Lista I. Liczby zespolone cz. 1

Wydział Elektryczny
MATEMATYKA 1
Elektrotechnika
Lista I. Liczby zespolone cz. 1
I.1. Dane są liczby zespolone z1 = 2 − 3j, z2 = −3 + j. Oblicz:
(a) z1 + z2 ,
(b) z1 − z2 ,
(c) z1 · z2 ,
I.2. Oblicz:
(3 + 2j)2
(a)
,
3 + 4j
I.3. Rozwiąż równanie:
(a) z 2 − 4z + 13 = 0,
(b)
(1 + j)(2 − j)
,
(1 − j)2
(b) (1 + j)z + 3(z − j) = 0,
I.4. Dane są liczby zespolone: z = 5 − 2j i w = 3 + 4j. Oblicz:
z−w
Re z̄ + jIm w
(a)
,
(b)
,
z̄ + w̄
z − w̄
(d)
z1
.
z2
(c)
(3 + j)2
.
(2 − j)3
(c)
1−j
2+j
=
.
z − 1 + 4j
2z + j
(c)
jIm z̄ + jw
.
z w̄
I.5. Oblicz x, y ∈ R spełniające równania i przedstaw na płaszczyźnie:
(a) x(2 + 3j) + y(5 − 2j) = −8 + 7j,
x + yj
9 − 2j
(c)
=
.
x − yj
9 + 2j
(b) (2 + yj)(x − 3j) = 7 − j,
I.6. Oblicz liczbę zespoloną z spełniającą równanie. Rozwiązania zaznacz na płaszczyźnie zespolonej.
(a) z 2 = 4z̄,
(b) (z + 2)2 = (z̄ + 2)2 ,
(c) z + j − z + j = 0.
I.7. Narysuj na płaszczyźnie zespolonej liczby zespolone spełniające podane warunki:
(a) Re (jz + 2) ­ 3,
(b) z z̄ + (5 + j)z + (5 − j)z̄ + 1 = 0,
1 + jz
(c) Im
= 1.
1 − jz
I.8. Rozwiąż podane układy równań:
(
(
(2 − j)x + (1 + j)y = 1 − j
(1 − 2j)U1 + (2 + 3j)U2 = 3 − j
(a)
,
(b)
.
(3 − 2j)x − (1 − 2j)y = 2 + j
jU1 − (4 − 3j)U2 = 2 + j
1