przewodnik po przedmiocie

Zał. nr 4 do ZW
WYDZIAŁ ******
KARTA PRZEDMIOTU
Nazwa w języku polskim RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE I FUNKCJE ZESPOLONE
Nazwa w języku angielskim Differential equations and complex functions
Kierunek studiów (jeśli dotyczy):
Specjalność (jeśli dotyczy):
Stopień studiów i forma: I stopień*, stacjonarna / niestacjonarna*
Rodzaj przedmiotu:
obowiązkowy / wybieralny / ogólnouczelniany *
Kod przedmiotu
MAP1073
Grupa kursów
TAK / NIE*
Liczba godzin zajęć
zorganizowanych w Uczelni
(ZZU)
Liczba godzin całkowitego
nakładu pracy studenta
(CNPS)
Forma zaliczenia
Wykład
30
Ćwiczenia
15
60
30
Zaliczenie
na ocenę
Zaliczenie
na ocenę
2
0
1
1
1
0,5
Laboratorium Projekt
Seminarium
Dla grupy kursów zaznaczyć
kurs końcowy (X)
Liczba punktów ECTS
w tym liczba punktów
odpowiadająca zajęciom
o charakterze praktycznym (P)
w tym liczba punktów ECTS
odpowiadająca zajęciom
wymagającym bezpośredniego
kontaktu (BK)
WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH
KOMPETENCJI
1. Zna rachunek różniczkowy funkcji jednej i wielu zmiennych.
2. Zna i umie stosować całkę nieoznaczoną i oznaczoną funkcji jednej zmiennej.
3. Rozumie podstawowe pojęcia dotyczące szeregu liczbowego i potęgowego oraz umie
badać zbieżność szeregów.
4. Potrafi posługiwać się w obliczeniach liczbami zespolonymi.
5. Zna podstawowe pojęcia algebry liniowej.
CELE PRZEDMIOTU
C1 Opanowanie umiejętności rozwiązywania podstawowych typów równań różniczkowych
zwyczajnych rzędu pierwszego i wyższych.
C2. Poznanie podstawowych metod rozwiązywania układów równań różniczkowych liniowych oraz
elementów teorii stabilności.
C3. Opanowanie umiejętności stosowania znanych praw fizyki do układania równań różniczkowych
będących modelami matematycznymi dla rozmaitych zagadnień nauki i techniki.
C4. Zdobycie podstawowej wiedzy dotyczącej funkcji zespolonych, w szczególności poznanie
własności najważniejszych funkcji elementarnych oraz pojęcia funkcji holomorficznej.
1
C5. Poznanie podstawowych własności i metod obliczania całek krzywoliniowych zespolonych.
C6. Poznanie podstawowych własności przekształcenia Laplace'a i opanowanie umiejętności jego
stosowania do rozwiązywania równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach oraz
układów takich równań.
C7. Zdobycie podstawowej wiedzy o szeregach zespolonych liczbowych i potęgowych
C8. Opanowanie podstawowej wiedzy dotyczącej punktów osobliwych i residuów oraz opanowanie
umiejętności stosowania residuów do obliczania całek i znajdywania oryginału transformaty
Laplace'a.
*niepotrzebne skreślić
PRZEDMIOTOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA
Z zakresu wiedzy student:
PEK_W01 zna podstawowe typy równań różniczkowych zwyczajnych i metody ich
rozwiązywania
PEK_W02 ma podstawową wiedzę na temat układów równań różniczkowych zwyczajnych,
metod rozwiązywania układów równań liniowych oraz badania punktów równowagi
PEK_W03 zna własności najważniejszych funkcji zmiennej zespolonej oraz pojęcie funkcji
holomorficznej
PEK_W04 zna własności całki krzywoliniowej zespolonej i sposoby jej obliczania
PEK_W05 ma podstawową wiedzę o zespolonych szeregach liczbowych i potęgowych
PEK_W06 ma podstawową wiedzę o residuach i ich zastosowaniach
PEK_W07 zna podstawowe własności przekształcenia Laplace'a i rozumie ideę rachunku
operatorowego
Z zakresu umiejętności student:
PEK_U01 potrafi rozwiązywać podstawowe typy równań różniczkowych zwyczajnych rzędu
pierwszego i wyższych
PEK_U02 potrafi rozwiązywać układy równań różniczkowych liniowych o stałych
współczynnikach oraz badać stabilność punktów równowagi układów autonomicznych
PEK_U03 umie układać równania różniczkowe na podstawie praw fizyki oraz rozwiązywać
zagadnienia praktyczne i techniczne
PEK_U04 potrafi wykonywać obliczenia z zastosowaniem funkcji zespolonych i obliczać
całki zespolone
PEK_U05 potrafi rozwinąć funkcję zespoloną w szereg potęgowy i posłużyć się nim w
obliczeniach
PEK_U06 potrafi wyznaczać residua i umie je stosować
PEK_U07 umie stosować rachunek operatorowy do rozwiązywania równań różniczkowych
liniowych o stałych współczynnikach
Z zakresu kompetencji społecznych student:
PEK_K01 potrafi wyszukiwać i korzystać z literatury zalecanej do kursu oraz samodzielnie
zdobywać wiedzę
PEK_K02 rozumie konieczność systematycznej i samodzielnej pracy nad opanowaniem
materiału kursu
TREŚCI PROGRAMOWE
Forma zajęć - wykłady
Wy1 Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego. Przykłady i
pojęcia wstępne. Interpretacja geometryczna równania. Równania o
Liczba godzin
2
2
Wy2
Wy3
Wy4
Wy5
Wy6
Wy7
Wy8
Wy9
Wy10
Wy11
Wy12
Wy13
Wy14
Wy15
zmiennych rozdzielonych. Równania jednorodne.
Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu.
Równanie Bernoulliego. Przykłady zagadnień prowadzących do
równań różniczkowych zwyczajnych rzędu pierwszego.
Równanie różniczkowe zwyczajne n-tego rzędu. Pojęcia wstępne.
Równanie liniowe n-tego rzędu. Obniżanie rzędu równania.
Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe n-tego rzędu
niejednorodne. Metoda uzmienniania stałych. Równanie liniowe ntego rzędu o stałych współczynnikach.
Metoda współczynników nieoznaczonych. Przykłady zagadnień
prowadzących do równań różniczkowych liniowych drugiego rzędu.
Układ równań różniczkowych zwyczajnych. Pojęcia wstępne. Układ
jednorodny równań liniowych. Układ równań liniowych o stałych
współczynnikach (jednokrotne wartości własne).
Metoda uzmienniania stałych dla niejednorodnego układu równań
liniowych. Elementy teorii stabilności. Informacja o metodzie
linearyzacji.
Funkcje zmiennej zespolonej: dziedzina, część rzeczywista i urojona.
Funkcje elementarne: wielomian, funkcja wymierna, funkcje
trygonometryczne, funkcja wykładnicza, funkcja logarytmiczna.
Podstawowe własności tych funkcji. Płaszczyzna zespolona
domknięta.
Odwzorowania zbiorów na płaszczyźnie zespolonej za pomocą funkcji
zespolonych. Pochodna funkcji zmiennej zespolonej. Równania
Cauchy\'ego-Riemanna. Warunek konieczny i warunek wystarczający
istnienia pochodnej zespolonej. Pochodne funkcji elementarnych.
Pojęcie funkcji holomorficznej.
Krzywa na płaszczyźnie zespolonej. Łuk zwykły, łuk gładki, krzywa
Jordana. Równania ważniejszych krzywych. Całka funkcji zespolonej
zmiennej rzeczywistej. Całka krzywoliniowa funkcji zmiennej
zespolonej. Twierdzenie o funkcji pierwotnej.
Twierdzenie całkowe Cauchy\'ego i jego uogólnienia. Wzór całkowy
Cauchy\'ego i jego uogólnienia. Zastosowanie do obliczania całek.
Przekształcenie Laplace\'a i przekształcenie odwrotne: definicje,
obszar zbieżności całki Laplace\'a. Przykłady obliczania transformat
Laplace\'a prostych funkcji. Własności przekształcenia Laplace\'a.
Holomorficzność transformaty.
Idea rachunku operatorowego. Obliczanie transformaty odwrotnej
metodą rozkładu na ułamki proste. Przykłady zastosowania
przekształcenia Laplace\'a. Transmitancja. Splot funkcji. Twierdzenie
Borela.
Szeregi o wyrazach zespolonych. Szeregi potęgowe. Szereg Taylora.
Twierdzenie o rozwijalności funkcji holomorficznej w szereg
potęgowy.
Punkty zerowe funkcji holomorficznej. Residuum funkcji. Twierdzenie
całkowe o residuach.
Suma godzin
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
30
3
Forma zajęć - ćwiczenia
Ćw1
Ćw2
Ćw3
Ćw4
Ćw5
Ćw6
Ćw7
Liczba godzin
Rozwiązywanie podstawowych typów równań różniczkowych
zwyczajnych rzędu pierwszego oraz zagadnień początkowych.
Rozwiązywanie zagadnień prowadzących do równań różniczkowych
zwyczajnych rzędu pierwszego i nabywanie umiejętności układania
takich równań na podstawie praw fizyki.
Rozwiązywanie równań liniowych jednorodnych wyższych rzędów o
stałych współczynnikach. Stosowanie metody obniżania rzędu.
Rozwiązywanie równań liniowych niejednorodnych metodą
uzmienniania stałych oraz współczynników nieoznaczonych.
Rozwiązywanie zagadnień prowadzących do równań różniczkowych
rzędu drugiego.
Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą podstawienia.
Rozwiązywanie układów równań liniowych o stałych
współczynnikach metodą Eulera. Rozwiązywanie układów liniowych
niejednorodnych metodą uzmienniania stałych.
Obliczenia z zastosowaniem funkcji zespolonych. Stosowanie
równań Cauchy'ego-Riemanna. Obliczanie całek krzywoliniowych
zespolonych metodą zamiany na całkę zmiennej rzeczywistej oraz z
zastosowaniem wzoru Cauchy'ego.
Wyznaczanie transformaty Laplace'a funkcji oraz znajdywanie
oryginałów. Wyznaczanie transmitancji operatorowej.
Rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych o stałych
współczynnikach oraz układów takich równań metodą operatorową.
Obliczanie residuów w punktach osobliwych funkcji. Obliczanie
całek zespolonych po konturach oraz całek rzeczywistych
niewłaściwych metodą residuów.
Kolokwium.
Suma godzin
3
3
2
2
2
1
2
15
STOSOWANE NARZĘDZIA DYDAKTYCZNE
1. Wykład – metoda tradycyjna
2. Ćwiczenia problemowe i rachunkowe – metoda tradycyjna
3. Konsultacje
4. Praca własna studenta – przygotowanie do ćwiczeń.
OCENA OSIĄGNIĘCIA PRZEDMIOTOWYCH EFEKTÓW KSZTAŁCENIA
Oceny (F – formująca
(w trakcie semestru), P
– podsumowująca (na
koniec semestru)
P-Ćw
P-Wy
Numer efektu
kształcenia
Sposób oceny osiągnięcia efektu kształcenia
PEK_U01-PEK_U07,
PEK_K01,PEK_K02
PEK_W01-PEK_W07,
PEK_K02
Odpowiedzi ustne, kolokwia
Kolokwium zaliczeniowe
4
LITERATURA PODSTAWOWA I UZUPEŁNIAJĄCA
LITERATURA PODSTAWOWA:
[1] M. Gewert, Z. Skoczylas, Równania różniczkowe zwyczajne, Teoria, przykłady,
zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2007.
[2] J. Długosz, Funkcje zespolone, Teoria, przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza GiS,
Wrocław, 2005.
[3] E. Kącki, L. Siewierski, Wybrane działy matematyki wyższej z ćwiczeniami, PWN,
Warszawa 1983.
LITERATURA UZUPEŁNIAJĄCA:
[1] F. Bierski, Funkcje zespolone, Wydawnictwa AGH, Kraków 1999.
[2] M. Tenenbaum, H. Pollard, Ordinary differential equations, Dover Publications, New
York 1985.
[3] W. Żakowski, W. Leksiński, Matematyka, Cz. IV, WNT, Warszawa 2002.
OPIEKUN PRZEDMIOTU (IMIĘ, NAZWISKO, ADRES E-MAIL)
Dr Jolanta Długosz ([email protected])
Komisja programowa Instytutu Matematyki i Informatyki
5
MACIERZ POWIĄZANIA EFEKTÓW KSZTAŁCENIA DLA PRZEDMIOTU
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE I FUNKCJE ZESPOLONE MAP1073
Z EFEKTAMI KSZTAŁCENIA NA KIERUNKU *****
I SPECJALNOŚCI ……………………………..
Przedmiotowy
efekt
kształcenia
Odniesienie przedmiotowego efektu do
efektów kształcenia zdefiniowanych dla
kierunku studiów i specjalności (o ile
dotyczy)
PEK_W01
(wiedza)
PEK_W02
PEK_W03
PEK_W04
PEK_W05
PEK_W06
PEK_W07
PEK_U01
(umiejętności)
PEK_U02
PEK_U03
PEK_U04
PEK_U05
PEK_U06
PEK_U07
PEK_K01PEK_K02
(kompetencje)
** - z tabeli powyżej
Cele
przedmiotu**
Treści
programowe**
Numer narzędzia
dydaktycznego**
C1,C3
Wy1-Wy5
1,3,4
C2,C3
C4
C5
C7
C8
C6
C1,C3
Wy6,Wy7
Wy8,Wy9
Wy10,Wy11
Wy14
Wy15
Wy12,Wy13
Ćw1,Ćw2
1,3,4
1,3,4
1,3,4
1,3,4
1,3,4
1,3,4
2,3,4
C2,C3
C3
C4,C5
C7
C8
C6
C1-C8
Ćw3
Ćw1-Ćw3
Ćw4
Wy14
Ćw6
Ćw5
Wy1-Wy15,
Ćw1-Ćw7
2,3,4
2,3,4
2,3,4
3,4
2,3,4
2,3,4
1-4