Statystyki i estymatory Estymator wartości oczekiwanej

Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład
Statystyki i estymatory
Funkcję
określoną na elementach próby
zwiemy statystyką. Obliczane w
praktyce statystyki służą weryfikacji hipotez statystycznych (zwiemy je wtedy statystykami
testowymi — tym zajmiemy się w następnym rozdziale) lub estymacji (szacowaniu) parametrów
rozkładu prawdopodobieństwa w populacji zmiennej , z której pobierana jest próba. W tym drugim
przypadku zwiemy je estymatorami. Na przykład wartość średnia próby
może być estymatorem wartości oczekiwanej populacji
.
Estymator zwiemy nieobciążonym, jeśli dla każdej wielkości próby
równa wartości estymowanego parametru (oznaczmy go np. ):
jego wartość oczekiwana jest
Estymator zwiemy zgodnym, jeśli przy wielkości próby dążącej do nieskończoności jego wariancja
dąży do zera:
Estymator wartości oczekiwanej
Zaproponowany estymator wartości oczekiwanej (1) jest nieobciążony i zgodny.
Dowód:
Jeśli elementy próby są niezależne, to
gdzie
oznacza deltę Kroneckera:
.
Ponadto, jeśli elementy próby pochodzą z tego samego rozkładu, to
, czyli
Estymator wariancji
Spróbujmy skonstruować estymator wariancji jako
Jego wartość oczekiwana wyniesie
(z %i 2)
czyli nie jest dla każdej wielkości próby równa
. Tak więc
Jako nieobciążony estymator wariancji możemy zaproponować
jest estymatorem obciążonym.
— sprawdzenie, że jest on nieobciążony, pozostawiamy jako proste ćwiczenie. Podstawiając ten
estymator wariancji do wyprowadzonego powyżej wzoru na wariancję wartości średniej (3) w
miejsce , dostajemy wzór na estymator wariancji wartości średniej próby:
Pierwiastek tej wielkości
jest estymatorem odchylenia standardowego wartości średniej. Wielkość tę czasem utożsamia
się z "błędem wartości średniej".