10. Pojęcie granicy funkcji rzeczywistej w punkcie, określenie funkcji

10. Pojęcie granicy funkcji rzeczywistej w punkcie, określenie funkcji
ciągłej w punkcie i w zbiorze, własności funkcji ciągłych. Pojęcie
jednostajnej ciągłości funkcji.
Definicja. (Cauchy’ego funkcji ciągłej w punkcie)
Niech f : X → IR, gdzie X ⊂ IR oraz x0 ∈X.
Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0, gdy:
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈X (|x − x0| < δ ⇒|f(x) − f(x0)| < ε).
Mówimy, że funkcja f jest ciągła, gdy jest ciągła w każdym punkcie zbioru X
Twierdzenie. (warunek Heinego ciągłości funkcji w punkcie).
Niech f : X → IR, gdzie X ⊂ IR, oraz niech x0 ∈ X. Następujące warunki są równoważne:
(1) funkcja f jest ciągła w punkcie x0
(2) dla każdego ciągu ( xn)∞n=1 ⊂ X, jeśli lim n→∞xn = x0 to lim n→∞f(xn) = f(x0)
Ciągłe są wszystkie funkcje elementarne, np. logarytmiczne, wykładnicze, wielomiany,
funkcje potęgowe, trygonometryczne, itd.
Przykłady:
y=2x+3
y=1/x
1/2x+3, x<0
f(x)={
1/2x-1, x≥0
Heinego:
Couch’ego:
Twierdzenie (związek ciągłości z granicą).
Niech f : X → IR, gdzie X ⊂ IR, oraz niech x0 ∈ X:
(a) Jeśli x0 jest punktem izolowanym zbioru X, to f jest funkcją ciągłą w punkcie x0
(b) Jeśli x0 jest punktem skupienia zbioru X, to funkcja f jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko
wtedy gdy limx→x0f(x) = f(x0)
Wniosek (działania na funkcjach ciągłych).
Niech f, g : X → IR, X ⊂ IR, oraz x0 ∈ X.
(a) Jeśli f i g są funkcjami ciągłymi w punkcie x0, to f + g, f − g, f*g oraz / przy dodatkowym
założeniu g(x) ≠ 0 dla x ∈ X, są funkcjami ciągłymi w punkcie x0 .
(b) Jeśli f i g są funkcjami ciągłymi, to f + g, f − g, f*g oraz f/ g przy dodatkowym założeniu
g(x) ≠ 0 dla x ∈ X, są funkcjami ciąglymi.
Przykład:
Sprawdzimy, czy funkcja
3,
x≥1
f(x)={
x,
x<1
jest ciągła w punkcie x0=1
W tym celu obliczamy granicę prawostronną:
limx->1+ f(x)= limx->1+ 3=3 ,
a następnie lewostronną:
limx->1- f(x)= limx->1- x =1
Ponieważ w punkcie x0=1 granice prawostronna i lewostronna nie są sobie równe, to nie istnieje
granica w tym punkcie, a funkcja nie jest ciągła w tym punkcie.
Wniosek. (o złożeniu funkcji ciągłych).
Niech f = g ◦ h : X → IR, gdzie h : X → IR, g : Y → IR, X, Y ⊂ IR oraz h(X) ⊂ Y . Niech x0 ∈ X
(a) Jeśli h jest funkcją ciągłą w punkcie x0, , funkcja g jest zaś ciągła w punkcie y0 = h(x0) , to
funkcja f jest ciągła w punkcie x0.
(b) Jeśli h i g są funkcjami ciągłymi, to f jest funkcją ciągłą.
Wniosek (o granicy złożenia funkcji)
Niech f = g ◦ h : X → IR, gdzie h : X → IR, g : Y → IR, X, Y ⊂ IR oraz h(X) ⊂ Y . Niech x0 ∈ IR
będzie, punktem skupienia zbioru X. Jeśli g jest funkcją ciągłą w punkcie y0 ∈ Y oraz
lim x→x 0h(x) = y0, to lim x→x 0f(x) = g(y0)
Definicja. (funkcji jednostajnie ciągłej)
Mówimy, że funkcja f : X → IR, gdzie X ⊂IR jest jednostajnie ciągła, ∀ε>0 ∃δ>0 , że dla
dowolnych x1,x2 X takich, że x1,x2 < δ zachodzi f (x1)-f (x2 )< ε.
Własność.
Każda funkcja jednostajnie ciągła jest ciągła.
Twierdzenie. (o funkcji ciągłej na zbiorze zwartym)
Jeśli funkcja f : X IR, gdzie X⊂ IR jest ciągła i X jest zbiorem zwartym, to funkcja f jest
jednostajnie ciągła.
Wniosek.
Jeśli f :[a,+∞) →IR jest funkcją ciągłą posiadającą skończoną granice w +∞,to f jest funkcją
jednostajnie ciągłą.
Uwaga.
A) Jeśli f : (-∞,a] →IR jest funkcją ciągłą posiadającą skończoną granice w -∞, to f jest
funkcją jednostajnie ciągłą.
B) Jeśli f : IR→ IR jest funkcją ciągłą posiadającą skończone granice w -∞,+∞ , to f jest funkcją
jednostajnie ciągłą.
Twierdzenie Weierstrassa (o osiąganiu kresów) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale
domkniętym <a, b>, to jest w nim ograniczona oraz istnieją takie punkty c1, c2 należące do
tego przedziału, dla których f(c1)=inf<a,b>f(x)
f(c2)=sup<a,b>f(x).
Innymi słowy:
Jeśli AcR jest zbiorem zwartym oraz f:A->R jest funkcją ciągłą, to funkcja osiąga swoje
kresy, tzn.
∀x1,x2 єA ∃xєA : f(x1)≤f(x)≤f(x2).
Twierdzenie Darboux (O przyjmowaniu wartości pośrednich) Jeżeli funkcja f jest
ciągła w przedziale domkniętym <a, b> oraz:
 f(a) < f(b),

p ∈ (f(a), f(b)),
to istnieje taki punkt x0 ∈ (a, b) dla którego f(x0) = p
Lemat.
Jeśli P jest przedziałem oraz f : P→IR jest funkcją ciągłą, to zbiór wartości f(P) jest
zbiorem jednoelementowym lub przedziałem.
Twierdzenie. (Własność Darboux)
Niech X⊂IR oraz f : P→IR będzie funkcją ciągłą. Jeśli Y ⊂X i Y jest zbiorem spójnym, to obraz f(Y)
jest zbiorem spójnym.
Wniosek. Własność Darboux
Niech P będzie przedziałem oraz f : P→IR funkcją ciągłą. Niech a,bP , a<b oraz cIR.
a) Jeśli f (a) <c <f (b) , to istnieje xP taki, że a <x <b oraz f (x) =c .
b) Jeśli f (b) <c <f (a) , to istnieje xP taki, że a <x <b oraz f (x) =c .
Wniosek.
Jeśli f :[a,b] →IR jest funkcją ciągłą taką, że f (a) < 0 <f (b) lub f (b) < 0 <f (a) ,
to istnieje x0 (a,b) , że f (x0 ) = 0 .