Generowanie macierzy wag na potrzeby rekonstrukcji obrazu w

AUTOMATYKA • 2006 • Tom 10 • Zeszyt 3
S³awomir Lewandowski*, Jaros³aw W³odarczyk*
Generowanie macierzy wag
na potrzeby rekonstrukcji obrazu
w przemys³owej tomografii gamma
1. Wprowadzenie
Przemys³owa tomografia gamma (GRT) okaza³a siê efektywn¹ bezinwazyjn¹ metod¹
obrazowania dynamicznych procesów przemys³owych. Ogólna struktura systemu tomograficznego zosta³a pokazana na rysunku 1.
Rys. 1. Ogólna struktura systemu tomograficznego
Zadanie rekonstrukcji obrazu w odniesieniu do tomografii gamma polega na odtworzeniu rozk³adu os³abieñ promieniowania na podstawie serii pomiarów pochodz¹cych z detektorów tomografu. Na podstawie rozk³adu os³abieñ mo¿liwe jest wyznaczenie rozk³adu
gêstoœci w badanym przekroju, a wiêc jednoczeœnie wyznaczenie obrazu badanego procesu.
Zale¿noœæ miêdzy rozk³adem gêstoœci oraz danymi pomiarowymi okreœla prawo Lamberta–
Beera, które mo¿na zapisaæ w postaci wzoru (1) [2].
I = I0 exp ( −μρx )
(1)
gdzie:
I
I0
μ
ρ
x
–
–
–
–
–
natê¿enie promieniowania po przejœciu przez absorber,
natê¿enie promieniowanie emitowanego przez Ÿród³o,
wspó³czynnik os³abienia,
gêstoœæ absorbera,
gruboϾ absorbera.
* Katedra Informatyki Stosowanej, Politechnika £ódzka
189
190
S³awomir Lewandowski, Jaros³aw W³odarczyk
Wyznaczenie rozk³adu gêstoœci wymaga zatem rozwi¹zania zagadnienia odwrotnego.
Aby zadanie rekonstrukcji mo¿na by³o rozwi¹zaæ przy u¿yciu metod numerycznych, niezbêdna jest dyskretyzacja badanego obszaru, czyli jego podzia³ na skoñczon¹ liczbê podobszarów zwanych rekselami (reconstruction element) [4]. Wartoœæ danego reksela determinuje zale¿noœæ (2). Wystêpuj¹ca w tej zale¿noœci waga jest wyznaczana na podstawie geometrii tomografu i okreœla wk³ad danego reksela i do promienia mierzonego przez detektor
j [1]. Po obliczeniu wagi dla ka¿dego reksela i oraz promienia j powstaje macierz o wymiarach N×M zwana macierz¹ wag (weight matrix).
N
p j = ∑ w ji ρi
(2)
i =1
gdzie:
pj Рznormalizowana wartoϾ zmierzona przez detektor j, gdzie j = 1, 2, ..., M,
ρi – znormalizowana gêstoœæ odpowiadaj¹ca rekselowi i, gdzie i=1, 2, ..., N,
wji РwartoϾ wagi dla promienia j oraz reksela i,
N – liczba rekseli,
M – liczba detektorów (pomiarów).
2. Klasyczne podejœcia do wyznaczania macierzy wag
Aby obliczyæ ka¿dy element macierzy wag, badany obszar jest dzielony na N takich
samych elementów (rekseli) [1]. Dla ka¿dego reksela i oraz promienia j obliczana jest waga.
Istnieje kilka metod obliczania wartoœci elementów macierzy wag. Dwie z nich zosta³y
przedstawione w podrozdzia³ach 2.1 oraz 2.2.
2.1. Waga jako stosunek pól
W pierwszej metodzie wartoœæ wagi jest obliczana jako stosunek czêœci pola reksela
objêtego przez dany promieñ do ca³kowitego pola reksela co wyra¿aj¹ wzory (3) oraz (4).
Zwykle przyjmuje siê, ¿e reksel jest kwadratem o polu równym jednoœci. Idea metody zosta³a przedstawiona na rysunku 2.
w ji =
Pji
s2
⎧⎪1, Pji ≥ 0, 5s 2
w ji = ⎨
⎪⎩0, Pji < 0, 5s 2
(3)
(4)
Generowanie macierzy wag na potrzeby rekonstrukcji obrazu...
191
reksel i
s
promieñ j
s
Rys. 2. Idea obliczania wartoœci wagi jako stosunku pól
Opis w tekœcie
2.2. Waga jako stosunek d³ugoœci
W kolejnej metodzie wartoœæ wagi zdefiniowana jest jako stosunek d³ugoœci czêœci
promienia przechodz¹cego przez dany reksel do d³ugoœci przek¹tnej tego reksela, co wyra¿a zale¿noœæ (5) [3, 5, 6]. Ideê metody przedstawia rysunek 3.
w ji =
L ji
(5)
2s
reksel i
L
promieñ j
s
s
Rys. 3. Idea obliczania wartoœci wagi jako stosunku d³ugoœci
Opis w tekœcie
192
S³awomir Lewandowski, Jaros³aw W³odarczyk
3. Nowe podejœcie do wyznaczania macierzy wag
W klasycznych metodach obliczania wartoœci wag badany obszar dzielony jest na
kwadratowe podobszary, co zosta³o przedstawione w rozdziale 2.
Konsekwencje takiego podzia³u s¹ nastêpuj¹ce (rys. 2):
– granice rekseli nie pokrywaj¹ siê z granicami promieni,
– rozdzielczoœæ obrazu (liczba rekseli) musi byæ okreœlona w sposób doœwiadczalny.
W zaproponowanej metodzie podzia³u badanego obszaru, granice rekseli wyznaczane
s¹ na podstawie granic promieni. Idea ta zosta³a przedstawiona na rysunku 4.
badany
obszar
Ÿród³o
detektor
Rys. 4. Nieregularny podzia³ badanego obszaru
Aby mo¿liwe by³o generowanie nieregularnej siatki dziel¹cej badany obszar, zaimplementowana zosta³a aplikacja o nazwie GeoCreator przy wykorzystaniu œrodowiska Microsoft Visual C++.
Aplikacja wymaga wprowadzenia m.in. takich parametrów, jak:
– liczba Ÿróde³ oraz detektorów,
– wspó³rzêdne Ÿróde³ oraz detektorów,
– szerokoœæ wi¹zek promieni.
Wizualizacja podzia³u obszaru wykonana dziêki programowi GeoCreator zosta³a
przedstawiona na rysunku 5. Poszczególne reksele pokazane zosta³y za pomoc¹ ró¿nych
poziomów jasnoœci.
Przy obliczaniu macierzy wag dla tak podzielonego obszaru mo¿liwe s¹ tylko dwa
przypadki:
– dany reksel jest ca³kowicie objêty przez promieñ,
– dany reksel nie jest w ogóle objêty przez promieñ.
Dlatego w macierzy wag bêd¹ pojawiaæ siê tylko wartoœci 0 lub 1. Poza tym liczba
rekseli jest œciœle okreœlona.
Generowanie macierzy wag na potrzeby rekonstrukcji obrazu...
a)
193
b)
Rys. 5. Wizualizacja nieregularnego podzia³u obszaru: a) dla 35 promieni; b) dla 85 promieni
4. Podsumowanie
W artykule zaproponowana zosta³a nowa metoda podzia³u badanego obszaru na potrzeby rekonstrukcji obrazu w przemys³owej tomografii gamma. G³ówn¹ cech¹, jaka odró¿nia tê metodê od klasycznych, jest nieregularny podzia³ badanego obszaru. Podzia³ ten jest
przeprowadzany na podstawie granicy wi¹zek promieni pochodz¹cych ze Ÿróde³ tomografu
gamma. Taki podzia³ obszaru upraszcza obliczanie macierzy wag oraz determinuje rozdzielczoœæ obrazu po rekonstrukcji. W chwili pisania tego artyku³u nie jest jeszcze gotowe
oprogramowanie do rekonstrukcji obrazów bazuj¹cej na nieregularnym podziale badanego
obszaru. Z tego powodu nie jest mo¿liwe zamieszczenie wyników rekonstrukcji oraz ocena
nowej metody. Uzyskane wyniki oraz ocena przydatnoœci metody zostan¹ przedstawione
w kolejnych publikacjach.
Literatura
[1] Kak C.A., Slaney M. : Principles of Computerized Tomographic Imaging. The Institute of Electrical and Electronics Engineering, New York, 1999, 275–296
[2] Williams R.A., Beck M.S.: Process Tomography. Principles, Techniques and Applications. Butterworth-Heinemann, Great-Britain, 1995, 281–323
[3] Maad R., Johansen G.A.: Automatic Weight Matrix Generation for Gamma-ray Tomography. 3rd
World Congress on Industrial Process Tomography, Banff, Canada, 2003
[4] Hjertaker B.T.: Multiphase Flow Imaging by Dual Mode Tomography. PhD Thesis, Department of
Physics University of Bergen, Norway, 1998, 94–97
[5] Semeter J., Kamalabadi F.: A natural pixel decomposition for tomographic imaging of the ionosphere. Department of Electrical and Computer Engineering, Boston University, 1998, 2913–
2916
[6] Sankowski D., Mosorov V., Lewandowski S.: Reconstruction image error in gamma tomography.
The 1st Polish and International PD Forum – Conference on Computer Science, Bronis³awow,
Poland, 2005
194
S³awomir Lewandowski, Jaros³aw W³odarczyk