wpływ wymiarów wirnika na wybrane właściwości

Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne Nr 1/2014 (101)
43
Krzysztof Krykowski1, Janusz Hetmańczyk1, Antoni Skoć2
1
2
Politechnika Śląska, Katedra Energoelektroniki, Napędu Elektrycznego i Robotyki, Gliwice
Politechnika Śląska, Instytut Mechanizacji Górnictwa, Gliwice
WPŁYW WYMIARÓW WIRNIKA NA WYBRANE WŁAŚCIWOŚCI
WYSOKOOBROTOWEGO
BEZSZCZOTKOWEGO SILNIKA PRĄDU STAŁEGO
THE INFLUENCE OF THE ROTOR DIMENSIONS
ON SELECTED PROPERTIES OF HIGH-SPEED BRUSHLESS DC MOTOR
Streszczenie: W artykule przeanalizowano wpływ relacji pomiędzy długością i średnicą wirnika na straty całkowite i sprawność wysokoobrotowego bezszczotkowego silnika prądu stałego (PM BLDC). Określono ograniczenia długości wirnika wynikające z możliwości pojawiania się drgań rezonansowych oraz zalecono sposób
doboru relacji pomiędzy średnicą a długością wirnika. W rozważaniach wykorzystano dane prototypowych
wysokoobrotowych silników PM BLDC, opracowanych w Katedrze Energoelektroniki, Napędu Elektrycznego
i Robotyki Politechniki Śląskiej.
Abstract: Influence of the relation between length and diameter of the rotor on total losses and efficiency of
high-speed permanent brushless DC motor was analyzed in the paper. Limitations of rotor length resulting
from the possibility of resonance vibrations appearance were determined and the way of selection of the relation between rotor length and diameter was recommended. The considerations were based on data of highspeed permanent brushless DC motor prototypes elaborated in the department of Power Electronics, Electrical
Drives and Robotics (KENER) The Silesian’s University of Technology.
Słowa kluczowe: wysokoobrotowy bezszczotkowy silnik prądu stałego, rezonans mechaniczny, straty mocy
Keywords: high-speed permanent magnet brushless DC motor, mechanical resonance, power losses
1. Wprowadzenie
Silniki wysokoobrotowe są wykorzystywane
w przemyśle samochodowym, w stomatologii
w urządzeniach takich jak sprężarki, obrabiarki
i innych. W silnikach tych pojawia się szereg
niekorzystnych zjawisk, które znacznie komplikują konstrukcję silnika [2, 4, 6]. Do najważniejszych z nich należy występowanie rezonansu mechanicznego oraz wzrost strat w obwodach magnetycznych i elektrycznych, spowodowany wyższą częstotliwością prądów niż
w typowych konstrukcjach. W artykule zestawiono wpływ obu tych zjawisk na właściwości
silnika. W analizie przyjęto założenia upraszczające:
• pominięto naciąg magnetyczny (silnik małej mocy, a przy obliczaniu naprężeń mechanicznych przyjęto duże współczynniki
bezpieczeństwa),
• pominięto wpływ wypierania prądu (uzwojenia silnika wykonane są przewodem
Litza),
• skorzystano z uproszczonej zależności (21),
opisującej relację pomiędzy stratami tarcia
o powietrze, a stratami w uzwojeniach,
wprowadzonej dla silnika o stałej mocy [7].
2. Wysokoobrotowy silnika PM BLDC
Schemat połączeń obwodu głównego 3-fazowego silnika PM BLDC o jednej parze biegunów, uzwojeniach połączonych w gwiazdę
i z komutatorem elektronicznym w układzie
mostka 3-fazowego przedstawiono na rys. 1.
Zasada działania wysokoobrotowego silnika
wzbudzanego magnesami jest taka sama jak innych rodzajów silników PM BLDC i została
opisana w [5].
θ
T1
D1
T3
D3 T5
D5
+
U DC -
H3
A
H2
B
T2
D 2 T4
D4
T6
D6
C
H1
Układ logiczny
Rys. 1. Schemat połączeń wysokoobrotowego
silnik PM BLDC
Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne Nr 1/2014 (101)
44
3. Wpływ wymiarów wirnika na drgania
giętne
W układzie mechanicznym znacznego wzrostu
drgań amplitudy jego elementów należy się
spodziewać, gdy układ pracuje w zakresach rezonansowych. Główny rezonans ma miejsce
wówczas, gdy częstość wymuszeń odpowiada
częstości drgań własnych. W układach nieliniowych, a takimi są układy mechaniczne, lokalny wzrost amplitudy drgań (naprężeń) może
pojawić się przy częstości ω = (n/m)ωrez, gdzie
n i m są liczbami całkowitymi. Częstość drgań
własnych wału zależy od wielkości i rozmieszczenia na nim mas, sposób podparcia oraz od
jego właściwości sprężystych. Wymuszenia
mogą być wywołane przez okresowo zmienne
siły styczne lub momenty skręcające wywołane
przez okresowo zmienne siły poprzeczne,
np. wskutek niewyważenia wirującej masy
lub przez okresowo zmienne siły wzdłużne.
Każde z wymienionych wymuszeń pobudza
układ (wał) do drgań o różnej postaci, to znaczy
skrętnych, giętnych i wzdłużnych.
Częstość wzdłużnych drgań własnych wałów
jest zazwyczaj bardzo duża i niebezpieczeństwo
wystąpienia zjawiska rezonansu takich drgań
praktycznie nie występuje. Rezonans drgań
skrętnych może wystąpić, gdy wartość momentu obrotowego zmienia się okresowo, np.
w maszynach tłokowych oraz silnikach elektrycznych. Wymuszenia poprzeczne i związane
z nimi drgania giętne powodują natomiast, że
prawdopodobieństwo pracy układu w zakresach
rezonansowych jest duże, co tłumaczy się małą
sztywnością poprzeczną wałów, która decyduje
o częstościach poprzecznych drgań własnych
wałów. Tak więc niebezpieczeństwo pracy
w zakresach rezonansowych może wystąpić
w każdej niemal maszynie [3].
ω<ωkr
ω>ωkr
r
e
F*
m
y>0
F*
m
r = y+e
(1)
gdzie e jest mimośrodowością wału.
Wobec powyższego, siłę odśrodkową opisuje
zależność:
F = m ⋅ ω2 r = m ⋅ ω2 ( y + e )
F
y<0
Rys. 2. Dynamiczne ugięcie wału: a) obroty
wału mniejsze od krytycznych, b) obroty wału
przekroczyły wartość krytyczną ω > ωkr
(2)
Siłę tą równoważy siła sprężystości proporcjonalna do ugięcia dynamicznego wału:
F * = y ⋅ cg
(3)
gdzie:
cg - sztywność giętna wału (siła wywołująca jednostkowe ugięcie).
Porównując siły F oraz F* uzyska się zależność:
y=
e
cg
mω2
=
−1
e
2
 ωo 
  −1
 ω
(4)
opisującą ugięcie dynamiczne wału w płaszczyźnie działania siły odśrodkowej
Łatwo zauważyć, że ugięcie dynamiczne wału
dąży do nieskończoności, gdy ω2 = cg/m. Prędkość kątową wału, przy której ugięcie rośnie
nieskończenie, nazywa się częstością krytyczną.
Z teorii drgań [9] wiadomo, że częstość poprzecznych drgań własnych układu przedstawionego na rysunku 2 jest równa częstości
drgań własnych.
ωkr = ωo =
r
e
F
Wirnik silnika elektrycznego narażony jest na
działanie odśrodkowych sił bezwładności mających swe źródło – chociażby w nieznacznym mimośrodowym położeniu środka ciężkości
masy wirującej, względem osi obrotu (rys. 3)
[9]. Dla prędkości kątowej ω, siła odśrodkowa
F, wywoła w punkcie jej przyłożenia ugięcie
dynamiczne osi wału o wartości y. Maksymalny
promień obrotu środka ciężkości masy osadzonego na wale elementu (rys. 2) wyniesie:
cg
m
(5)
Chcąc określić krytyczną prędkość obrotową
wału, należy uprzednio wyznaczyć strzałkę
ugięcia wału y(F) w punkcie przyłożenia dowolnej statycznej siły poprzecznej F*, a następnie
obliczyć sztywność wału:
F∗
cg =
y( F )
(6)
Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne Nr 1/2014 (101)
Po podstawieniu zależności (6) do (5) uzyska
się:
F∗
y( F )m
ωkr =
(7)
W przypadku wałów maszynowych [3], ze
względu na prędkość krytyczną, należy unikać
ustalonej pracy wału (wirnika) w zakresie prędkości obrotowych:
0 ,85 ⋅ ngkr ≥ n ≥ 1,15 ⋅ ngkr
lz
(11)
gdzie krytyczna prędkość obrotowa wyrażona
w obr/min wynosi:
l z/2
nkr =
y=f
Wał o średnicy dz
45
30
ωkr
π
(12)
4. Wpływ wymiarów wirnika na sprawność silnika
m
Rys. 3. Schemat wału zastępczego i jego ugięcie pod wpływem działania siły odśrodkowej
pojawiającej się w wyniku wirowania masy m
Podstawowymi rodzajami strat w silnikach elektrycznych są straty w uzwojeniach (w miedzi),
straty w obwodach magnetycznych (w żelazie)
oraz straty mechaniczne [7], [8]:
∆P ≈ ∆PCu + ∆PFe + ∆Pmech
Wał silnika jest obciążony siła poprzeczną F
(rys. 3), będącą wynikiem działania siły odśrodkowej. Między strzałką ugięcia wału f,
a szczeliną silnika e* musi zachodzić relacja
e*>f. Natomiast:
F ⋅ lz ⋅ a 2
y=
6⋅ E ⋅ I
(13)
Straty w uzwojeniach są proporcjonalne do
kwadratu prądu. Znając prądy fazowe straty te
można określić zależnością:
3
2
∆PCu = Rs ∑ I s(k)
= 3Rs I s2
(14)
k =1
(8)
gdzie:
I - moment bezwładności wału silnika wynoszący:
π⋅d
(9)
64
E - moduł sprężystości podłużnej, dla stali
E = 2,1⋅105 MPa.
a – odległość między podporami wału
lz - zastępcza długość wału stopniowanego
(rys. 4):
Jeśli prąd stały w obwodzie zasilania silnika
jest wygładzony, to straty w uzwojeniach
można również określić jako:
∆PCu = 2 Rs I d2
(15)
4
I=
4
4
d 
d 
d 
lz = l1  z  + l2  z  + l3  z 
 d1 
 d2 
 d3 
4
(10)
l
l1
d1
A
l3
l2 = lr
Straty mocy w obwodach magnetycznych nazywane w skrócie stratami w żelazie są iloczynem masy i stratności zgodnie z zależnością:
∆PFe = ∆pB,f mFe
w której przez mFe oznaczono masę rdzenia,
a przez ∆pB,f stratność wyznaczoną przy indukcji B i częstotliwości f.
Straty mechaniczne są spowodowane tarciem
w łożyskach oraz stratami wentylacyjnymi wywołanymi tarciem wirnika o chłodziwo. Przybliżoną wartość strat w jednym łożysku tocznym opisuje zależność [1]:
∆Pmbe = 1,5F
d2=dr
B
d3
Rys. 4. Wymiary wału wirnika wysokoobrotowego silnik PM BLDC
(16)
v
10−5
d be
(17)
w której: ∆Pmbe - straty w jednym łożysku mierzone w watach; F - siła promieniowa działająca na łożysko w niutonach; ν - prędkość obwodowa na powierzchni bieżni łożyska w m/s;
dbe - średnia średnica rozmieszczenia elementów tocznych łożyska w metrach.
Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne Nr 1/2014 (101)
46
W ogólnym przypadku siła promieniowa F zależy od prędkości obrotowej. Straty mocy w łożyskach (17) można więc sprowadzić do postaci:
∆Pmbe = ω ⋅ F ( ω ) ⋅ const
(18)
Straty wentylacyjne, wyrażone w kW, można
wyznaczyć analitycznie na podstawie zależności [1] jako:
∆Pfv = 60
d r4  f 
lr  
p 3  50 
3
(19)
w której dr = 2rr oznacza średnicę wirnika, a p liczbę par biegunów. W [8] sprowadzono zależność (19) do postaci:
 n 
∆Pfv = 2, 22d r4 lr 

 100 
3
(20)
Z przytoczonych zależności wynika, że straty
w uzwojeniach i straty wentylacyjne są funkcją
wymiarów geometrycznych silnika. Natomiast
straty w obwodach magnetycznych zależą od
masy rdzenia. Aby określić jak zmiana wymiarów geometrycznych silnika wpływa na sprawność i występowanie częstotliwości rezonansowych należy straty uzależnić od parametrów
wstępnie dobranego silnika, którego długość
i średnica wynoszą lr0 oraz dr0. Należy przy tym
jednak pamiętać o zapewnieniu niezmienionej
wartości mocy i/lub momentu elektromagnetycznego silnika. Warunek ten w [7] dla wielkości względnych został opisany jako:
d r * lr * = 1
(21)
Dla założonego prądu straty w uzwojeniach są
proporcjonalne do rezystancji uzwojenia wynikającej z zależności przybliżonej:
Rs = Rs 0
l d r20
lr 0 d 2
(22)
w której przez Rs0 oznaczono rezystancję fazową wstępnie dobranego silnika, a przez l oraz
d długość i średnicę uzwojenia. Zakładając proporcjonalność wymiarów i przyjmując wielkości określone dla wstępnie dobranego silnika
jako wielkości odniesienia uzyska się wyrażenie:
∆PCu = ∆PCu 0
lr *
d r2*
(23)
opisujące (w przybliżeniu) straty w uzwojeniach po zmianie długości i średnicy wirnika.
Korzystając z zależności (20) można straty
wentylacyjne, określone dla stałej prędkości obrotowej i zmienionych wymiarów wirnika, opisać zależnością:
∆Pfv = ∆Pfv 0 d r4* lr*
(24)
5. Analiza wpływu wymiarów na częstotliwość rezonansową oraz straty
W Katedrze Energoelektroniki Napędu Elektrycznego i Robotyki, Politechniki Śląskiej
opracowano i wykonano silnik wysokoobrotowy o maksymalnej prędkości obrotowej wynoszącej 60 000 obr/min. Charakterystycznymi
cechami tego silnika był stosunkowo duży rozstaw pomiędzy łożyskami oraz znaczna średnica wirnika wynosząca 35,5 mm. Silnik ten,
traktowany jako silnik odniesienia i oznaczony
w dalszych rozważaniach jako silnik I, pracował poprawnie przy prędkościach mniejszych
od 60 000 obr/min. Przy zwiększaniu prędkości
obrotowej powyżej tej wartości pojawiały się
drgania rezonansowe.
Rys. 6. Przebieg z czujnika Halla, prądów fazowych oraz z czujnika drgań nieobciążonego
silnika wirującego z prędkością 66 540 obr/min
(1109 Hz)
Na rysunku 6 przedstawiono przebiegi sygnałów czujnika Halla, prądów fazowych oraz narastające wartości amplitudy drgań rezonansu,
osiągając wartość krytyczną przy prędkości ok.
66 540 obr/min zarejestrowane dla silnika I.
Obliczenia częstotliwości rezonansowej przedstawiono w tabeli 1 w kolumnie 2.
Chcąc podwyższyć zakres prędkości obrotowych silnika zdecydowano się na korektę wymiarów wałka (nieznaczne zmniejszenie średnicy wałka) oraz zmniejszenie odległości pomiędzy łożyskami. Dane tego silnika nazwanego w dalszych rozważaniach silnikiem II,
przedstawiono w trzeciej kolumnie tabeli 1.
Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne Nr 1/2014 (101)
47
Tabela 1. Wyniki obliczeń częstotliwości rezonansowej
Zmienione wymiary silnika (rys.2)
Silnik I
(odniesienia)
d10, l10,
dr0, lr0
Silnik II
(krótki)
l1k < l10
lrk = l10
drk < dr0
Silnik III
(długi)
l1d = l1k
l1d > l1k
drd < drk
Zastępcza długość wirnika lzg [mm]
67,6
9,03
10,7
Moment bezwładności I [mm4]
1 018
491
491
Sztywność wału cg [N/mm]
16 543
3 358 563
2 010 062
Krytyczna prędkość kątowa ωgkr [1/s]
7 553
115 906
89 667
Krytyczna prędkość obrotowa ngk [obr/min]
72 124
1 106 823
856 261
Zakres występowania rezonansu [obr/min]
61 000
÷ 83 000
94 000
÷ 127 000
727 000
÷ 984 000
a)
120,0
Pfv_II
100,0
PCu_II
Pmbe_II
80,0
P [W]
Częstotliwość rezonansu mechanicznego silnika
II była znacznie wyższa od przewidywanej
prędkości obrotowej (100 000 obr/min). Straty
mechaniczne tarcia o powietrze okazały się jednak znacznie większe od innych strat (rys. 8a).
Odbijało się to niekorzystnie na sprawności silnika. Kolejnej korekty wymiarów silnika dokonano posługując się zależnością (23). Straty tarcia o powietrze dla tej wersji silnika nazwanej
w dalszych rozważaniach silnikiem III były
znacznie mniejsze niż takie straty w silniku II
(rys. 8b). Wzrosły natomiast straty w uzwojeniach. Suma wszystkich strat okazała się dla
silnika III mniejsza niż dla silnika II powyżej
prędkości 75 000 obr/min. W efekcie sprawność silnika III okazała się wyższa niż sprawność silnika II dla najwyższych prędkości. Dane
silnika III zestawiono w tabeli 1 w kolumnie
czwartej.
PFe_II
60,0
40,0
20,0
0,0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
80
90
100
80
90
100
n [obr/m in] x 1000
b)
120,0
Pfv_III
100,0
PCu_III
Pmbe_III
80,0
P [W]
Parametr
PFe_III
60,0
40,0
20,0
0,0
10
20
30
40
50
60
70
n [obr/m in] x 1000
c)
280,0
Suma strat P [W]
240,0
Suma P_II
200,0
Suma P_III
160,0
120,0
80,0
40,0
0,0
10
20
30
40
50
60
70
n [obr/m in] x 1000
Rys. 7. Wirnik wysokoobrotowego silnika PM
BLDC (silnik II) oraz wirnik o zwiększonej
długości i zmniejszonej średnicy (silnik III)
Rys. 8. Straty w wysokoobrotowym silniku
PM BLDC w funkcji prędkości: a) silnika II; b)
silnika III; c )suma strat dla silnika II i III
Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne Nr 1/2014 (101)
48
Na rysunku 7 przedstawiono zdjęcie wirnika
silników II i III, których dane wykorzystano
w analizie. Na rysunku 8a zestawiono poszczególne straty i ich sumę (rys. 8b) w funkcji prędkości obrotowej dla II i III silnika przy
przewidzianym obciążeniu znamionowym
(Mn=0,1Nm, In = 60 A). Na rysunku 9 przedstawiono natomiast sprawność silników II i III
określoną dla obciążenia znamionowego.
Z przedstawionych rysunków wynika, że dla
silnika III (długiego) wyższą sprawność
uzyskuje się przy prędkościach powyżej
75 000 obr/min.
100,0
Sprawność
90,0
80,0
70,0
Spraw ność_II
60,0
Spraw ność_III
50,0
40,0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
n [obr/m in] x 1000
Rys. 9. Sprawność silnika wysokoobrotowego
w funkcji prędkości
6. Podsumowanie
Przeprowadzone rozważania wykazały, że przy
wzroście długości wirnika silnika następuje obniżenie częstotliwości drgań wału. W przypadku silników o typowych mocach i prędkościach obrotowych zjawisko to jest na ogół nieszkodliwe, a często niezauważalne. W przypadku silnika wysokoobrotowego, w którym
wirnik wiruje z dużą prędkością może się zdarzyć, że częstotliwości drgań własnych okaże
się niższa od prędkości silnika. Grozi to pojawieniem się rezonansu, a w efekcie uszkodzeniem silnika.
Dodatkowym niekorzystnym zjawiskiem pojawiającym się przy wzroście długości wirnika
jest wzrost strat elektrycznych w silniku. Z kolei skracanie długości wirnika przy równoczesnym wzroście średnicy prowadzi do wzrostu
strat mechanicznych, a w przypadku silnika
wysokoobrotowego straty te mają największy
wpływ na sprawność: Przeprowadzone rozważania można zakończyć wnioskami:
• wymiary silnika powinny być tak dobrane
by spełniały zależność (23) zapewniającą
najmniejszą wartość sumy strat mechanicznych i elektrycznych.
• w przypadku, gdy wymiary wirnika nie zapewniają pracy z częstotliwością mniejszą
od rezonansowej należy zmniejszyć długość wirnika, nawet kosztem powiększenia
strat i pogorszenia sprawności.
Praca została wykonana w ramach projektu MNiSW Fundusze Strukturalne nr POIG.01.03.01-00-058/08
7. Literatura
[1]. Dąbrowski M.: Projektowanie maszyn elektrycznych prądu przemiennego. Wydawnictwo Naukowo Techniczne, Warszawa 1994.
[2]. Gałuszkiewicz Z, Krykowski K, Miksiewicz R.,
Hetmańczyk J.: Budowa i realizacja wysokoobrotowego silnika wzbudzanego magnesami trwałymi,
Przegląd Elektrotechniczny, R. 86 NR 2/2010.
[3]. Gałuszkiewicz Z., Krykowski K., Hetmańczyk J., Skoć A.: Rezonans mechaniczny w wysokoobrotowym silniku PM BLDC. Zeszyty Problemowe
Maszyny Elektryczne nr 86, 2010, wyd. BOBRME
Komel, s. 123-128.
[4]. Hetmańczyk J., Krykowski K., Gałuszkiewicz Z., Miksiewicz R., Makieła D.: Wysokoobrotowy silnik wzbudzany magnesami trwałymi. Zeszyty
Problemowe - Maszyny Elektryczne nr 86, 2010,
wyd. BOBRME Komel, s. 129-134.
[5]. Krishnan R.: Electric Motor Drives, Modelling,
Analysis and Control. Prentice Hall, New Jersey
2001.
[6]. Krykowski K., Hetmańczyk J., Gałuszkiewicz
Z., Miksiewicz R.: Computer analysis of highspeed
PM BLDC motor properties, COMPEL. The International Journal for Computation and Mathematics
in Electrical and Electronic Engineering, vol. 30, issue 3, s. 941-956.
[7]. Krykowski K., Hetmańczyk J., Makieła D., Gałuszkiewicz Z.: Ocena strat w wysokoobrotowym
silniku PM BLDC, Zeszyty problemowe - Maszyny
Elektryczne nr 96/3/2012, Katowice 2012, str.
63-68.
[8]. Krykowski K.: Silnik PM BLDC w napędzie
elektrycznym analiza, właściwości, modelowanie.
Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2011.
[9]. Skoć A., Spałek J., Markusik S.: Podstawy konstrukcji maszyn, Tom 2. Wydawnictwa NaukowoTechniczne. Warszawa 2008.
Autorzy
prof. dr hab. inż. Krzysztof Krykowski,
dr inż. Janusz Hetmańczyk
Politechnika Śląska, Katedra Energoelektroniki,
Napędu Elektrycznego i Robotyki, ul. Bolesława Krzywoustego 2, 44-100 Gliwice,
E-mail: [email protected]
[email protected]
prof. dr hab. inż. Antoni Skoć
Politechnika Śląska, Instytut Mechanizacji
Górnictwa, ul. Akademicka 2, 44-100 Gliwice,
E-mail: [email protected]