y = x 4 ;
1
1
f) y = x− 2 , y = x− 3 .
Zadanie 2.3. Rozwiązać równania i nierówności:
√
4
a) x 3 = 3 3 3;
b) x−1,5 = 3 38 ;
1
2
c) x 5 + 3x 5 = 28;
√
√
1
d) ( 2x2x )−3 = [(x x)−1 ]− 2 ;
e) x6 + 3x3 − 4 = 0;
f) x−1 ­ x−2 ;
1
1
g) x 4 < x 2 ;
h) −x4 − x2 + 6 > 0;
i) (x − 3)7 (x + 2)2 (x + 7)19 < 0;
j) x4 − 4x3 + x2 − 4x < 0;
k) 2x3 + x2 − 18x − 9 ­ 0.
3
Zadanie 2.4. Przekształcając wykres funkcji y = 3x naszkicować wykresy funkcji:
a) y = 3x−1 + 2;
b) y = 3x+2 − 1;
c) y = 3−x ;
d) y = ( 13 )x−3 − 1.
Zadanie 2.5. Do którego z przedziałów: (0, 1), czy (1, ∞) należy a, gdy:
a) a2 < a3 ;
√
b) a
2
< a0,8 ;
c) a3,4 < aπ ;
√
d) a
3
< a1,9 .
Zadanie 2.6. Rozwiązać równania i nierówności:
a) 2x+3 = 4x−1 ;
b) (0, 5)x−4 = 165x−4 ;
√
c) ( 27)3x−2 = 95x−3 ;
2
d) 2x = 42x−2 ;
2 +x
e) 36x
= 9−3x+0,5 ;
f) (0, 04)−2 = 511x
2 +7x
g) 0, 125 · 42x−1 = (
;
√
2 −x−1
)
;
8
h) 2x+2 + 2x = 20;
i) 3 · 9x + 9x−1 − 9x−2 = 251;
j) 32x+2 + 32x = 30;
k) 2 · 16x − 17 · 4x + 8 = 0;
l) 72x + 7x = 36 · 7x + 686;
m) 3x+2 + 9x+1 = 810;
n) 2x+1 > 8x−1 ;
2
o) ( 45 )3−x−x < (0, 8)x
√
p) ( 3)2−x < 9x−4 ;
2 −2x+2
;
4
2
r) 3x < 94x−6 ;
2
s) 42x+3 ¬ (0, 5)x .
Zadanie 2.7. Obliczyć poniższe logarytmy:
a) log2 16;
b) log2 14 ;
c) log 0, 01;
d) log√2 2;
√
e) log5 5 5;
f) log6 1;
g) log √2 8.
2
Zadanie 2.8.
1) Przekształcając wykres funkcji y = log2 x naszkicować wykresy funkcji
y = log2 (x − 1) + 3 oraz y = −log2 x + 3.
2) Przekształcając wykres funkcji y = log 1 x naszkicować wykresy funkcji
3
y = log 1 (x + 2) − 1 oraz y = | log 1 (x − 1)| + 1
3
3
Zadanie 2.9. Rozwiązać równania i nierówności:
a) log2 (x − 4) = 0;
b) log5 (1 − x) = log5 6 − log5 (2 − x);
c) log2 (x2 − 2) − log2 (6 − x) + 1 = 0;
d) log3 x − 4 log x = 0;
e)
1
2
log (x + 3) = 1 − 12 log (x + 24);
f) log2 (8 − 2x) − 2 log2 (2 − x) = 1;
g) log3 (3x − 8) = 2 − x;
h) log7 (6 + 7−x ) = x + 1;
i) (log2 x)2 + 3 = 4 log2 x;
j) log3 (2x + 7) < 1;
k) log 1 (x − 4) > −2;
2
l) log3 (2x − 1) − 1 < log3 (x − 2).
5
Zadanie 2.10. Znaleźć dziedziny funkcji:
a) f (x) = log (x2 − x + 2);
b) f (x) = log (4x − x2 + 5);
c) f (x) = log6 (5x − 52x−3 );
d) f (x) = x −
q
(3x )2 − 3 · 3x ;
√
e) f (x) = 1 − 2x + 3;
√
√
f) f (x) = 1 − 2x + x;
2
g) f (x) = 13 x2 + 5x + log (3x − 81);
h) f (x) =
x
;
1−log x
i) f (x) =
q
j) f (x) =
q
k) f (x) =
log2 (x + 2);
4 − log 1 x;
2
q
2 log x − log2 x;
l) f (x) = 5 log3+x (−x − 1).
ODPOWIEDZI:
Zadanie 2.1.
a)
xv 3
,
uw3
b)
y
,
z2
c)
bd12
,
ac8
u, w, v, x 6= 0;
x, y, z 6= 0;
a, b, c, d 6= 0.
Zadanie 2.3.
a) x = 3;
b) x = 49 ;
c) x = 45 ;
4
d) x = 2 5 ;
√
e) x = 3 −4 ∨ x = 1;
f) x ∈ h1, +∞);
g) x ∈ (1, +∞);
6
√ √
h) x ∈ (− 2, 2);
i) x ∈ (−7, 3) \ {−2};
j) x ∈ (0, 4);
k) x ∈ h−3, − 21 i ∪ h3, +∞).
Zadanie 2.4.
a) translacja o wektor [1,2];
b) translacja o wektor [-2,-1];
c) symetria względem osi OY;
d) symetria względem osi OY, a nastepnie translacja o wektor [3,-1].
Zadanie 2.5.
a) a ∈ (1, +∞);
b) a ∈ (0, 1);
c) a ∈ (1, +∞);
d) a ∈ (1, +∞).
Zadanie 2.6.
a) x = 5;
b) x =
20
;
21
c) x =
6
;
11
d) x = 2;
e) x = − 16 ∨ x = 1;
f) x = −1 ∨ x =
4
;
11
g) x = 5;
h) x = 2;
i) x = 2;
j) x = 12 ;
k) x = − 21 ∨ x = 23 ;
7
l) x = 2;
m) x = 2;
n) x < 2;
o) x > 53 ;
p) x >
18
;
5
r) x ∈ (2, 6);
s) nierówność nie ma rozwiązania.
Zadanie 2.7.
a) 4;
b) −2;
c) −2
d) 2;
e)
3
;
2
f) 0;
g) −6.
Zadanie 2.8.
1) a) translacja o wektor [1,3]; b) symetria względem osi OX, a następnie translacja
o wektor [0,3].
2) a) translacja o wektor [-2,-1]; b) translacja o wektor [1,0], przekształcenie części
wykresu leżącego pod osią OX w symetrii względem tej osi, a następnie translacja o
wektor [0,1].
Zadanie 2.9. Rozwiązać równania i nierówności:
a) x = 5;
b) x = −1;
c) x = − 52 ∨ x = 2;
d) x = 0, 01 ∨ x = 1 ∨ x = 100;
e) x = 1;
f) x = −3 ∨ x = 0;
g) x = 2;
8
h) x = 0;
i) x = 2 ∨ x = 8;
j) x ∈ (− 72 , −2);
k) x ∈ (4, 8);
l) x ∈ (5, +∞).
Zadanie 2.10. Znaleźć dziedziny funkcji:
a) Df = (−∞, −1) ∪ (2, +∞);
b) Df = (−1, 5);
c) Df = (−∞, 3);
d) Df = h1, +∞);
e) Df = R;
f) Df = {0};
g) Df = (−∞, −2) ∪ (2, +∞);
h) Df = (0, +∞) \ {10};
i) Df = h−1, +∞);
1
, +∞);
j) Df = h 16
k) Df = h1, 100i;
l) Df = (−3, −1) \ {−2}.
9