plik Adobe PDF / Get full paper - Adobe PDF file

KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN – ODDZIAà W POZNANIU
Vol. 29 nr 2
Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji
2009
MAàGORZATA PONIATOWSKA*
METODY ANALIZY DANYCH PRZESTRZENNYCH
W BADANIACH ODCHYàEK GEOMETRYCZNYCH
WYZNACZANYCH W POMIARACH WSPÓàRZĉDNOĝCIOWYCH
POWIERZCHNI SWOBODNYCH
Pomiary wspóárzĊdnoĞciowe są Ĩródáem cyfrowych danych w postaci wspóárzĊdnych punktów
pomiarowych o dyskretnym rozkáadzie na mierzonej powierzchni. Odchyáki geometryczne powierzchni swobodnych wyznacza siĊ w kaĪdym punkcie jako odchyáki normalne tych punktów od
powierzchni nominalnej (modelu CAD). RóĪne przyczyny báĊdów w procesie wytwarzania prowadzą do powstawania odchyáek o odmiennym charakterze, deterministycznym i losowym. Udziaá
zjawisk losowych w odchyákach geometrycznych powierzchni zaleĪy od rodzaju obróbki.
W artykule zaproponowano stosowanie metod analizy danych przestrzennych do badaĔ losowoĞci
odchyáek geometrycznych powierzchni swobodnych, polegające na testowaniu ich przestrzennej
autokorelacji.
Sáowa kluczowe: pomiary wspóárzĊdnoĞciowe, powierzchnia swobodna, odchyáki geometryczne, przestrzenna autokorelacja
1. WPROWADZENIE
WspóárzĊdnoĞciowa technika pomiarowa polega na okreĞlaniu wartoĞci
wspóárzĊdnych punktów pomiarowych lokalizowanych na powierzchni przedmiotu. W wyniku pomiaru otrzymuje siĊ zbiór danych dyskretnych w postaci
wspóárzĊdnych punktów pomiarowych. Z punktu widzenia technik CAD/CAM
najwaĪniejszą cechą pomiarów wspóárzĊdnoĞciowych jest dostarczanie danych
o geometrii przedmiotu w postaci cyfrowej.
W pomiarach wspóárzĊdnoĞciowych typowych czĊĞci maszyn, opisanych za
pomocą prostych figur geometrycznych, wykorzystuje siĊ wbudowane w oprogramowania makroinstrukcje; na podstawie wspóárzĊdnych punktów pomiarowych wyznaczane są skojarzone elementy geometryczne, a nastĊpnie ich wy*
Dr inĪ. – Katedra InĪynierii Materiaáowej i Technologii Maszyn Politechniki Biaáostockiej.
Praca naukowa finansowana przez MNiSW ze Ğrodków na naukĊ w latach 2008-2011 jako
projekt badawczy N N503 326235.
64
M. Poniatowska
miary oraz odchyáki ksztaátu i poáoĪenia. Kontrola dokáadnoĞci sprowadza siĊ do
porównania wyznaczonych wymiarów z danymi zawartymi na rysunkach konstrukcyjnych.
Dla zapewnienia funkcjonalnoĞci, ergonomii i estetyki wyrobów czĊsto projektuje siĊ czĊĞci maszyn záoĪone z powierzchni swobodnych 3D. Tego typu
czĊĞci są uksztaátowane przez powierzchnie, których nie da siĊ opisaü prostymi
równaniami matematycznymi. W projektowaniu, wytwarzaniu i pomiarach powierzchni swobodnych wykorzystuje siĊ techniki CAD/CAM. Kontrola dokáadnoĞci polega na digitalizacji badanego obiektu (pomiar wspóárzĊdnoĞciowy metodą skaningu wedáug regularnej siatki punktów), a nastĊpnie na porównaniu
otrzymanych wspóárzĊdnych punktów pomiarowych z projektem (modelem)
CAD. WartoĞci odchyáek geometrycznych powierzchni swobodnej, czyli normalne odchyáki punktów pomiarowych od powierzchni nominalnej, moĪna obliczyü, wyznaczając uprzednio skáadowe báĊdów w kierunkach X, Y, Z [6]. Za
pomocą oprogramowania wspóárzĊdnoĞciowych maszyn pomiarowych wykonuje siĊ automatycznie takie obliczenia dla kaĪdego punktu pomiarowego w opcji
skanowania UV, przeznaczonej do skanowania na podstawie modelu CAD (UV
– kierunki parametryzacji powierzchni B-sklejanej). Wyniki kontroli dokáadnoĞci wykonania moĪna przedstawiü w postaci przestrzennego wykresu.
Odchyáki geometryczne w kaĪdym punkcie pomiarowym są skutkiem oddziaáywania róĪnych przyczyn, zarówno o charakterze zdeterminowanym jak
i losowym. Odchyáki zdeterminowane są przestrzennie skorelowane, brak przestrzennej korelacji oznacza ich losowoĞü. Do badaĔ autokorelacji odchyáek powierzchni swobodnych w ujĊciu przestrzennym naleĪy stosowaü metody analizy
danych przestrzennych. Statystyka przestrzenna, proponowane w niej metody
umoĪliwiają iloĞciowy opis przestrzennych powiązaĔ danych.
2. CHARAKTERYSTYKA ODCHYàEK GEOMETRYCZNYCH
POWIERZCHNI
Odchyáki geometryczne powierzchni są spowodowane wieloma czynnikami.
ĝlady na powierzchni są spowodowane róĪnymi báĊdami w procesie wytwarzania. Odchyáki geometryczne są áącznym skutkiem tych báĊdów. Na przykáad,
báĊdy frezowania wykaĔczającego mogą byü podzielone na trzy skáadowe: odchyáki ksztaátu, falistoĞü i chropowatoĞü. Skáadowe związane z odchyákami
ksztaátu i falistoĞcią są naáoĪonymi na powierzchniĊ nominalną nieregularnoĞciami powierzchni dającymi w efekcie gáadką powierzchniĊ. Skáadowa związana ze zjawiskami losowymi, m.in. chropowatoĞcią powierzchni, to nieregularnoĞci o duĪej czĊstotliwoĞci. Powierzchnia rzeczywista to wynik naáoĪenia falistoĞci i chropowatoĞci na powierzchniĊ nominalną. Udziaá zjawisk losowych w
odchyákach geometrycznych powierzchni zaleĪy od rodzaju obróbki. Dane lite-
Metody analizy danych przestrzennych w badaniach odchyáek geometrycznych...
65
raturowe i badania wáasne wskazują, Īe po wykaĔczającej obróbce frezowaniem
przypadkowe odchyáki geometryczne powierzchni mają wiĊksze wartoĞci niĪ
odchyáki zdeterminowane [3, 4].
Przyczynami odchyáek ksztaátu są m.in. odchyáki prowadnic obrabiarki, odksztaácenia obrabianego przedmiotu lub elementów obrabiarki, nieprawidáowe
zamocowanie. FalistoĞü powierzchni powodują m.in. odchyáki geometryczne lub
odchyáki ruchu narzĊdzia, drgania obrabiarki lub narzĊdzia. ChropowatoĞü jest
spowodowana ksztaátem ostrza narzĊdzia oraz posuwem wzdáuĪnym lub wgáĊbnym narzĊdzia, a takĪe drganiami na styku przedmiot – narzĊdzie.
W pomiarach wspóárzĊdnoĞciowych okreĞla siĊ wspóárzĊdne skoĔczonej
liczby punktów na powierzchni elementu. Celem tych pomiarów jest wyznaczenie gáadkiej powierzchni naáoĪonej na powierzchniĊ nominalną. Jednak w procesie pomiarowym skáadowa losowa nakáada siĊ na skáadową zdeterminowaną.
W konsekwencji przestrzenne wspóárzĊdne zebrane w kaĪdym punkcie pomiarowym zawierają dwie odrĊbne skáadowe. Skáadowa związana z odchyákami
zdeterminowanymi reprezentuje trend gáadkiej powierzchni i jest przestrzennie
skorelowana. Natomiast skáadowa losowa jest sáabo skorelowana i jest uwaĪana
za przestrzennie losową. Powierzchnia zbudowana z punktów pomiarowych jest
wiĊc bardziej záoĪona niĪ powierzchnia nominalna.
Odchyáki geometryczne powierzchni mają wiĊc charakter mieszany, zarówno
co do wartoĞci jak i co do przestrzennego rozkáadu. JeĞli obserwacja rozkáadu
przestrzennego danych wykazuje systematyczną zmiennoĞü, a graficzne odzwierciedlenie wartoĞci na mapie daje swoisty wzór, mówi siĊ o ich przestrzennej autokorelacji, o przewadze zjawisk zdeterminowanych nad losowymi.
W przeciwnym razie nieuporządkowany rozkáad odchyáek wskazuje na przewagĊ wpáywów przestrzennie losowych.
Na rysunkach 2 i 3 zamieszczono przestrzenny rozkáad, a na rys. 5 mapĊ wyznaczonych odchyáek geometrycznych powierzchni przedmiotu ze stopu aluminium (zaprezentowanego na rys. 1) w odniesieniu do nominalnych wspóárzĊdnych
x i y. Zastosowano obróbkĊ wykaĔczającą frezowaniem: frez kulisty o Ğrednicy
6 mm, prĊdkoĞü obrotowa wrzeciona 7500 obr/min, posuw roboczy 300 mm/min
oraz dwustronną obróbkĊ metodą wierszowania w páaszczyĨnie XY.
Pomiary wykonano na wspóárzĊdnoĞciowej maszynie pomiarowej Mistral
Standard 070705 Brown&Sharpe. Wykorzystano gáowicĊ pomiarową TP200
z trzpieniem pomiarowym dáugoĞci 20 mm, zakoĔczonym kulistą koĔcówką pomiarową o Ğrednicy 2 mm. PowierzchniĊ o wymiarach podstawy 100u100 mm
skanowano metodą UV i otrzymano 2500 równomiernie rozmieszczonych punktów pomiarowych (50 wierszy i 50 kolumn).
M. Poniatowska
66
Rys. 1. Model CAD powierzchni przedmiotu
Fig. 1. Model CAD of the surface
MoĪna zaobserwowaü, Īe punkty pomiarowe zawierają zarówno skáadowe
przestrzennie zdeterminowane, jak i losowe (rys. 2 i 3). Badanie losowoĞci wartoĞci otrzymanych odchyáek, nieuwzglĊdniające przestrzennych powiązaĔ, wykazaáo, Īe dane podlegają normalnemu rozkáadowi prawdopodobieĔstwa, co
ilustruje rys. 4. Dane uzyskane w pomiarach powierzchni swobodnych mają
charakter 3D, analiza ograniczona do wartoĞci odchyáek nie daje wielu informacji. Dla wnioskowania o przebiegu obróbki na frezarkach wieloosiowych bardzo
cenne są informacje o przestrzennym rozkáadzie odchyáek.
Z [mm]
0 ,0 0 0
-0 ,0 0 5
-0 ,0 1 0
-0 ,0 1 5
-0 ,0 2 0
-0 ,0 2 5
80
Y [mm]
60
40
20
-0 ,0 2 5
-0 ,0 2 0
-0 ,0 1 5
-0 ,0 1 0
-0 ,0 0 5
0 ,0 0 0
20
40
60
80
X [m m ]
Rys. 2. WartoĞci odchyáek geometrycznych w odniesieniu do páaszczyzny XY
Fig. 2. Geometric deviations versus XY plane
Metody analizy danych przestrzennych w badaniach odchyáek geometrycznych...
67
-0 ,0 1 0
Z [mm]
- 0 ,0 1 2
- 0 ,0 1 4
- 0 ,0 1 6
- 0 ,0 1 8
- 0 ,0 2 0
45
Y [m
40
m]
- 0 ,0 2 0
- 0 ,0 1 8
- 0 ,0 1 6
- 0 ,0 1 4
- 0 ,0 1 2
- 0 ,0 1 0
35
30
55
60
65
70
75
80
]
X [m m
Rys. 3. Wybrany fragment wykresu z rys. 2 w powiĊkszeniu
Fig. 3. Enlarged selected sector of the plot in Fig. 2
600
Liczba obs.
500
400
300
200
100
0
-0,026
-0,021
-0,016
-0,011
-0,007
-0,002
0,003
-0,024
-0,019
-0,014
-0,009
-0,004
0,001
H>mm@
Rys. 4. Histogram odchyáek geometrycznych powierzchni
Fig. 4. Histogram of geometric deviations
Przestrzenny rozkáad odchyáek w odniesieniu do páaszczyzny XY najáatwiej
moĪna obserwowaü na barwnej mapie (rys. 5). W tym przypadku w odniesieniu
do losowych wartoĞci wykres wskazuje na przewagĊ przestrzennej struktury
zdeterminowanej. NiemoĪliwe jest jednak podjĊcie jednoznacznej decyzji bez
zastosowania odpowiednich metod ujmujących iloĞciowo przestrzenne związki
danych. Takie moĪliwoĞci daje statystyka przestrzenna i związane z nią metody
analizy danych przestrzennych.
M. Poniatowska
68
80
Y [mm]
60
40
20
-0,025
-0,020
-0,015
-0,010
-0,005
0,000
20
40
60
80
X [m m]
Rys. 5. Mapa odchyáek geometrycznych powierzchni
Fig. 5. Map of geometric deviations
3. METODY BADAē PRZESTRZENNEJ AUTOKORELACJI DANYCH
Przestrzenna autokorelacja danych odnosi siĊ do systematycznych zmian
przestrzennych. W ujĊciu ogólnym dodatnia autokorelacja oznacza, Īe obserwowane wartoĞci cech w wybranym regionie są podobniejsze do cech regionów
sąsiednich, niĪ wynikaáoby to z losowego rozmieszczenia tych wartoĞci. Ujemna
autokorelacja przestrzenna wartoĞci w regionach sąsiednich oznacza, Īe są one
róĪne bardziej, niĪ wynikaáoby to z ich rozáoĪenia losowego. Brak autokorelacji
przestrzennej oznacza przestrzenną losowoĞü. WartoĞci obserwowane w danym
obszarze nie zaleĪą od wartoĞci obserwowanych w obszarach sąsiednich, a obserwowany wzorzec przestrzenny jest tak samo prawdopodobny jak kaĪdy inny
wzorzec przestrzenny.
Do testowania istnienia zaleĪnoĞci przestrzennej wykorzystuje siĊ statystyki
globalne i lokalne Morana i Geary’ego dla danej zmiennej. ZasiĊg efektów przestrzennych moĪe byü badany przez analizĊ opóĨnienia w procesie przestrzennym, a struktura zaleĪnoĞci przestrzennej przez testowanie i wybór macierzy
wag, definiowanych wedáug róĪnych kryteriów [1, 2].
Z danych literaturowych wynika, Īe czĊĞciej wykorzystuje siĊ statystykĊ I
Morana, która moĪe byü stosowana do analizy danych przestrzennych zarówno
Metody analizy danych przestrzennych w badaniach odchyáek geometrycznych...
69
o rozkáadach normalnych, jak i nieokreĞlonych rozkáadach prawdopodobieĔstwa
[1, 2].
Adaptując metody statystyki przestrzennej stosowane w badaniach przestrzennej autokorelacji do badaĔ odchyáek geometrycznych, naleĪy wyznaczyü:
– Hi – odchyáki geometryczne w kaĪdym punkcie pomiarowym,
– H – Ğrednią arytmetyczną odchyáek geometrycznych w n punktach pomiarowych,
– wij – wspóáczynniki wag, elementy macierzy wag bĊdące miarą przestrzennej relacji miĊdzy Hi i Hj.
Macierz wag przestrzennych definiuje strukturĊ przestrzennego sąsiedztwa.
Pozwala mierzyü przestrzenne powiązania, jest konstruowana w celu specyfikacji przestrzennej zaleĪnoĞci. Przyjmuje siĊ jedną z moĪliwych struktur zaleĪnoĞci, np. sąsiedztwo wedáug wspólnej granicy, sąsiedztwo w przyjĊtym promieniu
czy odwrotnoĞci odlegáoĞci. Do badaĔ odchyáek geometrycznych najbardziej
odpowiednie jest uzaleĪnienie przestrzennej relacji od odlegáoĞci miĊdzy punktami pomiarowymi, a w szczególnoĞci od odwrotnoĞci odlegáoĞci.
W wyniku skanowania otrzymujemy wspóárzĊdne (oraz odchyáki geometryczne) punktów rozmieszczonych na powierzchni wedáug regularnej siatki.
OdlegáoĞü miĊdzy punktami i i j, zgodnie z miarą euklidesową, opisuje wzór:
d ij
>x x y y @ ,
2
i
j
i
j
1
2 2
(1)
gdzie: xi, yi – wspóárzĊdne punktu i,
xj, yj – wspóárzĊdne punktu j,
dij – odlegáoĞü miĊdzy punktami pomiarowymi i i j.
JeĞli przyjmiemy, Īe zaleĪnoĞü miĊdzy wartoĞciami odchyáek w punktach i i j
maleje ze wzrostem odlegáoĞci, relacjĊ tĊ moĪemy wyraziü nastĊpująco:
k
wij
d ij ,
(2)
gdzie: wij = 0 dla i = j,
k – staáa (k • 1).
Wspóáczynnik przestrzennej autokorelacji ma postaü:
¦¦ wij H i H H j H n
I
n
S0
n
i 1 j 1
¦ H i H n
2
i 1
gdzie
¦¦ wij i z j .
n
S0
n
i 1 j 1
,
(3)
M. Poniatowska
70
Statystyka I Morana ma rozkáad asymptotycznie normalny (dla n ĺ ’).
W dalszej kolejnoĞci, po wyznaczeniu wspóáczynnika I, naleĪy zweryfikowaü
hipotezĊ zerową o braku przestrzennej autokorelacji na zaáoĪonym poziomie
ufnoĞci [5]. Momenty rozkáadu moĪna wyznaczyü przy zaáoĪeniu, Īe odchyáki
pochodzą z populacji o rozkáadzie normalnym oraz z populacji o nieokreĞlonym
(randomizowanym) rozkáadzie prawdopodobieĔstwa.
Przyjmując randomizowany rozkáad prawdopodobieĔstwa dla odchyáek geometrycznych, wartoĞü oczekiwaną E(I) i wariancjĊ var(I) oblicza siĊ ze wzorów
[1, 5]:
1
,
n 1
E I >
(4)
var(I )
@ >
@
n n 2 3n 3 S1 nS 2 3S 02 b2 n 2 n S1 2nS 2 6 S02
1
,
2
n 1n 2n 3S0
n 12
(5)
gdzie:
S1
1
2
ij
w ji 3 3n 2 7
,
5 n2 1
b2
¦¦ w
n
n
i 1 j 1
¦ w
n
S2
¦w
i (.)
w(.) j ,
i 1
wi (.)
i z j ,
2
ij
j
, w(.) j
2
¦w
ji
.
i
WartoĞü oczekiwana (4) statystyki I Morana (3) jest bliska 0, co moĪna interpretowaü jako losowoĞü [1, 2, 5].
Weryfikacja hipotezy o braku przestrzennej autokorelacji (losowoĞci) badanej próbki odchyáek geometrycznych przebiega wedáug nastĊpującego planu:
1. Postawienie hipotezy zerowej H0: odchyáki geometryczne nie są przestrzennie skorelowane. Hipoteza alternatywna H1: odchyáki geometryczne są
przestrzennie skorelowane.
2. PrzyjĊcie poziomu istotnoĞci, czyli prawdopodobieĔstwa odrzucenia hipotezy zerowej, gdy jest prawdziwa.
3. Obliczenie statystyki testowej z I p E I / varI , Ip – wspóáczynnik
obliczony z próby, momenty rozkáadu obliczone ze wzorów (4) i (5).
Metody analizy danych przestrzennych w badaniach odchyáek geometrycznych...
71
4. Wyznaczenie granicznej wartoĞci statystyki zg dla przyjĊtego poziomu;
gdy wartoĞü statystyki testowej z < zg, brak jest podstaw do odrzucenia hipotezy
zerowej i przyjmujemy wówczas hipotezĊ zerową; w przeciwnym razie hipotezĊ
alternatywną.
W badaniach odchyáek geometrycznych przyjĊcie hipotezy zerowej oznacza
przestrzenną losowoĞü badanej próby odchyáek.
4. PODSUMOWANIE
Do badaĔ odchyáek geometrycznych powierzchni swobodnych najodpowiedniejsze są metody analizy danych przestrzennych, gdyĪ pozwalają one uzyskaü
informacje o przestrzennej zaleĪnoĞci miĊdzy wartoĞciami odchyáek w poszczególnych punktach pomiarowych. Informacje o dokáadnoĞci wykonania powierzchni są istotne zarówno ze wzglĊdu na wáaĞciwoĞci tej powierzchni, jak
i proces technologiczny. Metody te moĪna wykorzystaü do badaĔ surowych
danych, czyli otrzymanych bezpoĞrednio z pomiarów, jak równieĪ do badaĔ
reszt powierzchniowych modeli regresji w badaniach adekwatnoĞci modeli. Wykrycie dodatniej korelacji przestrzennej dowodzi istnienia systematycznych báĊdów obróbki, charakter báĊdów pozwala na okreĞlenie ich wartoĞci, a nastĊpnie
eliminacjĊ przez usuniĊcie Ĩródeá báĊdów czy korekcjĊ programu obróbkowego.
LITERATURA
[1] Cliff A. D., Ord J. K., Spatial Processes, London, Pion Ltd. 1981.
[2] Kopczewska K., Ekonometria i statystyka przestrzenna, Warszawa, CeDeWu 2007.
[3] Poniatowska M., Characteristics of geometric errors determined using discrete measurement
data, Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji, 2008, vol. 28, no. 2, s. 52 – 58.
[4] Poniatowska M., Determining the uncertainty of fitting discrete measurement data to
a nominal surface, Metrology and Measurement Systems, 2008, vol. 15, no. 4, s. 595 – 605.
[5] Upton G. J. G., Fingleton B., Spatial Data Analysis by Example, vol. 1, New York, Wiley
1985.
[6] Werner A., Poniatowska M., Determining errors in complex surfaces machining with the
use of CNC machine tools, Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji, 2006, vol. 26,
no. 2, s. 211 – 217.
Praca wpáynĊáa do Redakcji 2.03.2009
Recenzent: prof. dr inĪ. Eugeniusz Ratajczyk
72
M. Poniatowska
METHODS OF SPATIAL DATA ANALYSIS
IN RESEARCH ON GEOMETRIC DEVIATIONS DETERMINED
IN COORDINATE MEASUREMENTS OF FREEFORM SURFACES
Summary
Coordinate measurements are the source of digital data in the form of coordinates of the measurement points of a discrete distribution on the measured surface. The geometric deviations of
freeform surfaces are determined at each point as normal deviations of these points from the nominal surface (the CAD model). Different sources of errors in the production process result in
deviations of different character, deterministic and random. The contribution of random phenomena on the surface depends on the type of processing. The article suggests applying the methods of
analysis of spatial data in research on the geometric deviations randomness of freeform surfaces,
consisting in testing their spatial autocorrelation.
Key words: coordinate measurements, freeform surface, geometric deviations, spatial autocorrelation