Streszczenie Tematem pracy jest utrzymywanie skojarze´n online w

Streszczenie
Tematem pracy jest utrzymywanie skojarzeń online w grafach dwudzielnych za pomoca˛ ścieżek powiekszaj
˛
acych.
˛
W rozważanym problemie
algorytm otrzymuje na wejściu graf dwudzielny G = �U � V, E�, w ten
sposób, że zbiór wierzchołków U jest znany od poczatku
˛
działania algorytmu, podczas gdy wierzchołki z V sa˛ odkrywane pojedynczo, każdy ze
wszystkimi incydentnymi do niego kraw˛edziami. Celem jest utrzymywanie najliczniejszego skojarzenia w ujawnionym grafie. Decyzje algorytmu
nie sa˛ nieodwołalne, niemniej jednak, na ile to możliwe, da˛ży sie˛ do zminimalizowania ilości zmian. W pracy tej analizowane sa˛ dwie zachłanne
strategie, obydwie oparte o klasyczna˛ technike˛ ścieżek powiekszaj
˛
acych.
˛
Pierwsze podejście opiera sie˛ na algorytmie, który w każdej turze aktualizuje bieżace
˛ skojarzenie używajac
˛ najkrótszej z dostepnych
˛
ścieżek
powiekszaj
˛
acych.
˛
Według hipotezy, suma długości wszystkich takich ście�
�
żek jest ograniczona przez O n log n . Tymczasem, nawet dla drzew nie
� �
znamy żadnego ograniczenia lepszego niż O n2 . Niniejsza praca przedstawia dowód, że jeżeli graf G jest drzewem, to całkowita ich długość nie
�
�
przekracza O n log2 n .
Dla przypadku ogólnych grafów dwudzielnych rozważana jest strategia, która zlicza ile razy każdy wierzchołek był używany przez dotychczasowe ścieżki powiekszaj
˛
ace
˛ i stara sie˛ zachłannie zminimalizować maksimum. Zaproponowane podejście owocuje nowym algorytmem, w którym
każdy wierzchołek z U jest użyty przez ścieżki powiekszaj
˛
ace
˛ co najwy� 1/2 �
razy, a całkowita suma długości tych ścieżek jest ograniczona
żej O n
� 3/2 �
przez O n . Ponadto, w pracy zaprezentowany jest efektywny sposób
ich obliczania, który pozwala na uzyskanie procedury utrzymujacej
˛ naj�
�
1/2
liczniejsze skojarzenie w całkowitym czasie O m · n
oraz algorytmu
�
�
(1 − ε)-aproksymacyjnego działajacego
˛
w czasie O m · ε−1 . Wyniki te
zostaja˛ rozszerzone do przypadku dekrementalnego i algorytmu pseudowielomianowego dla grafów ważonych. Na koniec podane sa˛ przykłady,
które pokazuja,
˛ że zastosowana analiza czasowa jest ścisła.
Słowa kluczowe: skojarzenia online, skojarzenia dwudzielne, skojarzenia aprok˛ dynamiczne algorytmy grafowe.
symowane, najkrótsze ścieżki powi˛ekszajace,
Klasyfikacja AMS: 05C70, 05C85, 68Q25, 68W25, 68W27, 68W40.
ii