E EGZA M AMIN MAT N MA TEMA ATUR ATYK RALN

sq
lm
ed
ia.
pl
w.
ww
po
br
an
oz
E AMIN
EGZA
N MA
ATUR
RALN
NY
OD
D ROK
KU SZ
ZKOLNEGO
O 20144/2015
5
M TEMA
MAT
ATYK
KA
POZIOM
M ROZSZERZ
ZONY
Y
PRZYK
KàADOW
WY ZES
STAW ZADAē
Z
(A1)
W czasie trwaania egzamiinu zdającyy moĪe korzystaü z zesttawu wzorów matematy
ycznych,
linijki i cyrkla oraz kalkulatorra.
Czass pracy: 180
1 minutt
G
GRUDZIEē
ē 2013
sq
lm
ed
ia.
pl
w.
ww
po
br
an
oz
ZADANIA ZAMKNIĉTE
W zadaniach 1–5 wybierz i zaznacz poprawną odpowiedĨ
Zadanie 1. (0–1)
Dane są dwie urny z kulami, w kaĪdej jest 5 kul. W pierwszej urnie jest jedna kula biaáa
i 4 kule czarne. W drugiej urnie są 3 kule biaáe i 2 kule czarne. Rzucamy jeden raz
symetryczną szeĞcienną kostką do gry. JeĞli wypadnie jedno lub dwa oczka, to losujemy jedną
kulĊ z pierwszej urny, natomiast jeĞli wypadną co najmniej trzy oczka, to losujemy jedną kulĊ
z drugiej urny. PrawdopodobieĔstwo wylosowania kuli biaáej jest równe
1
2
7
3
A.
B.
C.
D.
15
5
15
5
Zadanie 2. (0–1)
Dany jest nieskoĔczony ciąg geometryczny an okreĞlony wzorem
an
3
n
dla n 1, 2, 3,... .
2
Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa
1
2
A.
C.
B.
2 1
2 1
2
2 1
3
2 1
D.
Zadanie 3. (0–1)
Liczba
27 665 ˜ 3 392
§1·
¨ ¸
©3¹
152
3
jest równa
A. 3725
B. 31995
Zadanie 4. (0–1)
2
Okrąg o1 ma równanie x 2 y 1
wzajemne poáoĪenie tych okrĊgów.
C. 32015
D. 32045
25 , a okrąg o2 ma równanie x 1 y 2
2
9 . OkreĞl
A. Te okrĊgi przecinają siĊ w dwóch punktach.
B. Te okrĊgi są styczne.
C. Te okrĊgi nie mają punktów wspólnych oraz okrąg o1 leĪy w caáoĞci wewnątrz okrĊgu o2 .
D. Te okrĊgi nie mają punktów wspólnych oraz okrąg o2 leĪy w caáoĞci wewnątrz okrĊgu o1 .
Zadanie 5. (0–1)
Dla kaĪdego D suma sin D sin 3D jest równa
A. sin 4D .
B.
C.
2sin 4D .
2sin 2D cos D .
D. 2sin D cos 2D .
Strona 2 z 19
po
br
an
oz
ww
BRUDNOPIS
Strona 3 z 19
w.
sq
lm
ed
ia.
pl
sq
lm
ed
ia.
pl
w.
ww
po
br
an
oz
ZADANIA OTWARTE
W zadaniach 6–9 zakoduj wynik w kratkach zamieszczonych obok polecenia. W zadaniach
10–18 rozwiązania naleĪy zapisaü w wyznaczonych miejscach pod treĞcią zadania.
Zadanie 6. (0–2)
Liczba n jest najmniejszą liczbą caákowitą speániającą równanie
2 ˜ x 57
x 39 .
Zakoduj cyfry: setek, dziesiątek i jednoĞci liczby n .
Zadanie 7. (0–2)
3n 2 5n 2
.
n of 8n 7 n 4 Oblicz granicĊ ciągu lim
Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwiniĊcia dziesiĊtnego obliczonej granicy.
Strona 4 z 19
sq
lm
ed
ia.
pl
w.
ww
po
br
an
oz
Zadanie 8. (0–2)
Dana jest funkcja f okreĞlona wzorem
f x
x 8
x2 6
dla kaĪdej liczby rzeczywistej x. Oblicz wartoĞü pochodnej tej funkcji w punkcie x
1
.
2
Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwiniĊcia dziesiĊtnego otrzymanego wyniku.
Zadanie 9. (0–2)
Oblicz log 3 4 27 log 3 log 3
3 3
3 .
Zakoduj cyfrĊ jednoĞci i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwiniĊcia dziesiĊtnego
otrzymanego wyniku.
Strona 5 z 19
sq
lm
ed
ia.
pl
w.
ww
po
br
an
oz
Zadanie 10. (0–3)
Punkty P1 , P2 , P3 ,! , P23 , P24 dzielą okrąg na 24 równe áuki (zobacz rysunek). Punkt A jest
punktem przeciĊcia ciĊciw P11 P22 i PP
1 16 .
Udowodnij, Īe )P16 AP11
60q .
Strona 6 z 19
Strona 7 z 19
po
br
an
oz
ww
w.
sq
lm
ed
ia.
pl
sq
lm
ed
ia.
pl
w.
ww
po
br
an
oz
Zadanie 11. (0–3)
Udowodnij, Īe dla kaĪdej liczby rzeczywistej x i kaĪdej liczby rzeczywistej m prawdziwa jest
nierównoĞü
20 x 2 24mx 18m 2 t 4 x 12m 5 .
Strona 8 z 19
sq
lm
ed
ia.
pl
w.
ww
po
br
an
oz
Zadanie 12. (0–3)
Janek przeprowadza doĞwiadczenie losowe, w którym jako wynik moĪe otrzymaü jedną
z liczb: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 . PrawdopodobieĔstwo pk otrzymania liczby k jest dane wzorem:
1 §6·
˜¨ ¸ .
64 © k ¹
RozwaĪamy dwa zdarzenia:
pk
x zdarzenie A polegające na otrzymaniu liczby ze zbioru ^1, 3, 5` ,
x zdarzenie B polegające na otrzymaniu liczby ze zbioru ^2, 3, 4, 5, 6` .
Oblicz prawdopodobieĔstwo warunkowe P A B .
OdpowiedĨ: .......................................................................................................................................................
Strona 9 z 19
sq
lm
ed
ia.
pl
w.
ww
po
br
an
oz
Zadanie 13. (0–3)
Wyznacz wszystkie wartoĞci parametru m, dla których prosta o równaniu y
ma dokáadnie dwa punkty wspólne z okrĊgiem o Ğrodku w punkcie S
r
mx 2m 3
0, 0 i promieniu
3.
OdpowiedĨ: ........................................................................................................................................................
Strona 10 z 19
sq
lm
ed
ia.
pl
w.
ww
po
br
an
oz
Zadanie 14. (0–3)
Dana jest parabola o równaniu y x 2 1 i leĪący na niej punkt A o wspóárzĊdnej x równej 3.
Wyznacz równanie stycznej do tej paraboli w punkcie A .
OdpowiedĨ: ………………………………………………………………………………………………………
Strona 11 z 19
sq
lm
ed
ia.
pl
w.
ww
po
br
an
oz
Zadanie 15. (0–3)
W ostrosáupie prawidáowym czworokątnym krawĊdĨ podstawy ma dáugoĞü a. Kąt miĊdzy
krawĊdzią boczną, a krawĊdzią podstawy ma miarĊ D ! 45q (zobacz rysunek). Oblicz objĊtoĞü
tego ostrosáupa.
Strona 12 z 19
sq
lm
ed
ia.
pl
w.
ww
po
br
an
oz
OdpowiedĨ: …………………………………………………………………………………………………….. .
Strona 13 z 19
sq
lm
ed
ia.
pl
w.
ww
po
br
an
oz
Zadanie 16. (0–6)
Punkty M i L leĪą odpowiednio na bokach AB i AC trójkąta ABC, przy czym zachodzą
równoĞci MB
2 ˜ AM oraz LC
3 ˜ AL . Punkt S jest punktem przeciĊcia odcinków BL
i CM. Punkt K jest punktem przeciĊcia póáprostej AS z odcinkiem BC (zobacz rysunek).
C
K
L
A
S
M
B
Pole trójkąta ABC jest równe 660. Oblicz pola trójkątów: AMS, ALS, BMS i CLS.
Strona 14 z 19
sq
lm
ed
ia.
pl
w.
ww
po
br
an
oz
OdpowiedĨ: ......................................................................................................................................................
Strona 15 z 19
sq
lm
ed
ia.
pl
w.
ww
po
br
an
oz
Zadanie 17. (0–6)
Oblicz, ile jest stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 4.
OdpowiedĨ: ........................................................................................................................................................
Strona 16 z 19
sq
lm
ed
ia.
pl
w.
ww
po
br
an
oz
Zadanie 18. (0–7)
Dany jest prostokątny arkusz kartonu o dáugoĞci 80 cm i szerokoĞci 50 cm. W czterech rogach
tego arkusza wyciĊto kwadratowe naroĪa (zobacz rysunek).
NastĊpnie zagiĊto karton wzdáuĪ linii przerywanych, tworząc w ten sposób
prostopadáoĞcienne pudeáko (bez przykrywki). Oblicz dáugoĞü boku kaĪdego z wyciĊtych
kwadratowych naroĪy, dla której objĊtoĞü otrzymanego pudeáka jest najwiĊksza. Oblicz tĊ
maksymalną objĊtoĞü.
Strona 17 z 19
sq
lm
ed
ia.
pl
w.
ww
po
br
an
oz
OdpowiedĨ: ........................................................................................................................................................
Strona 18 z 19
sq
lm
ed
ia.
pl
w.
ww
po
br
an
oz
BRUDNOPIS
Strona 19 z 19