Wykład 7 Metryka naturalna i norma w R Niech x, y ∈ R k, tzn. x
Transkrypt
Wykład 7 Metryka naturalna i norma w R Niech x, y ∈ R k, tzn. x
Wykład 7 Metryka naturalna i norma w Rk Niech x, y ∈ Rk , tzn. x = (x1 , x2 , ..., xk ), y = (y1 , y2 , ..., yk ).. Niech v u k uX ρ(x, y) = t (xi − yi )2 . i=1 Funkcja ρ : Rk × Rk → R+ ∪ {0} jest metryką w Rk . Nazywamy ją metryka naturalną w Rk . Ciąg jest zbieżny w Rk z metryką naturalną wtedy i tylko wtedy gdy zbieżne są jego współrzędne. Przestrzeń Rk z metryką naturalną jest przestrzenia metryczną zupełną. Definicja. Normą w przestrzeni liniowej X nad R nazywamy funkcję przyporzadkowującą każdemu elementowi x przestrzeni X liczbę rzeczywistą nieujemną ||x|| spełniajaca następujace warunki: (1) ∀x ∈ X ||x|| = 0 ⇐⇒ x = 0 (2) ∀λ ∈ R ∀x ∈ x ||λx|| = |λ| · ||x|| (3) ∀x, y ∈ X ||x + y|| ¬ ||x|| + ||y||. Przestrzeń liniową z okresloną w niej normą nazywamy przestrzenią unormowaną. Każdą przestrzeń unormowaną można uczynić przestrzenią metryczną przyjmując ρ(x, y) = ||x − y||. Taką metrykę nazywa sie metryką wyznaczoną przez normę. Przestrzeń Rk z normą v u k uX ||(x1 , x2 , ..., xk )|| = t x2i i=1 jest przestrzenią unormowaną. Metryka naturalna w Rk jest wyznaczona przez tę normę. Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych. Niech f : D → R, gdzie D jest podzbiorem Rk . W Rk rozważamy metrykę naturalną, którą oznaczać bedziemy przez ρ. Niech a będzie punktem skupienia zbioru D. Definicja. Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f w punkcie a jeśli dla dowolnego ciągu elementów {xn }∞ n=1 ⊂ D \ {a} zbieżnego do a lim f (xn ) = g. n→∞ Równoważna definicja: Definicja. Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f w punkcie a jeśli ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D 0 < ρ(x, a) < δ ⇒ |f (x) − g| < ε. Definicja. Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie a ∈ D jeśli dla dowolnego ciągu elementów {xn }∞ n=1 ⊂ D zbieżnego do a lim f (xn ) = f (a), n→∞ Równoważna definicja: Definicja. Mówimy, że f jest ciagła w punkcie a ∈ D jeśli ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D ρ(x, a) < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε.