wyklad_8

WYKŁAD VIII
Funkcja charakterystyczna
Funkcją charakterystyczną zmiennej losowej
(rzeczywistej) 𝑋: Ω → 𝑅 nazywamy funkcję
𝜑𝑋 𝑡 = 𝐸𝑒 𝑖𝑡𝑋 =
𝑅
𝑒 𝑖𝑡𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑘
𝑒 𝑖𝑡𝑥𝑘 𝑝𝑘
Obliczanie funkcji charakterystycznej
Zadanie. Obliczyć funkcję charakterystyczną
zmiennej losowej X o rozkładzie
𝒙𝒊
-3
-2
-1
0
1
2
𝒑𝒊
0,2
0,1
0,3
0,1
0,1
0,2
Własności funkcji charakterystycznych
1. 𝜑 0 = 1
2. 𝜑: 𝑅 → 𝐶 jest funkcją jednostajnie ciągłą w
całym zbiorze liczb rzeczywistych
3. 𝜑 jest funkcją dodatnio określoną, tzn.
𝑛
𝑛
𝜑 𝑡𝑘 − 𝑡𝑗 𝑧𝑘 𝑧𝑗 ≥ 0
𝑛≥1
𝑘=1 𝑗=1
𝑡1 ,𝑡2 ,…,𝑡𝑛 ∈𝑅
𝑧1 ,𝑧2 ,…,𝑧𝑛 ∈𝐶
Twierdzenie Bochnera
Powyższy trzy własności wyróżniają wszystkie
funkcje charakterystyczne.
Twierdzenie Bochnera
Jeśli funkcja 𝜑: 𝑅 → 𝐶 spełnia własności 1-3, to
jest ona funkcją charakterystyczną pewnej
zmiennej losowej.
Własności funkcji charakterystycznych
c.d.
4. 𝜑 𝑡 ≤ 1
5. 𝜑 −𝑡 = 𝜑 𝑡
6. 𝜑𝑎𝑋+𝑏 𝑡 = 𝑒 𝑖𝑡𝑏 𝜑𝑋 𝑎𝑡
7. Jeśli zmienne losowe X, Y są niezależne, to
𝜑𝑋+𝑌 𝑡 = 𝜑𝑋 𝑡 𝜑𝑌 𝑡
8. Jeżeli zmienna losowa X ma skończone momenty
rzędu n, to funkcja charakterystyczna ma ciągłe
pochodne do rzędu n oraz
𝜑 𝑘 0 = 𝑖 𝑘 𝐸𝑋 𝑘
Wzór na odwrócenie
Twierdzenie Levy’ego
Niech 𝐹: 𝑅 → 0,1 będzie dowolną
dystrybuantą jednowymiarową i niech 𝜑: 𝑅 → 𝐶
będzie funkcją charakterystyczną odpowiadającą
dystrybuancie F. Wtedy dla dowolnych punktów
ciągłości x<y dystrybuanty F mamy
𝑇 −𝑖𝑡𝑥
𝑒
− 𝑒 −𝑖𝑡𝑦
𝐹 𝑦 − 𝐹 𝑥 = lim
𝜑 𝑡 𝑑𝑡
𝑇→∞ −𝑇
𝑖𝑡
Przykłady na odwracanie
Sprawdzić, czy podane funkcje są funkcjami
charakterystycznymi, a jeśli tak to wyznaczyć
rozkłady zmiennych losowych.
1. 𝜑 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑡
2. 𝜑 𝑡 =
1+𝑒 2𝑖𝑡 +𝑒 3𝑖𝑡 +2𝑒 −5𝑖𝑡
5