Przestrzenie metryczne Zadanie 1 Sprawdzić, że poniższe wzory
Transkrypt
Przestrzenie metryczne Zadanie 1 Sprawdzić, że poniższe wzory
Przestrzenie metryczne Zadanie 1 Sprawdzić, że poniższe wzory zadają metryki na płaszczyźnie R2 : (a) (metryka euklidesowa) d2 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = √ (y1 − x1 )2 + (y2 − x2 )2 ; (b) (metryka miejska) d1 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = |y1 − x1 | + |y2 − x2 |; (c) (metryka szachowa) d∞ ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = max{|y1 − x1 |, |y2 − x2 |}; 1, (d) (metryka trywialna) dt ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = 0, gdy (x1 , x2 ) ̸= (y1 , y2 ) gdy (x1 , x2 ) = (y1 , y2 ) (e) (metryka pocztowa) dP ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = = d ((x , x ), (P , P )) + d ((P , P ), (y , y )), 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 0, gdy (x1 , x2 ) ̸= (y1 , y2 ) gdy (x1 , x2 ) = (y1 , y2 ) , , gdzie P = (P1 , P2 ) to ustalony punkt; (f) (metryka - rzeka) drz (u, z) = = | Im u − Im z|, | Im u| + | Im z| + | Re u − Re z|, gdy Re u = Re z gdy Re u ̸= Re z , gdzie u, z ∈ C ≃ R2 . √ Zadanie 2 Zaznaczyć na płaszczyźnie (R2 , d) następujące zbiory B((3, 2), 2) B((3, 2), 17), √ B((6, 4), 1), B((6, 4), 3), B((6, 4), 13), B((6, 4), 4), B((6, 4), 5), B((6, 4), 8), B((6, 4), 9), gdzie d jest jedną z metryk z zadania 1. Przyjąć P = (0, 2). Zadanie 3 Sprawdzić, że poniższe wzory zadają metrykę w N: (a) d(x, y) = |x2 − y 2 |; (b) d(x, y) = | x1 − y1 |; x (c) d(x, y) = | 1+x − y 1+y |; Zadanie 4 Zbadać czy następując podzbiory R i R2 są domknięte/otwarte: (a) (−2, 4), [1, 3], [3, 5); (b) [1, 2] ∪ {7}, [1, 2) ∪ {7}; (c) (−∞, 2], (0, ∞), (−∞, 2] ∪ (0, ∞); (d) [0, 1] ∩ Q, (0, 1) ∩ Q; (e) { n1 : n ∈ N} ∪ {0}, { n1 + 1 m : n, m ∈ N}; (f) (0, 1) × (1, 2), [−1, 2] × [0, 3], (1, 2] × [1, 2), (1, 3) × [2, 4]; (g) {(x, y) ∈ R2 : x < y + 1}, {(x, y) ∈ R2 : x2 + y < 1}, {(x, y) ∈ R2 : x2 − y 2 < 1, 2x ¬ 1, y > 0}; (h) {(x, y) ∈ R2 : (x − 2)2 + y 2 > 4}, {(x, y) ∈ R2 : (x + 1)2 + y 2 ¬ 1}, {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 9}. Rozważyć różne metryki z zadania 1. Znaleźć domknięcia, wnętrza i brzegi tych zbiorów. 1