1. Zmienna losowa S ma zªo»ony rozkªad Poissona CPoiss(10,p
Transkrypt
1. Zmienna losowa S ma zªo»ony rozkªad Poissona CPoiss(10,p
Egzamin z Teorii Ryzyka, UMK, luty 2008 1. Zmienna losowa S ma zªo»ony rozkªad Poissona funkcja rozkªadu prawdopodobie«stwa p( ) CPoiss(10, p( )), gdzie (czyli dyskretna g¦sto±¢) jest dana nast¦puj¡c¡ tabelk¡: x p(x) 0 1 2 0.4 0.3 0.3 Oblicz: (a) ES . (b) VarS . (c) EetS . (d) P(S = 0). (e) Zmienn¡ losow¡ gdzie a1 i a2 S S = a1 N1 + a2 N2 , N2 ∼ Poiss(λ2 ) s¡ Poissona. Podaj a1 , mo»na przedstawi¢ w postaci s¡ liczbami, za± N1 ∼ Poiss(λ1 ) niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadach i a2 , λ1 i λ2 . 2. Rozpatrzmy portfel 3000 polis ubezpieczenia na »ycie, opisany przez nast¦puj¡c¡ tabelk¦: k Jak zwykle, za± nk qk bk nk 1500 1 0.001 1 2 0.001 2 500 3 0.002 1 500 4 0.002 2 500 qk oznacza prawdopodobie«stwo wypªaty, bk wysoko±¢ wypªaty, liczb¦ polis. Znajd¹ zªo»ony rozkªad Poissona zmiennej losowej S CPoiss(λ, p( )) który aproksymuje rozkªad caªkowitej sumy wypªaconych odszkodowa« dla tego portfelu. Podaj: (a) parametr λ. (b) funkcj¦ rozkªadu, czyli g¦sto±¢ dyskretn¡ p( ) (np. w postaci tabelki). (c) funkcj¦ tworz¡c¡ momenty aproksymuj¡cego zªo»onego rozkªadu Poissona CPoiss(λ, p( )). 3. Rozwa»my klasyczny proces ryzyka z czasem ci¡gªym, w którym nadwy»ka ubezpieczyciela w chwili t jest dana nast¦puj¡cum wzorem: N (t) u + ct − X Xi . i=1 1 Jak zwykle zakªadamy, »e N (t) jest procesem Poissona z intensywno±ci¡ λ. Xi maj¡ rozkªad Rozpatrzmy szczególny przypadek, kiedy straty brutto µ, skupiony w punkcie czyli ( 0 P (x) = P(Xi ≤ x) = 1 Wiemy, »e λ = 2, c = 5 rekordu w dóª (denicja (a) (b) (c) dla dla x < µ; x ≥ µ. i µ = 2. Niech L1 L1 byªa podana na H(x) = P(L1 ≤ x). G(x) = P(L1 ≤ x|L1 < ∞). ψ(0) (prawdopodobie«stwo ruiny dla b¦dzie wielko±ci¡ pierwszego wykªadzie). Oblicz: u = 0). 4. Rozwa»my proces ryzyka z czasem dyskretnym, w którym nadwy»ka ubez- n pieczyciela w chwili jest dana nast¦puj¡cum wzorem: u − (Y1 + · · · + Yn ). Zakªadamy, »e Yi s¡ i.i.d. zmiennymi losowymi o rozkªadzie N(−1, 22 ). Asymptotyczne twierdzenie Craméra mówi, »e dla pewnych staªych (0, ∞) i r ∈ (0, ∞), prawdopodobie«stwo ruiny lim u→∞ (a) Oblicz ψ(u) a ∈ speªnia relacj¦ ψ(u) = a. e−ru r. (b) Która z nast¦puj¡cych relacji jest prawdziwa: • 0 < a < 1? • a = 1? • a > 1? (c) Podaj granic¦ ci¡gu zmiennych losowych n → ∞ (w sensie prawie na pewno jeden; u > 0 jest teraz ustalone). 5. Liczba roszcze« N u − (Y1 + · · · + Yn ) przy czyli z prawdopodobie«stwem jest zmienn¡ losow¡ o rozkªadzie Poissona Poiss(5). Ka»de ze zgªoszonych roszcze« jest, niezale»nie od pozostaªych, uwzgl¦dniane z prawdopodobie«stwem 0.2. Niech N1 0.8 lub odrzucone z prawdopodobie«stwem N0 liczb¦ oznacza liczb¦ roszcze« uwzgl¦dnionych, za± roszcze« odrzuconych. Podaj: (a) (b) (c) (d) (e) (f ) P(N0 = 0). P(N0 = 0|N = 5). P(N0 = 0|N1 = 4). E(N0 |N = 8). E(N0 |N1 = 7) E(N |N1 = 5). 2