JESZCZE RAZ O PEWNYM ZADANIU

NAUCZANIE MATEMATYKI
Marian Maciocha
JESZCZE RAZ
O PEWNYM ZADANIU
W artykule Uczyć algorytmów czy myślenia w 44. numerze
„Matematyki w Szkole” Janusz Karkut podał przykład takiego
zadania:
„Pole trójkąta jest równe 300 cm2 , a wysokości są równe: 6 cm,
8 cm, 12 cm. Oblicz obwód tego trójkąta”.
Autor zwraca uwagę na to, że po rozwiązaniu tego zadania
otrzymamy takie długości boków, z których nie zbudujemy
trójkąta o podanych wysokościach. Zastanówmy się, gdzie
tkwi błąd . . .
Wysokości trójkąta oznaczmy ha = 6 cm, hb = 8 cm, hc = 12 cm,
a pole trójkąta – S. Na początku sprawdźmy, czy są spełnione
nierówności trójkąta. Ze wzorów na pole trójkąta: S = 12 aha ,
S = 12 bhb , S = 12 chc możemy wyznaczyć długości boków trój, b = 2S
, c = 2S
. Dla podanych wysokości nierówkąta a = 2S
ha
hb
hc
ności trójkąta są spełnione. Zatem możemy przypuszczać, że
błędnie zostało podane pole trójkąta. Dlaczego? Dla danych
długości boków trójkąta a, b, c jego pole jest określone jednoznacznie. Możemy je obliczyć, korzystając na przykład ze
wzoru Herona: S = p (p − a) (p − b) (p − c), gdzie p to połowa
obwodu trójkąta.
Podstawiając do powyższego wzoru długości boków trójkąta (wyznaczone wcześniej) i odpowiednio go przekształcając,
otrzymujemy:
1
S
=
1
ha
+
1
hb
+
1
hc
1
hb
+
1
hc
−
1
ha
1
ha
+
1
hc
−
1
hb
1
ha
+
1
hb
−
1
hc
√
Pole trójkąta z zadania powinno wynosić 64 5 15 cm2 .
Powyższe rozumowanie możemy także zastosować przy tworzeniu różnych wersji cytowanego zadania, na przykład przygotowując sprawdzian. Ambitniejszym uczniom można zaproponować obliczanie pól trójkątów, gdy podane są ich
wysokości.
MAGENTA BLACK
(ms46) str. 37
37