EST – Elementy statystyki

EST – Elementy statystyki
3. Estymatory nieobciążone o minimalnej wariancji.
3.1. (Ciąg dalszy zadania 2.1.) Wykorzystując przyjęty w zadaniu 2.1. rozkład teoretyczny (populacji) zaproponuj estymator nieobciążony wariancji badanej cechy.
Czy wyznaczony estymator ma minimalną wariancję w klasie wszystkich estymatorów nieobciążonych
wariancji badanej cechy.
Wykorzystując dane z z zadania 2.1. oblicz jego wartość.
3.2. (Ciąg dalszy zadań 1.2 i 2.2.) Wykorzystując przyjęty w zadaniu 2.2. rozkład teoretyczny
(populacji) wyznacz stałe a i b tak, aby statystyka
T (X) = a min{X1 , X2 , . . . , Xn } + b
była estymatorem nieobciążonym wartości oczekiwanej badanej cechy.
Czy wyznaczony estymator ma minimalną wariancję w klasie wszystkich estymatorów nieobciążonych
wartości oczekiwanej badanej cechy.
Wykorzystując dane z z zadania 2.2. oblicz jego wartość.
3.3. (Ciąg dalszy zadania 2.3.) Wykorzystując przyjęty w zadaniu 2.3. rozkład teoretyczny (populacji) zaproponuj dwa różne estymatory nieobciążone parametru θ.
Czy któryś z nich ma minimalną wariancję w klasie wszystkich estymatorów nieobciążonych parametru θ.
Wykorzystując dane z z zadania 2.3. oblicz jego wartość.
3.4. (Ciąg dalszy zadania 2.4.) Wykorzystując przyjęty w zadaniu 2.4. rozkład teoretyczny (populacji) zaproponuj estymator nieobciążony mediany badanej cechy.
Czy wyznaczony estymator ma minimalną wariancję w klasie wszystkich estymatorów nieobciążonych
mediany badanej cechy.
Wykorzystując dane z z zadania 2.4. oblicz jego wartość.
Wskazówka! Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład Rayleigha o gęstości:
µ 2¶
2
x
fλ (x) = x exp −
I(0,∞) (x), λ > 0,
λ
λ
to
E(X) =
1√
4−π
λπ, Var(X) =
λ.
2
4
Zadanie domowe: W 200 losowa wybranych odcinkach czasowych notowano liczbę zgłoszeń w
centrali telefonicznej (patrz wykład). Otrzymano wyniki:
0
1
1
2
3
3
3
1
3
1
0
1
2
3
2
1
1
0
2
1
5
3
1
2
1
0
2
1
1
3
1
3
1
1
3
2
5
1
1
3
1
3
1
1
0
1
1
2
1
1
2
2
2
2
1
3
5
0
3
0
1
3
2
1
2
3
2
0
2
1
4
1
1
3
2
4
1
2
2
1
4
1
2
3
5
2
2
0
3
2
3
2
5
4
4
2
3
1
3
0
2
1
2
2
1
1
2
4
2
2
1
1
2
1
2
2
2
4
0
4
1
0
2
3
0
1
2
1
4
1
3
3
0
0
1
2
4
0
0
1
4
1
0
0
1
1
5
1
0
3
4
0
1
1
3
0
2
3
1
2
3
1
1
0
0
2
1
0
0
0
0
1
0
3
2
4
1
1
0
2
1
1
2
0
4
4
2
2
1
2
1
1
1
2
1
1
3
3
0
2
Wyznacz estymatory nieobciążone o minimalnej wariancji dla wartości oczekiwanej i wariancji badanej cechy. Oblicz ich wartości.