docMiary splątania kwantowego
download 
Reklamacja Transkrypt
Miary splątania kwantowego
Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Miary splątania kwantowego Michał Kotowski [email protected] K MISMaP, Uniwersystet Warszawski Studenckie Koło Fizyki UW (SKFiz UW) 24 kwietnia 2010 Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Spis treści 1 2 3 4 5 6 Wstęp Wstęp Podstawowe pojęcia Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Splątanie a separowalność Rozkład Schmidta Miary splątania Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Desery Bibliografia Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Wstęp Splątanie kwantowe Splątanie kwantowe (quantum entanglement) - najbardziej nieintuicyjne zjawisko kwantowe Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Wstęp Splątanie kwantowe Splątanie kwantowe (quantum entanglement) - najbardziej nieintuicyjne zjawisko kwantowe występuje w układach wielu (dwóch lub więcej) cząstek Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Wstęp Splątanie kwantowe Splątanie kwantowe (quantum entanglement) - najbardziej nieintuicyjne zjawisko kwantowe występuje w układach wielu (dwóch lub więcej) cząstek istnienie nielokalnych kwantowych korelacji miedzy podukładami (silniejszych niż jakiekolwiek korelacje klasyczne) Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Wstęp Splątanie kwantowe Splątanie kwantowe (quantum entanglement) - najbardziej nieintuicyjne zjawisko kwantowe występuje w układach wielu (dwóch lub więcej) cząstek istnienie nielokalnych kwantowych korelacji miedzy podukładami (silniejszych niż jakiekolwiek korelacje klasyczne) lata 30.: paradoks Einsteina-Podolsky’ego-Rosena, spooky action at a distance Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Wstęp Splątanie kwantowe ”odkryte” na nowo po kilkudziesięciu latach w kontekście kwantowej teorii informacji Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Wstęp Splątanie kwantowe ”odkryte” na nowo po kilkudziesięciu latach w kontekście kwantowej teorii informacji zastosowania w kryptografii i komunikacji kwantowej, potencjalnie w komputerach kwantowych... Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Wstęp Splątanie kwantowe ”odkryte” na nowo po kilkudziesięciu latach w kontekście kwantowej teorii informacji zastosowania w kryptografii i komunikacji kwantowej, potencjalnie w komputerach kwantowych... splątanie jako nowy ”fizyczny zasób” (wykonuje zadania, zużywa sie, nie można go stworzyć za darmo...) Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Wstęp Splątanie kwantowe ”odkryte” na nowo po kilkudziesięciu latach w kontekście kwantowej teorii informacji zastosowania w kryptografii i komunikacji kwantowej, potencjalnie w komputerach kwantowych... splątanie jako nowy ”fizyczny zasób” (wykonuje zadania, zużywa sie, nie można go stworzyć za darmo...) źródło nowych problemów matematycznych Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Wstęp Paradoks EPR Alicja i Bob mają parę cząstek w stanie: 1 |ψi = √ (|↑↓i − |↓↑i) 2 Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Wstęp Paradoks EPR Alicja i Bob mają parę cząstek w stanie: 1 |ψi = √ (|↑↓i − |↓↑i) 2 Jeśli Alicja wykona pomiar spinu i dostanie w wyniku spin ↑, to Bob zawsze otrzyma ↓ (i odwrotnie). Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Wstęp Paradoks EPR Alicja i Bob mają parę cząstek w stanie: 1 |ψi = √ (|↑↓i − |↓↑i) 2 Jeśli Alicja wykona pomiar spinu i dostanie w wyniku spin ↑, to Bob zawsze otrzyma ↓ (i odwrotnie). Pomiary spinów są całkowicie antyskorelowane... Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Wstęp Paradoks EPR Alicja i Bob mają parę cząstek w stanie: 1 |ψi = √ (|↑↓i − |↓↑i) 2 Jeśli Alicja wykona pomiar spinu i dostanie w wyniku spin ↑, to Bob zawsze otrzyma ↓ (i odwrotnie). Pomiary spinów są całkowicie antyskorelowane... ... mimo że Alicja i Bob znajdują się na przeciwległych krańach Wszechświata. Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Wstęp Problemy teorii splątania Które stany są splątane, a które nie? Które stany są bardziej splątane od innych (tytułowe ilościowe ”miary” splątania)? Czy mogą istnieć różne rodzaje splątania? Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Stany czyste Stan układu N cząstek opisujemy przez wektor z przestrzeni Hilberta |ψi ∈ H1 ⊗ . . . ⊗ HN (skończenie wymiarowej) (unormowany do 1) W najprostszym przypadku |ψi ∈ H ⊗ H (np. dwie cząstki o spinie 1/2) Każdy stan w ustalonej bazie możemy zapisać jako P |ψi = aijk... |ijk . . .i i,j,k... |ψi hψ| - operator rzutowy na stan |ψi Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Stany mieszane Macierz gęstości ρ ∈ B(H1 ⊗ . . . ⊗ HN ) opisuje mieszaninę statystyczną różnych stanów czystych: ρ = ρ† , ρ0 Tr ρ = 1 Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Stany mieszane Macierz gęstości ρ ∈ B(H1 ⊗ . . . ⊗ HN ) opisuje mieszaninę statystyczną różnych stanów czystych: ρ = ρ† , ρ0 Tr ρ = 1 Każda macierz gęstości jest kombinacją wypukłą stanów czystych: ρ= k X pi |ψi i hψi | i=1 k X pi = 1, |ψi i ∈ H1 ⊗ . . . ⊗ HN i=1 Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Stany mieszane Stanom czystym odpowiadają operatory rzutowe ρψ = |ψi hψ| Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Stany mieszane Stanom czystym odpowiadają operatory rzutowe ρψ = |ψi hψ| W ogólnosci macierz gęstości nie jest rzutem na żaden stan czysty Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Stany mieszane Stanom czystym odpowiadają operatory rzutowe ρψ = |ψi hψ| W ogólnosci macierz gęstości nie jest rzutem na żaden stan czysty Przykłady: ρ = p |0i h0| + (1 − p) |1i h1| (mieszanina stanów |0i i |1i) ρ= N 1 X |ii hi| N i=1 (stan maksymalnie mieszany) Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Definicja splątania - stany czyste Stan |ψi ∈ HA ⊗ HB nazywamy separowalnym, jeśli da się zapisać jako |ψi = |ψA i ⊗ |ψB i Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Definicja splątania - stany czyste Stan |ψi ∈ HA ⊗ HB nazywamy separowalnym, jeśli da się zapisać jako |ψi = |ψA i ⊗ |ψB i Stan jest splątany, jesli nie jest separowalny Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Definicja splątania - stany czyste Stan |ψi ∈ HA ⊗ HB nazywamy separowalnym, jeśli da się zapisać jako |ψi = |ψA i ⊗ |ψB i Stan jest splątany, jesli nie jest separowalny Przykład: stany Bella (pary EPR) 1 |ψi = √ (|00i ± |11i) 2 1 |ψi = √ (|01i ± |10i) 2 Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Definicja splątania - stany czyste Stan |ψi ∈ HA ⊗ HB nazywamy separowalnym, jeśli da się zapisać jako |ψi = |ψA i ⊗ |ψB i Stan jest splątany, jesli nie jest separowalny Przykład: stany Bella (pary EPR) 1 |ψi = √ (|00i ± |11i) 2 1 |ψi = √ (|01i ± |10i) 2 Można je uważać za ”najbardziej splątane” dla układów dwóch cząstek Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Definicja splątania Ogólniej, dla układu N cząstek splątanie oznacza, że: |ψi = 6 |ψ1 i ⊗ . . . ⊗ |ψN i Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Stany czyste i mieszane Matematyczny opis splątania Definicja splątania Ogólniej, dla układu N cząstek splątanie oznacza, że: |ψi = 6 |ψ1 i ⊗ . . . ⊗ |ψN i Jak (prosto) rozpoznać, czy dany stan jest splątany? Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Zaczynamy od układów dwucząstkowych Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Zaczynamy od układów dwucząstkowych Niech |ψi = P tij |ii ⊗ |ji, |ψi ∈ HA ⊗ HB (w ustalonej bazie) i,j Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Zaczynamy od układów dwucząstkowych Niech |ψi = P tij |ii ⊗ |ji, |ψi ∈ HA ⊗ HB (w ustalonej bazie) i,j Można zawsze znaleźć takie bazy w HA i HB , że |ψi ma postać: X |ψi = λk |ki ⊗ |ki k (rozkład osobliwy macierzy {tij }i,j=1,...,N ) Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Liczby (λ1 , λ2 , . . . , λN ) nazywamy wektorem Schmidta Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Liczby (λ1 , λ2 , . . . , λN ) nazywamy wektorem Schmidta Dla stanów separowalnych |ψi = |ψA i ⊗ |ψB i mamy tylko jeden składnik w rozkładzie, czyli: (λ1 , λ2 , . . . , λN ) = (1, 0, . . . , 0) Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Liczby (λ1 , λ2 , . . . , λN ) nazywamy wektorem Schmidta Dla stanów separowalnych |ψi = |ψA i ⊗ |ψB i mamy tylko jeden składnik w rozkładzie, czyli: (λ1 , λ2 , . . . , λN ) = (1, 0, . . . , 0) Więcej niż jedno niezerowe λi oznacza splątanie! Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Liczby (λ1 , λ2 , . . . , λN ) nazywamy wektorem Schmidta Dla stanów separowalnych |ψi = |ψA i ⊗ |ψB i mamy tylko jeden składnik w rozkładzie, czyli: (λ1 , λ2 , . . . , λN ) = (1, 0, . . . , 0) Więcej niż jedno niezerowe λi oznacza splątanie! N P |ii ⊗ |ii Dla stanu maksymalnie splątanego |ψi = √1N i=1 mamy: 1 1 (λ1 , . . . , λN ) = ,..., . N N Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Wektor Schmidta jest niezmienniczy na lokalne unitarne transformacje: U⊗V |ψi −−−→ U ⊗ V |ψi = X λk U |ki ⊗ V |ki k Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Wektor Schmidta jest niezmienniczy na lokalne unitarne transformacje: U⊗V |ψi −−−→ U ⊗ V |ψi = X λk U |ki ⊗ V |ki k Łatwo go obliczyć Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Rozkład Schmidta Rozkład Schmidta Wektor Schmidta jest niezmienniczy na lokalne unitarne transformacje: U⊗V |ψi −−−→ U ⊗ V |ψi = X λk U |ki ⊗ V |ki k Łatwo go obliczyć Nie ma prostego uogólnienia na więcej niż dwa układy Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Miary splątania Które stany są mniej, a które bardziej splątane? Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Miary splątania Które stany są mniej, a które bardziej splątane? Intuicja: stan |ψi = (1 − ) |00i + |11i jest ”prawie” separowalny... Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Miary splątania Które stany są mniej, a które bardziej splątane? Intuicja: stan |ψi = (1 − ) |00i + |11i jest ”prawie” separowalny... W zastosowaniach (teleportacja stanu kwantowego, protokoły kryptograficzne) potrzebne jest możliwie ”czyste” splątanie Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Aksjomaty Czego oczekujemy od dobrej miary splątania E ? Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Aksjomaty Czego oczekujemy od dobrej miary splątania E ? nieujemna, E (|ψi) 0 Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Aksjomaty Czego oczekujemy od dobrej miary splątania E ? nieujemna, E (|ψi) 0 znika dla stanów separowalnych, E (|ψsep i) = 0 Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Aksjomaty Czego oczekujemy od dobrej miary splątania E ? nieujemna, E (|ψi) 0 znika dla stanów separowalnych, E (|ψsep i) = 0 nie wzrasta przy lokalnych operacjach i klasycznej komunikacji, E (Λ(|ψi)) ¬ E (|ψi) Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Lokalne operacje i klasyczna komunikacja (LOCC) Typowy protokół komunikacyjny: Alicja i Bob są w odległych laboratoriach, posiadają po jednej cząstce Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Lokalne operacje i klasyczna komunikacja (LOCC) Typowy protokół komunikacyjny: Alicja i Bob są w odległych laboratoriach, posiadają po jednej cząstce Alicja wykonuje pomiar, przesyła wynik Bobowi (klasycznym kanałem, np. przez telefon) Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Lokalne operacje i klasyczna komunikacja (LOCC) Typowy protokół komunikacyjny: Alicja i Bob są w odległych laboratoriach, posiadają po jednej cząstce Alicja wykonuje pomiar, przesyła wynik Bobowi (klasycznym kanałem, np. przez telefon) w zależności od wyniku Bob wykonuję jakąś operację, np. ewolucję unitarna Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Lokalne operacje i klasyczna komunikacja (LOCC) Typowy protokół komunikacyjny: Alicja i Bob są w odległych laboratoriach, posiadają po jednej cząstce Alicja wykonuje pomiar, przesyła wynik Bobowi (klasycznym kanałem, np. przez telefon) w zależności od wyniku Bob wykonuję jakąś operację, np. ewolucję unitarna Bob wykonuje pomiar, przesyła wynik Alicji Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Lokalne operacje i klasyczna komunikacja (LOCC) Typowy protokół komunikacyjny: Alicja i Bob są w odległych laboratoriach, posiadają po jednej cząstce Alicja wykonuje pomiar, przesyła wynik Bobowi (klasycznym kanałem, np. przez telefon) w zależności od wyniku Bob wykonuję jakąś operację, np. ewolucję unitarna Bob wykonuje pomiar, przesyła wynik Alicji ... Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność LOCC - c. d. Protokół może wytworzyć klasyczne korelacje pomiędzy układami Alicji i Boba Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność LOCC - c. d. Protokół może wytworzyć klasyczne korelacje pomiędzy układami Alicji i Boba Miara splątania powinna mierzyć korelacje niemożliwe do odtworzenia klasycznie... Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność LOCC - c. d. Protokół może wytworzyć klasyczne korelacje pomiędzy układami Alicji i Boba Miara splątania powinna mierzyć korelacje niemożliwe do odtworzenia klasycznie... ... dlatego ma nie wzrastać przy wykonywaniu operacji tylko na jednym podukładzie i przy klasycznej komunikacji (entanglement monotone) Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Częściowy ślad Załóżmy, że mamy układ dwóch cząstek ρ na przestrzeni HA ⊗ HB . Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Częściowy ślad Załóżmy, że mamy układ dwóch cząstek ρ na przestrzeni HA ⊗ HB . Operacja częściowego śladu polega na odrzuceniu drugiego układu (interesuje nas tylko opis stanu pierwszego układu): TrB ρ = X hi| ρ |ii , |ii ∈ HB i Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Częściowy ślad Załóżmy, że mamy układ dwóch cząstek ρ na przestrzeni HA ⊗ HB . Operacja częściowego śladu polega na odrzuceniu drugiego układu (interesuje nas tylko opis stanu pierwszego układu): TrB ρ = X hi| ρ |ii , |ii ∈ HB i Np. ρ = ρA ⊗ E , E - nieznany stan otoczenia (laboratorium, reszty Wszechświata...) Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Częściowy ślad Załóżmy, że mamy układ dwóch cząstek ρ na przestrzeni HA ⊗ HB . Operacja częściowego śladu polega na odrzuceniu drugiego układu (interesuje nas tylko opis stanu pierwszego układu): TrB ρ = X hi| ρ |ii , |ii ∈ HB i Np. ρ = ρA ⊗ E , E - nieznany stan otoczenia (laboratorium, reszty Wszechświata...) Interesuje nas tylko stan ρA , więc ”uśredniamy” po możliwych stanach otoczenia. Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Stany EPR Dla separowalnego stanu ψ = |00i mamy: TrB |ψi hψ| = |0i h0| stan czysty (pełna informacja o stanie) Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Stany EPR Dla separowalnego stanu ψ = |00i mamy: TrB |ψi hψ| = |0i h0| stan czysty (pełna informacja o stanie) Dla stanu EPR |ψi = √1 2 (|00i + |11i) TrB |ψi hψ| = 1 1 |0i h0| + |1i h1| 2 2 stan całkowicie mieszany (pełna losowość, brak informacji o stanie) Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Stany EPR Dla separowalnego stanu ψ = |00i mamy: TrB |ψi hψ| = |0i h0| stan czysty (pełna informacja o stanie) Dla stanu EPR |ψi = √1 2 (|00i + |11i) TrB |ψi hψ| = 1 1 |0i h0| + |1i h1| 2 2 stan całkowicie mieszany (pełna losowość, brak informacji o stanie) Z punktu widzenia Alicji stan jej cząstki jest całkowicie losowy. Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Entropia ”Best possible knowledge of a whole does not include best possible knowledge of its parts — and this is what keeps coming back to haunt us” (Erwin Schrödinger, 1935) . Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Entropia ”Best possible knowledge of a whole does not include best possible knowledge of its parts — and this is what keeps coming back to haunt us” (Erwin Schrödinger, 1935) . Miarą losowości jest entropia Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Entropia von Neumanna Dla dowolnego stanu ρ określamy jego entropię S(ρ) = −Tr(ρ log ρ) Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Entropia von Neumanna Dla dowolnego stanu ρ określamy jego entropię S(ρ) = −Tr(ρ log ρ) Dla stanu |ψi ∈ HA ⊗ HB określamy entropię von Neumanna: S(ψ) = S (TrB |ψi hψ|) Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Entropia von Neumanna Dla dowolnego stanu ρ określamy jego entropię S(ρ) = −Tr(ρ log ρ) Dla stanu |ψi ∈ HA ⊗ HB określamy entropię von Neumanna: S(ψ) = S (TrB |ψi hψ|) Mamy: S(ψ) = − X |λi |2 log |λi |2 i λi - liczby Schmidta Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Entropia von Neumanna Nieujemna Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Entropia von Neumanna Nieujemna Znika dla stanów separowalnych Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Entropia von Neumanna Nieujemna Znika dla stanów separowalnych Maksymalna dla stanów typu EPR Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Entropia von Neumanna Nieujemna Znika dla stanów separowalnych Maksymalna dla stanów typu EPR Jest LOCC-monotoniczna Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Destylowalność Entropia von Neumanna ma wyraźny sens operacyjny Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Destylowalność Entropia von Neumanna ma wyraźny sens operacyjny Wyobraźmy sobie, że mamy m kopii dowolnego stanu |ψi, |ψi ⊗ . . . ⊗ |ψi Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Destylowalność Entropia von Neumanna ma wyraźny sens operacyjny Wyobraźmy sobie, że mamy m kopii dowolnego stanu |ψi, |ψi ⊗ . . . ⊗ |ψi Chcemy za pomocą jakiegoś LOCC-protokołu otrzymać możliwie dużo n stanów |EPRi (destylacja splątania) LOCC |ψi⊗m −−−−→ |EPRi⊗n Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Destylowalność Entropia von Neumanna ma wyraźny sens operacyjny Wyobraźmy sobie, że mamy m kopii dowolnego stanu |ψi, |ψi ⊗ . . . ⊗ |ψi Chcemy za pomocą jakiegoś LOCC-protokołu otrzymać możliwie dużo n stanów |EPRi (destylacja splątania) LOCC |ψi⊗m −−−−→ |EPRi⊗n n m→∞ m Okazuje się, że lim = S(ψ)! Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Aksjomaty miar splątania Entropia von Neumanna i destylowalność Destylowalność Entropia von Neumanna ma wyraźny sens operacyjny Wyobraźmy sobie, że mamy m kopii dowolnego stanu |ψi, |ψi ⊗ . . . ⊗ |ψi Chcemy za pomocą jakiegoś LOCC-protokołu otrzymać możliwie dużo n stanów |EPRi (destylacja splątania) LOCC |ψi⊗m −−−−→ |EPRi⊗n n m→∞ m Okazuje się, że lim = S(ψ)! Stan |EPRi służy tu jako ”jednostka” zasobu, jakim jest splątanie Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Ułlady wielu cząstek Co z układami więcej niż dwóch cząstek (np. H1 ⊗ H2 ⊗ H3 )? Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Ułlady wielu cząstek Co z układami więcej niż dwóch cząstek (np. H1 ⊗ H2 ⊗ H3 )? W przeciwieństwie do układów dwóch cząstek nie ma ”kanonicznego” stanu splątanego: 1 |GHZ i = √ (|000i + |111i) 2 1 |W i = √ (|001i + |010i + |100i) 3 Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Stany GHZ i W Po odrzuceniu którejkolwiek z cząstek (częściowy ślad) stan GHZ staje się separowalny... Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Stany GHZ i W Po odrzuceniu którejkolwiek z cząstek (częściowy ślad) stan GHZ staje się separowalny... ... a stan W pozostaje splątany! Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Stany GHZ i W Po odrzuceniu którejkolwiek z cząstek (częściowy ślad) stan GHZ staje się separowalny... ... a stan W pozostaje splątany! W stanie GHZ cząstki są splątane tylko ”wszystkie naraz”, a w stanie W są splątane ”parami” Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Stany GHZ i W Po odrzuceniu którejkolwiek z cząstek (częściowy ślad) stan GHZ staje się separowalny... ... a stan W pozostaje splątany! W stanie GHZ cząstki są splątane tylko ”wszystkie naraz”, a w stanie W są splątane ”parami” Co z innymi możliwościami? |EPRi ⊗ |EPRi |GHZ i ⊗ |W i + |W i ⊗ |GHZ i ... Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Desery Bibliografia Desery Splątanie stanów mieszanych Teoria odwzorowań dodatnich, kryterium Horodeckich Niezmienniki wielomianowe Uogólnione stany koherentne... ... i wiele innych tematów. Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Desery Bibliografia Bibliografia K.Horodecki, M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki ”Quantum entanglement” (arxiv: quant-ph/0702225) I. Chuang, M. Nielsen ”Quantum Computation and Quantum Information” Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Desery Bibliografia Bibliografia K.Horodecki, M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki ”Quantum entanglement” (arxiv: quant-ph/0702225) I. Chuang, M. Nielsen ”Quantum Computation and Quantum Information” Na deser (niezwiązany z nauką): Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego Wstęp Podstawowe pojęcia Splątanie a separowalność Miary splątania Splątanie wielocząstkowe Zakonczenie vel desery Desery Bibliografia Bibliografia K.Horodecki, M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki ”Quantum entanglement” (arxiv: quant-ph/0702225) I. Chuang, M. Nielsen ”Quantum Computation and Quantum Information” Na deser (niezwiązany z nauką): students.mimuw.edu.pl/~mk249019/konkurs-bosch.html Michał Kotowski [email protected] Miary splątania kwantowego
