Zestaw zada« nr 3

Zestaw zada« nr 3
RACHUNEK PRAWDOPODOBIE‹STWA I STATYSTYKA
3.1. Bolek bierze udziaª w loterii Szcz¦±liwy traf , w której mo»na zdoby¢ nagrody pieni¦»ne o warto±ciach 10, 25
i 100 zª. Okazuje si¦, »e prawdopodobie«stwa wyci¡gni¦cia poszczególnych losów wynosz¡:
0 10 25 100
80% 15% 4% 1%
xi
pi
Podaj posta¢ dystrybuanty tej zmiennej losowej oraz narysuj jej wykres.
3.2. Prawdopodobie«stwa uzyskania poszczególnych ocen z egzaminu z RPS maj¡ si¦ nast¦puj¡co:
2
3 4 5
15% 45% a b
xi
pi
Wiadomo, »e prawdopodobie«stwo uzyskania pi¡tki jest 2 razy wi¦ksze ni» uzyskania czwórki.
(a) Wyznacz warto±ci staªych
a i b tak, by powy»sza tabelka okre±laªa rozkªad prawdopodobie«stwa zmiennej losowej
opisuj¡cej mo»liw¡ do uzyskania ocen¦ z egzaminu.
(b) Sporz¡d¹ wykres funkcji rozkªadu (funkcji masy) prawdopodobie«stwa.
(c) Sporz¡d¹ wykres dystrybuanty tej zmiennej losowej.
(d) Wyznacz i zinterpretuj prawdopodobie«stwa:
P(X > 3), P(X ­ 3), P(3 < X ¬ 4).
3.3. Dystrybuanta pewnej zmiennej losowej typu dyskretnego dana jest poni»ej.
F (x) =

0




0,25


 1
dla
0,5



8



 9
1
dla
3
dla
dla
dla
dla
x < 0,
x ∈ [0, 1),
x ∈ [1, 4),
x ∈ [4, 5),
x ∈ [5, 8),
x ­ 8.
(a) Opisz tabelk¡ rozkªad prawdopodobie«stwa tej zmiennej losowej. Sporz¡d¹ wykres tego rozkªadu.
(b) Wyznacz prawdopodobie«stwa:
P(X < 4), P(X ¬ 4), P(X > 5), P(X ­ 5), P(1 ¬ X ¬ 8), P(1 ¬ X < 8).
3.4. Zabawkowa wyrzutnia rakiet podª¡czana do portu USB pozwala na wyrzucenie 3 pocisków, z których ka»dy
traa do celu niezale»nie od pozostaªych z prawdopodobie«stwem
0,8.
Podaj posta¢ rozkªadu prawdopodobie«stwa
i dystrybuanty zmiennej losowej opisuj¡cej liczb¦ celnych strzaªów wykonanych przez Jasia do jego mªodszej siostry
wªa±nie odrabiaj¡cej lekcje.
3.5. Pani kadrowa oszacowaªa, »e Janek spó¹nia si¦ do pracy z prawdopodobie«stwem
0,15
ka»dego dnia. Interesuje
nas mo»liwa liczba dni w 5-dniowym tygodniu pracy, w którym Janek pojawia si¦ w zakªadzie niepunktualnie.
(a) Wyznacz posta¢ funkcji rozkªadu prawdopodobie«stwa i dystrybuanty dla tego rozkªadu.
(b) Wyznacz prawdopodobie«stwo, »e uda si¦ mu spó¹ni¢ co najwy»ej jeden raz w najbli»szym tygodniu.
3.6. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Za ka»dym razem, gdy na obu kostkach wypadnie taka sama liczba oczek,
otrzymujemy 1 zª. Je±li wypadnie para 1 i 6 lub 6 i 1, otrzymujemy 5 zª. W przeciwnym razie tracimy 2 zª.
Wyznacz posta¢ dystrybuanty oraz narysuj jej wykres. W jaki sposób maj¡c dan¡ dystrybuant¦ obliczy¢ prawdopodobie«stwo uzyskania jakiejkolwiek nagrody (>
0
zª)?
3.7. Broni¡c decyzji o zakupie nowych urz¡dze« usprawniaj¡cych ruch w metrze (m.in. pozwalaj¡cych rozwin¡¢ wy»sz¡
pr¦dko±¢), wªadze miasta podaªy, »e dystrybuanta czasu oczekiwania na poci¡g (w minutach) wyra»a si¦ wzorem:
F (x) =

 0
1
100

dla
x2
1
dla
dla
x < 0,
0 ¬ x < 10,
x ­ 10.
Oblicz ±redni czas oczekiwania i jego odchylenie standardowe. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e mimo wprowadzenia
usprawnie« trzeba b¦dzie czeka¢ na poci¡gª dªu»ej ni» 5 minut?
3.8. Mamy dan¡ funkcj¦
a
x4
f (x) =
(a) Wyznacz warto±¢ staªej
a∈R
dla
x ­ 1 i f (x) = 0
tak, by
f
dla
x < 1.
byªa g¦sto±ci¡ pewnej zmiennej losowej.
(b) Wyznacz jej dystrybuant¦.
(c) Oblicz prawdopodobie«stwa:
Ostatnia aktualizacja: 9 listopada 2010.
c
P(X ¬ 1,2), P(X > 1,5), P(1,1 < X < 1,5).
[email protected].
WSiSIZ/IZ/RPS/1011z/zadania-03, s. 1
f (x) = −ae−5x dla x > 0 oraz f (x) = 0 dla x ¬ 0 (dla pewnego a ∈ R).
3.10. (a) Wyznacz warto±¢ staªych c, d ∈ R, aby F byªa dystrybuant¡ pewnej zmiennej losowej ci¡gªej. Sporz¡d¹ jej
wykres. (b) Wyznacz posta¢ g¦sto±ci f i sporz¡d¹ jej wykres.

0
dla x < 0,


 1
x
dla 0 ¬ x < 1,
4
F (x) =
cx2 + d dla 1 ¬ x < 4,



1
dla x ­ 4.
3.9? Rozwi¡» powy»sze zadanie dla funkcji
3.11. Poni»ej dana jest dystrybuanta pewnej zmiennej losowej. (a) Sporz¡d¹ jej wykres. (b) Wyznacz posta¢ g¦sto±ci
f
i sporz¡d¹ jej wykres.
F (x) =
0
1 − e−2x
dla
dla
x < 0,
x ­ 0.
3.12. Szacuje si¦, »e a» 10% studentów nie lubi zaj¦¢ z RPS. Jaka jest szansa, »e w±ród 6 przypadkowo napotkanych
studentów co najmniej dwie nie b¦d¡ lubiªy tego przedmiotu?
3.13. Prawdopodobie«stwo znalezienia wybrakowanego towaru wynosi
10
5%.
Kontrola sprawdza liczb¦ braków spo±ród
losowo wybranych sztuk towaru. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e kontrola napotka w tej próbce nie wi¦cej ni» 1
wadliw¡ sztuk¦ produktu? Rozwi¡» to zadanie zakªadaj¡c, »e
(a) liczno±¢ produktów w rozpatrywanej partii jest bardzo du»a,
(b) liczba wyprodukowanych towarów wynosi
100.
3.14. Okazuje si¦, »e liczb¦ »¡da« dost¦powych na minut¦ do pewnego serwera WWW mo»na opisa¢ zmienn¡ losow¡
z rozkªadu Poissona o warto±ci oczekiwanej
12.
Oblicz prawdopodobie«stwo, »e w ci¡gu godziny b¦dzie ponad
zgªosze«. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e czas pomi¦dzy dwoma zgªoszeniami wynosi¢ b¦dzie mniej ni»
1
5000
sekund¦?
3.15. Okazuje si¦, »e liczbe zgªosze« do pewnej maªej centrali telefonicznej mo»na opisa¢ rozkªadem Poissona o warto±ci
oczekiwanej
10
(na godzin¦).
(a) Oblicz prawdopodobie«stwo, »e w ci¡gu doby centralka obsªu»y nie wi¦cej ni» 100 u»ytkowników.
(b) Oblicz prawdopodobie«stwo, »e czas pomi¦dzy dwoma kolejnymi poª¡czeniami abonenckimi wynosi mniej ni»
minut¦.
3.16. Ekspertyzy pokazuj¡, »e czas bezawaryjnej pracy pewnego typu »arówek mo»na opisa¢ rozkªadem wykªadniczym
o warto±ci oczekiwanej równej
500 h. Jakie jest prawdopodobie«stwo »e losowo wybrana z partii »arówka b¦dzie ±wieci¢
bez przerwy dªu»ej ni» 3 tygodnie?
3.17. Rzucamy symetryczn¡ kostk¡, dopóki nie wypadnie jedynka. Jaka jest warto±¢ oczekiwana oraz odchylenie
standardowe liczby potrzebnych do wykonania rzutów?
3.18. Pewna partia skªada si¦ z 200 towarów, spo±ród których wiadomo, »e 50 jest wadliwych. Kontrola w przed-
si¦biorstwie sprawdzi 5 losowo wybranych produktów z tej partii. Jaka jest warto±¢ oczekiwana i wariancja liczby
braków w tej próbce? Dziaª jako±ci odrzuci parti¦, je±li oka»e si¦, »e znajdzie w niej wi¦cej ni» 1 brak. Jakie jest
prawdopodobie«stwo zaj±cia tego zdarzenia?
3.19? Zmienna losowa
warto±¢
P(X = 4)
X
ma rozkªad Poissona z parametrem
λ = 5.
Wiedz¡c, »e
P(X = 3) ' 0,1403739
wyznacz
bez u»ywania kalkuratora.
2
3.20. W pewnym kraju przeci¦tny wzrost dorosªego m¦»czyzny wynosi 170 cm, przy wariancji 100 cm . Zakªadamy,
»e rozkªad wzrostu w populacji jest normalny.
(a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e spotkamy m¦»czyzn¦ wy»szego ni» 2 m? A jakie, »e ni»szego ni» 160 cm?
(b) Wyznacz wzrost, którego nie przekracza 75% m¦»czyzn.
(c) Jaka jest frakcja m¦»czyzn, których wzrost zawiera si¦ w przedziale
[155, 185]
cm?
3.21. (PG) Rozkªad dªugo±ci skoków na olimpijskiej skoczni narciarskiej jest normalny z warto±ci¡ oczekiwan¡ 120
metrów i odchyleniem standardowym 10 m. Podaj odlegªo±¢, powy»ej której skacze 75% zawodników.
3.22. Wiele testów inteligencji stosowanych w psychologii standaryzuje si¦ tak, aby oczekiwany wynik w populacji
wynosiª 100 przy odchyleniu standardowym 16. Zakªadaj¡c, »e rozkªad wyników jest normalny, wyznacz:
(a) Wynik, który przekracza 95% osób oraz wynik, który osi¡ga tylko 5% osób,
(b) Prawdopodobie«stwo, »e losowo wybrana osoba osi¡gnie wynik z przedziaªu
100 ± 16
oraz
100 ± 32,
(c) Prawdopodobie«stwo, »e losowo wybrana osoba ma IQ powy»ej 130.
3.23. Niech
(a)
(b)
X
b¦dzie zmienn¡ losow¡ z rozkªadu normalnego
N(µ, σ),
gdzie
µ = 32 i σ = 4.
Oblicz:
P(X ¬ 30), P (X ∈ (28, 34)) , P(X > 29),
x takie »e P (X ¬ x) = 0,8,
Ostatnia aktualizacja: 9 listopada 2010.
c
[email protected].
WSiSIZ/IZ/RPS/1011z/zadania-03, s. 2
(c)
y
takie »e
P (µ − y < X < µ + y) = 0,95.
3.24. Liczb¦ zgªosze« do centrali telefonicznej w W¡chocku mo»na opisa¢ zmienn¡ losow¡ z rozkªadu Poissona o
warto±ci oczekiwanej 5 (poª¡cze« na godzin¦).
(a) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e w ci¡gu godziny nie nast¡pi »adne poª¡czenie? A jakie, »e b¦dzie ich wi¦cej
ni» 10?
(b) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e czas pomi¦dzy dwoma poª¡czeniami b¦dzie krótszy ni» 5 minut? A jakie, »e
b¦dzie dªu»szy ni» kwadrans?
3.25. Wyznacz warto±ci oczekiwane i wariancje zmiennych losowych w zadaniach 3.1, 3.2, 3.3.
3.26. Dystrybuanta pewnej zmiennej losowej typu dyskretnego dana jest poni»ej.

0




1/6



1/3
F (x) =
7/12




8/9



1
x < 0,
x ∈ [0, 2),
x ∈ [2, 4),
x ∈ [4, 5),
x ∈ [5, 7),
x ­ 7.
dla
dla
dla
dla
dla
dla
(a) Opisz tabelk¡ rozkªad prawdopodobie«stwa tej zmiennej losowej. Sporz¡d¹ wykres tego rozkªadu.
(b) Oblicz warto±¢ oczekiwan¡, wariancj¦ i odchylenie standardowe tej zmiennej losowej.
3.27. (PG) Broni¡c decyzji o wprowadzeniu bus-pasów wªadze miasta podaªy, i» na ulicach, na których je wytyczono,
g¦sto±¢ rozkªadu czasu oczekiwania na autobus (w minutach) wyra»a si¦ wzorem:
f (x) =
x
50
dla
0
w p.p.
0 ¬ x < 10,
Wyznacz dystrybuant¦ czasu oczekiwania na autobus. Oblicz oczekiwany czas oczekiwania oraz jego odchylenie standardowe. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e trzeba b¦dzie czeka¢ na autobus dªu»ej ni» 5 minut?
3.28. Dana jest nast¦puj¡ca funkcja.

0



x+1
f (x) =
ax2



0
(a) Wyznacz warto±¢ staªej
dla
dla
dla
dla
x < −1,
− 1 ¬ x < 0,
0 ¬ x < 1,
x ­ 1.
a ∈ R,
aby f byªa g¦sto±ci¡ pewnej zmiennej losowej. Sporz¡d¹
F i sporz¡d¹ jej wykres.
P(X < 21 ), P(X > 0), P(X ­ 0), P(− 12 < X < 0).
jej wykres.
(b) Wyznacz posta¢ dystrybuanty
(c) Oblicz prawdopodobie«stwa:
(d) Oblicz warto±¢ oczekiwan¡, wariancj¦ i odchylenie standardowe tej zmiennej losowej.
3.29. Dana jest nast¦puj¡ca funkcja.

0




 0,125x
b
f (x) =


−0,25(x − 5)



0
(a) Wyznacz warto±¢ staªej
dla
dla
dla
dla
dla
x < 0,
0 ¬ x < 2,
2 ¬ x < 4,
4 ¬ x < 5,
x ­ 5.
b ∈ R,
aby f byªa g¦sto±ci¡ pewnej zmiennej
F i sporz¡d¹ jej wykres.
P(X < 3), P(X > 4), P(1 ¬ X < 4).
losowej. Sporz¡d¹ jej wykres.
(b) Wyznacz posta¢ dystrybuanty
(c) Oblicz prawdopodobie«stwa:
(d) Oblicz warto±¢ oczekiwan¡, wariancj¦, mod¦ i median¦.
3.30? Mamy dan¡ funkcj¦
f (x) = Ix­0 (10eax ).
(a) Wyznacz warto±¢ staªej
a∈R
tak, by
f
byªa g¦sto±ci¡ pewnej zmiennej losowej.
(b) Wyznacz jej dystrybuant¦.
(c) Wyznacz jej warto±¢ oczekiwan¡, wariancj¦, median¦ oraz kwantyl rz¦du
(d) Oblicz prawdopodobie«stwa:
0,25.
P(X ¬ 1,2), P(X > 1,5), P(1,1 < X < 1,2).
3.31? Wyprowad¹ wzór ogólny na dystrybuant¦, warto±¢ oczekiwan¡ i odchylenie standardowe tzw. rozkªadu Pareto
z parametrem
k > 2 i s > 1.
Jego g¦sto±¢ dana jest wzorem:
f (x) =
ksk
(dla
(s+x)k+1
3.32? Wyprowad¹ wzór na wariancj¦ rozkªadu jednostajnego na przedziale
Ostatnia aktualizacja: 9 listopada 2010.
c
[email protected].
[a, b],
x > 0).
gdzie
a < b.
WSiSIZ/IZ/RPS/1011z/zadania-03, s. 3
3.33. Podaj postaci funkcji rozkªadu (masy) prawdopodobie«stwa i dystrybuanty dla nast¦puj¡cych rozkªadów dys-
kretnych. Jakimi parametrami s¡ opisane te rozkªady? Jakie zjawiska mog¡ opisywa¢? Jakie s¡ ich warto±ci oczekiwane
i wariancje? (a) Rozkªad Bernoulliego (dwupunktowy), (b) Rozkªad dwumianowy, (c) Rozkªad Poissona, (d) Rozkªad
geometryczny, (e) Rozkªad hipergeometryczny.
3.34. Podaj postaci funkcji g¦sto±ci i dystrybuanty dla nast¦puj¡cych rozkªadów ci¡gªych. Jakimi parametrami s¡ opi-
sane te rozkªady? Jakie zjawiska mog¡ opisywa¢? Jakie s¡ ich warto±ci oczekiwane i wariancje? (a) Rozkªad jednostajny,
(b) Rozkªad wykªadniczy, (c) Rozkªad normalny.
3.35. Wymie« i zdeniuj znane Ci charakterystyki rozkªadów zmiennych losowych: (a) charakterystyki poªo»enia, (b)
charakterystyki rozproszenia, (c) charakterystyki ksztaªtu.
3.36. Naszkicuj wykres g¦sto±ci prawdopodobie«stwa dla rozkªadu ci¡gªego: (a) jednomodalnego, (b) wielomodalnego,
(c) nie maj¡cego mody, (d) lewostronnie sko±nego, (e) prawostronnie sko±nego.
3.37? Niech
X, Y
zmienne losowe oraz
a ∈ R
staªa. Udowodnij poni»sze wyra»enia zarówno dla zmiennych
losowych dyskretnych jak i dla ci¡gªych.
• Ea = a
• E(aX) = aEX
• E(X + a) = EX + a
Ostatnia aktualizacja: 9 listopada 2010.
• E(X + Y ) = EX + EY
• X ­ 0 ⇒ EX ­ 0
• X ­ Y ⇒ EX ­ EY
c
[email protected].
• E|X| ­ EX
• Var X ­ 0
• Var a = 0
• Var (aX) = a2 Var X
• Var (X + a) = Var X
• Var (X) = E(X 2 )−(EX)2
WSiSIZ/IZ/RPS/1011z/zadania-03, s. 4