Bryła sztywna

Bryła sztywna
Fizyka I (Mechanika)
Wykład VIII:
• Bryła sztywna
• Statyka
• Prawa ruchu
• Moment bezwładności
• Energia ruchu obrotowego
• Bak
˛ i żyroskop
Bryła sztywna
Układ wielu ciał
Ruch układu jako całości
m1
m3
p1
p3
~ = M V
~CM
P
VCM
CM m2
p2
p4
m4
układ inercjalny
Masa układu
M =
X
P˛ed:
mi
Energia kinetyczna:
2
M VCM
Ek =
+ Ek⋆
2
Moment pedu:
˛
~ = MR
~ CM × V
~CM + L
~⋆
L
CM
i
Położenie środka masy:
~ =
R
A.F.Żarnecki
1 X
mi ~
ri
M i
Ek⋆ - energia “wewnetrzna”
˛
~ ⋆ - “wewnetrzny”
˛
moment pedu
˛
L
CM
Wykład VIII
1
Bryła sztywna
Układ wielu ciał
Przypadek szczególny
środka masy możemy
W oparciu o pojecie
˛
˛
opisać ruch układu jako całości stosujac
równania ruchu punktu materialnego.
1
3
CM
~
dP
~ zw
= F
dt
23
2
~
dL
~ zw
= M
dt
Natomiast ruch wzgledny
˛
ciał układu może
być (w ogólnym przypadku) bardzo skomplikowany...
A.F.Żarnecki
r
4
rij
ri − ~
rj =
= ~
onst
Układ ciał w którym wzgledne
˛
odległości
sa˛ stałe ⇒ bryła sztywna (uogólniona)
Wykład VIII
2
Bryła sztywna
Naogół ciałem sztywnym nazywamy ciało makroskopowe,
˛
siebie stałe odległości.
które nie podlega deformacjom - wszystkie punkty maja˛ wzgledem
Położenie
Aby jednoznacznie określić położenie bryły sztywnej w przestrzeni, trzeba określić:
położenie wybranego punktu
np. środka masy
3 parametry
(stopnie swobody)
A.F.Żarnecki
położenie drugiego punktu
2 parametry
(położenie na sferze)
Wykład VIII
położenie trzeciego punktu
1 parametr (położenie na okregu)
˛
⇒ łacznie
˛
mamy 6 stopni swobody
3
Opis ruchu
Położenie bryły sztywnej opisuja˛ 3 współrzedne
˛
i 3 katy
˛
Złóżenie ruchów
Ogólny ruch (zmiane˛ położenia) można przedstawić jako złożenie
ruchu postepowego
˛
oraz
ruchu obrotowego
wszystkie punkty poruszaja˛ sie˛ po okregach
˛
wektory predkości
˛
sa˛ takie same dla wszystkich punktów
A.F.Żarnecki
Wykład VIII
4
Opis ruchu
Chwilowa oś obrotu
Czasami złożenie ruchu postepowego i obrotowego (wzgledem np. środka masy)
chwilowej osi obrotu
można przedstawić jako ruch obrotowy wzgledem
˛
~CM + ω
~
~vi = V
~× ~
ri − R
~CM ⊥ ω
~ wtedy:
Jeśli V
~′
~vi = ω
~× ~
ri − R
chwilowa oś obrotu ↑
A.F.Żarnecki
~ ′ - położenie chwilowej osi obrotu
R
(zmienne w czasie)
Wykład VIII
5
Opis ruchu
Wiezy
˛
Ruch bryły sztywnej w ogólnycm przypadku opisuje kolejnych 6 parametrów
(np. predkość
środka masy i predkość
˛
˛
katowa
˛
w układzie środka masy)
W wielu zagadnieniach ruch bryły sztywnej jest jednak ogranicznony przez wiezy:
˛
• koło obracajace
˛ sie˛ na nieruchomej osi ⇒ jeden stopień swobody (kat
˛ obrotu)
• walec toczacy
˛ sie˛ bez poślizgu ⇒ jeden st. swobody (kat
˛ obrotu lub przesuniecie)
˛
• walec toczacy
˛ sie˛ z poślizgiem ⇒ dwa stopnie swobody (kat
˛ obrotu i przesuniecie)
˛
• kulka toczace
˛ sie˛ bez poślizgu ⇒ trzy stopnie swobody (trzy składowe ω
~)
W rozwiazywaniu
˛
zagadnień kluczowe jest zrozumienie jakie sa˛ stopnie swobody
Obecność wiezów
˛
oznacza też obecność sił reakcji wiezów...
˛
A.F.Żarnecki
Wykład VIII
6
Statyka
Warunek równowagi
Bryła sztywna pozostaje nieruchoma, wtedy i tylko wtedy,
gdy działajace
˛ na nia˛ siły i momenty sił równoważa˛ sie:
˛
~ zw =
F
~ zw =
M
~
dP
zw
~
= 0
Fi
= 0 ⇐⇒
dt
i
X
~
dL
zw
~
= 0
Mi
= 0 ⇐⇒
dt
i
X
~ zw = 0 to wypadkowy moment sił wzgledem
Jeśli F
˛
każdej osi jest taki sam ! (wystarczy sprawdzić raz)
~
~
ri′ = ~
ri + R
~′ =
M
X
i
A.F.Żarnecki
~i =
~
ri′ × F
X
i
~i + R
~×
~
ri × F
X
Siłami z którymi naogół
bedziemy mieli do czynienia
sa˛ siła cieżkości
˛
i siły reakcji
wiezów
˛
~
~i = M
F
i
Wykład VIII
7
Statyka
Równowaga
~ zw = M
~ zw = 0 jest spełniony, równowaga może być:
Nawet jeśli warunek F
trwała
obojetna
˛
chwiejna
Nieznaczne (infintezymalne) wychylenie bryły z położenia równowagi powoduje:
pojawienie sie˛ siły wypadkowej
(momentu siły) przywracajacej
˛
równowage˛
A.F.Żarnecki
zmiane˛ położenia
równowagi
Wykład VIII
pojawienie sie˛ siły wypadkowej
zwiekszaj
˛
acej
˛ wychylenie
8
Statyka
Przykład I
Warunkiem równowagi trwałej dla wielościanu (ustawionego na poziomej powierzchni,
˛
jest aby pion wypuszczony ze środka cieżkości
przechodził
pod działaniem siły cieżkości)
˛
˛
przez podstawe.
Równowaga trwała
Brak równowagi
Moment siły cieżkości
˛
“dociska” bryłe˛ do
powierzchni
Moment siły cieżkości
˛
wywraca bryłe˛
A.F.Żarnecki
Wykład VIII
9
Statyka
Przykład II
Dwu-stożek położony na nierównoległych szynach:
Gdy szyny sa˛ poziome, stożek bedzie
˛
sie˛ poruszał w kierunku szerszego końca.
Siła cieżkości
˛
i reakcji szyn sie˛ równoważa,
˛ ale wypadkowy moment sił nie bedzie
˛
zerowy.
Szyny stykaja˛ sie˛ ze stożkiem wzdłuż łuku elipsy z osia˛ stożka (środkiem masy) w jednym z ognisk...
A.F.Żarnecki
Wykład VIII
10
Statyka
Przykład II
Równowage˛ osiagniemy
˛
gdy szyny bed
˛ a˛ pochylone pod odpowiednim katem
˛
(szerszy koniec wyżej)
Oś stożka pozostaje cały czas na tej samej wysokości (Ep = const)
A.F.Żarnecki
Wykład VIII
11
Statyka
Równowaga
Równowaga bryły na która˛ działa siła cieżkości
˛
i siły reakcji można sklasyfikować patrzac
˛
~ = −gradEp)
(F
na położenie środka masy (energie˛ potencjalna):
˛
równowaga trwała
obojetna
˛
chwiejna
Nieznaczne (infintezymalne) wychylenie bryły z położenia równowagi powoduje:
podniesienie środka masy
wzrost energii potencjalnej
A.F.Żarnecki
brak zmian położenia
środka masy
obniżenie środka masy
zmniejszenie energii potencjalnej
Wykład VIII
12
Statyka
Równowaga
Zmiana położenia środka masy, przy wychyleniu z położenia równowagi,
˛
zależy od kształtu bryły, ale także od charakteru wiezów.
Np: równowaga kuli zależy od kształtu powierzchni na której leży
równowaga trwała
obojetna
˛
chwiejna
Typ równowagi zależy od zmiany położenia środka masy
A.F.Żarnecki
Wykład VIII
~ = −gradEp)
(F
13
Statyka
Równowaga
Kryterium zmiany położenia środka masy ⇒ energii potencjalnej
ma zastosowanie także w bardziej ogólnych przypadkach
Np: sześcian ustawiony na kuli
Położenie środka masy sześcianu
(nad środkiem kuli):
a
d
h
h = R cos φ + d sin φ +
1
a cos φ
2
d = R φ
a
h = R+
cos φ + R φ sin φ
2
w przybliżeniu małych katów:
˛
φ
R
sin φ ≈ φ, cos φ ≈ 1 − 21 φ2
a
1
a
h = R+
+
R−
· φ2
2
2
2
Równowaga trwała jeśli R > 2a
A.F.Żarnecki
Wykład VIII
14
Prawa ruchu
Obrót wokół ustalonej osi
Dla bryły sztywnej obracajacej
˛ sie˛ wokół ostalonej osi
mement pedu
˛
(skalarnie):
L = ω
X
i
2
mi r⊥
i = ωI
ω=
dφ
dt
r⊥ i - odległość masy i od osi obrotu,
I - moment bezwładności wzgledem
˛
wybranej osi.
Pod wpływem stałego momentu siły M :
dω X
dL
2 =εI
=
mi r⊥
M =
i
dt
dt i
dω
ε=
− przyspieszenie k¡towe
dt
M
= onst
⇒ ε =
I
ruch jednostajnie przyspieszony (dla I=const)
A.F.Żarnecki
Wykład VIII
15
Prawa ruchu
Ruch jednostajnie przyspieszony
0
ε0 = M
I0
I0 ≈ 4mr02
położenie cieżarka:
˛
h=φ·R
A.F.Żarnecki
I ≈ 4mr2 < 4mr02
⇒ ε = MI 0 > ε0
Wykład VIII
M = F R > M0 = F R0
⇒ε=M
I > ε0
0
16
Prawa ruchu
Ruch harmoniczny
Moment siły zależy od kata
˛ skrecenia
˛
preta
˛ φ:
M = −ξ φ
ξ - współczynnik “spreżystości”
˛
moment siły ma znak przeciwny do skrecenia
˛
φ
r
A.F.Żarnecki
m
dω
d2φ
dL
=
I= 2 I
M =
dt
dt
dt
ξ
d2φ
= − φ
⇒
2
dt
I
równanie oscylatora harmonicznego.
Czestość
˛
drgań:
s
√
√
ξ
ξ
ξ
= qP
ν =
≈
√
2
I
2r m
i mi r⊥ i
Wykład VIII
17
Moment bezwładności
Przyspieszenie katowe
˛
w ruchu bryły sztywnej zależy nie tylko od masy całkowitej,
ale także od jej rozłożenia wzgledem
˛
osi obrotu.
Rozkład masy wzgledem
˛
wybranej osi obrotu
(najcześciej
˛
przechodzacej
˛ przez środek masy, ale nie koniecznie)
opisuje moment bezwładności
I =
X
i
2
mi r⊥
i
w przypadku ciagłego
˛
rozkładu masy - całka po objetości:
˛
I =
Dla ciała jednorodnego (ρ = const = M
V ):
M
I =
V
Z
Z
2
dV ρ r⊥
2 = M
dV r⊥
R
2
dV r⊥
2i
= M hr⊥
R
dV
2 i - średni kwadrat odległości od osi obrotu
gdzie hr⊥
A.F.Żarnecki
Wykład VIII
18
Moment bezwładności
I = hr 2 i
Stosunek m. bezwładności do masy zależy od kształtu i rozmiarów ciała: M
⊥
Obrecz
˛
(pusta w środku)
obrót wokół osi symetrii
Wszystkie punkty równoodległe od osi:
2
hr⊥
i = r2 ⇒ I⊥ = M r2
Obrót wokół średnicy
oś obrotu - oś X, średnica prostopadła do osi obrotu - oś Y
x2 + y 2 = r 2
⇒
Sfera
hx2i = hy 2i
1 2
2
hr⊥
i = hy 2i =
r
2
i
(powierzchnia kuli)
⇒
Ik =
1
M r2
2
obrót wokół osi symetrii
x2 + y 2 + z 2 = r2 i hx2i = hy 2i = hz 2i
2
2 i = hx2 + y 2i = 2 r 2
⇒ hr⊥
⇒ I =
M r2
3
3
A.F.Żarnecki
Wykład VIII
19
Moment bezwładności
Koło
(krażek)
˛
obrót wokół osi symetrii
Koło = suma wielu obreczy
˛
⇒ śrenia po powierzchni:
r
dr’
r’
dS
R ′2
r · dS
1
′2 · 2πr ′ dr ′ = 2π 1 r 4 = 1 r 2
2i =
=
r
hr⊥
S
πr2
πr2 4
2
1
⇒ I⊥ =
M r2
2
Podobnie można wyznaczyć I dla innych brył:
Prostokat
˛
⇒
Z
1 M (a2 + b2)
I⊥ = 12
1 M l2
I = 12
Obrót wokół osi prostopadłej, przechodzacej
˛ przez środek.
A.F.Żarnecki
Pret
˛
⇒
Kula
(jednorodna)
⇒
Wykład VIII
2 M r2
I=5
20
Moment bezwładności
Twierdzenie o osiach równoległych
Zazwyczaj liczymy moment bezwładności wzgledem
˛
osi
S
przechodzacej
˛ przez środek cieżkości
˛
(wszystkie podane przykłady)
Bryła może jednak wirować wokół dowolnej osi...
Moment bezwładności wzgledem
˛
osi równoległej 0,
odległej o h od osi S: (XY: układ środka masy)
2
2
riO
= (xi + h)2 + yi2 = h2 + 2hxi + riS
IO =
X
2 = h2
mi riO
X
i
i
⇒
X
mi + 2h
mixi +
i
X
2
mi riS
i
IO = IS + M h2
Twierdzenie Steinera
A.F.Żarnecki
Wykład VIII
21
Prawa ruchu
Staczanie po równi pochyłej symetrycznej bryły
(obrecz,
˛
walec, kula...) bez poślizgu:
Równia pochyła
x=rφ ⇒ a=rε
φ
Ruch postepowy
˛
(wzdłuż równi):
R
r
l
Ruch obrotowy (wzgledem
˛
środka masy):
T
h
ma = Q sin θ − T
Q
x
Θ
Iε = Tr
Eliminujac
˛ siłe˛ tarcia:
Iε
= mg sin θ
r
g sin θ
⇒ a =
1+ I2
ma +
mr
Im wiekszy
˛
moment bezwładności, tym wolniej stacza sie˛ ciało...
A.F.Żarnecki
Wykład VIII
22
Prawa ruchu
Zagadnienie można rozwiazać
˛
w sposób równoważny
korzystajac
˛ z chwilowej osi obrotu i twierdzenia Steinera
Równia pochyła
Równanie ruchu obrotowego wzgledem
˛
chwilowej osi
obrotu (linia styku bryły z równia):
˛
φ
R
r
l
Z twierdzenia Steinera:
T
h
A.F.Żarnecki
Io ε = Q sin θ · r
Q
x
Io = I + m r2
Otrzymujemy:
Θ
mg sin θ r2
a = rε =
Io
mr2 g sin θ
=
mr2 + I
Wykład VIII
23
Prawa ruchu
Równia pochyła
Rura
Walec
a =
A.F.Żarnecki
1
g sin θ
2
a =
Wykład VIII
2
g sin θ
3
1
szybiej
3
24
Prawa ruchu
Wahadło fizyczne
Równanie małych drgań bryły sztywnej, wokół osi obrotu O
przechodzacej
˛ w odległości l od środka cieżkości
˛
S:
Io ε = −mg sin φ · l
d2φ
I + ml2
dt2
≈ −mgl φ
Czestość
˛
drgań (równanie oscylatora harmonicznego):
ν =
s
mgl
I + ml2
v
u
u
= t
g
I )
l(1 + ml
2
lz = l(1 + I 2 ) - długość zredukowana wahadła
ml
długość wahadła matematycznego o tej samej czestości
˛
A.F.Żarnecki
Wykład VIII
25
Prawa ruchu
Wahadło fizyczne
Równanie małych drgańwokół osi obrotu O:
d
Io ε = −M dg sin φ − m g sin φ
2
O
m
d
φ
1
M d2 + md2
3
Czestość
˛
drgań:
ν =
M
r
d2φ
m
)dg φ
≈
−(M
+
2
dt
2
v
u
1m
M
+
g u
2
·t
l
M+1
3m
≈
1m
M +3
lz = d
M +1
2m
1 m
g
· 1+
·
l
12 M
m
≈d· 1−1
·
6 M
- długość zredukowana wahadła
A.F.Żarnecki
r
Wykład VIII
(m ≪ M )
26
Energia
Energia ruchu obrotowego
Energia kinetyczna układu ciał:
2
M
V
CM
Ek = Ek⋆ +
2
Bryła sztywna: energia “wewnetrzna”⇒
˛
energia kinetyczna ruchu obrotowego
Ek⋆
1 X
1 2
1 X
2
2
=
mivi =
mi(ri ω) =
ω I
2 i
2 i
2
Ciało toczace
˛ sie˛ bez poślizgu:
1
=
ωL
2
v=ωr
Iω 2
mv 2
I
mv 2
+
=
1+
Ek =
2
2
2
mr2
m
A.F.Żarnecki
1+ I2
mr
- efektywna masa bezwładna
przy niezmienionej masie grawitacyjnej
Wykład VIII
27
Energia
Równia pochyła
Predkość
˛
jaka˛ uzyska ciało staczajace
˛ sie˛ bez poślizgu z
równi o wysokości h. Z zasady zachowania energii:
φ
r
T
A.F.Żarnecki
R
l
h
I
1
mv 2 1 +
mgh =
2
mr2
Q
v
u
u
v = t
x
Θ
Przyspieszenie
2gh
I
1 + mr
2
predkość
˛
średnia hvi = 1
2v
g sin θ
v2
2gh
v
=
=
a= =
I
I
t
2l
1
+
2l 1 + mr
2
mr2
Wykład VIII
28
Energia
Koło Maxwella
Koło o promieniu R “toczy sie”
˛ po osi o promieniu r.
θ=π
2
Jak w przypadku równi pochyłej
I
r
a =
R
mg
obrz:
⇒
g
I
1 + mr
2
I = mR2
r2
≪g
a = g 2
2
R +r
Przyspieszenie liniowe wielokrotnie mniejsze
od przyspieszenia w spadku swobodnym...
Energia potencjalna zamienia sie˛ głównie
na energie˛ ruchu obrotowego.
A.F.Żarnecki
Wykład VIII
29
Prawa ruchu
Uściślenie
Rozważajac
˛ zagadnienie jednostajnie przyspieszonego ruchu
obrotowego zakładaliśmy że moment siły jest stały i nie zależy od
I. Jednak cieżarek
˛
też porusza sie˛ ruchem przyspieszonym:
i»arek:
rotor:
ma = Q − N
Iε = rN
Q - cieżar
˛
cieżarka,
˛
N - siła napreżenia
˛
nici.
Eliminujac
˛ N = m(g − a):
Iε = r m(g − rε)
(I + mr2) ε = mgr
mgr
mgr
ε =
=
I + mr2
I′
Bezwładność cieżarka
˛
efektywnie zwieksza
˛
moment bezwładności rotora: I ′ = I + mr2
Nigdy nie uzyskamy przyspieszenia wiekszego
˛
niż εmax = gr
A.F.Żarnecki
Wykład VIII
30
Porównanie
Punkt materialny
Bryła sztywna
ruch postepowy
˛
ruch obrotowy (wzgledem
˛
osi symetrii !)
• przesuniecie
˛
~
x
⇒ predkość
˛
katowa
˛
d~v
~a =
dt
⇒ przyspieszenie katowe
˛
d~
ω
~
ε=
dt
m
⇒ moment bezwładności
I
• predkość
˛
• przyspieszenie
• ped
˛
p
~ = m~v
• układ izolowany p
~ = const
A.F.Żarnecki
~
φ
~
dφ
ω
~ =
dt
d~
x
~v =
dt
• masa
⇒ kat
˛ obrotu
⇒ moment pedu
˛
⇒ układ izolowany
Wykład VIII
~ = I~
L
ω
~ = const
L
31
Porównanie
Punkt materialny
Bryła sztywna
ruch postepowy
˛
ruch obrotowy (wzgledem
˛
osi symetrii !)
~
F
• siła
• równania ruchu
~ = m~a
F
d~
p
~
=F
dt
• praca
• energia kinetyczna
W =
Z
~
M
⇒ moment siły
~ · d~
F
x
1 mv 2
Ek = 2
⇒ równania ruchu
~ = I~
M
ε
⇒
~
dL
~
=M
dt
⇒ praca
⇒ energia kinetyczna
W =
Z
~
~ · dφ
M
1 Iω 2
Ek = 2
Dla ruchu obrotowego wzgledem
˛
ustalonej osi, pokrywajacej
˛ sie˛ z osia˛ symetrii bryły !!!
A.F.Żarnecki
Wykład VIII
32
Bak
˛
Równowaga
Zasada zachowania mementu pedu
˛
Jeśli zapewnimy znikanie momentów sił to
kierunek momentu pedu
˛
pozostanie stały
niezależnie od działajacych
˛
sił i ruchu postepowego
˛
⇒ efekt żyroskopowy
Bak
˛ wirujacy
˛ wokół pionowej osi jest w równowadze.
Momenty działajacych
˛
sił sa˛ równe zero (wzgledem
˛
S i O)
⇒ moment pedu
˛ jest stały
⇒ orientacja osi obrotu jest stała (bak
˛ symetryczny)
~ = ω
L
~I =
onst
Czy jest to równowaga trwała?
A.F.Żarnecki
Wykład VIII
33
Bak
˛
Moment sił
Gdyby bak
˛ nie wirował (L = 0) to ustawienie pionowe
byłoby stanem równowagi nietrwałej.
Wychylenie z tego położenia powodowałoby powstanie
wypadkowego momentu sił oraz niezerowej siły wypadkowej, które powodowałyby wywrócenie baka.
˛
Moment siły cieżkości
˛
wzgledem
˛
punktu podparcia O:
~ = R
~ × m~g
M
M = mgR sin θ
⊗
A.F.Żarnecki
~
M
R - odległość środka cieżkości
˛
od punktu podparcia
θ - kat
˛ odchylenia osi od pionu
~ skierowany jest prostopadle do osi baka...
Moment siły M
˛
Wykład VIII
34
Bak
˛
Precesja
W przypadku gdy bak
˛ wiruje, przyłożony moment siły
powoduje zmiane˛ całkowitego momentu pedu:
˛
~
d
L
~ =
M
dt
Wektor momentu pedu
˛ pokrywa sie˛ z osia˛ obrotu
~ kω
~
L
~ kR
natomiast wektor momentu siły jest do niej prostopadły
~ = mR
~ × ~g ⊥ R
~
M
⇒ wartość momentu pedu
˛
nie ulega zmianie
dL
= 0
dt
⇒ kierunek momentu pedu
˛ zmienia sie˛ ⇒ precesja
A.F.Żarnecki
Wykład VIII
35
Precesja
Cz˛estość
W przedziale czasu ∆t moment pedu
˛
zmieni sie˛ o:
∆L = M ∆t = mRg sin θ ∆t
~ o kat
Spowoduje to obrót poziomej składowej L
˛
mRg sin θ
∆L
=
∆φ =
∆t
L sin θ
L sin θ
~ bedzie
⇒ czestość
˛
z jaka˛ wektor L
˛
zakreślał stożek:
mRg
∆φ
=
ωp =
∆t
L
⇒ czesto
˛
ść precesji
Czestość
˛
precesji maleje ze wzrostem momentu pedu
˛
(czestości
˛
ruchu wirowego baka)
˛
A.F.Żarnecki
Wykład VIII
36
Żyroskop
Równowaga
L
“Waga”: cieżar
˛
żyroskopu jest zrównoważona
przez odpowiednio dobrane cieżarki.
˛
~ =0
Jeśli żyroskop jest w równowadze przy L
~ 6= 0
to bedzie
˛
także w równowadze dla L
Jak zachowa sie˛ żyroskop gdy zwiekszymy
˛
lub zmniejszymy “przeciwwage”
˛ ?
A.F.Żarnecki
Wykład VIII
37
Żyroskop
Precesja
zwiekszone
˛
obciażenie
˛
L
zmniejszone obciażenie
˛
(przypadek baka)
˛
Mr
L
Mr
F
F
ωp
zgodnie z ruchem wskazówek zegara
(patrzac
˛ os góry)
Czestość
˛
precesji ωp = mrg
L
A.F.Żarnecki
ωp
przeciwnie do ruchu wskazówek zegara
⇒ proporcjonalna do dodanej/brakujacej
˛ masy
Wykład VIII
38
Żyroskop
Paradoks ?
~ =0
Nie wirujacy
˛ bak
˛ wychylony z położenia równowagi L
~ = 0 ⇒ wywracaja˛ sie˛
lub nie zrównoważony żyroskop L
~ 6= 0 to bak
Natomiast jeśli L
˛ i żyroskop podlegaja˛ precesji
⇒ nigdy sie˛ nie wywróca˛ (zaniedbujac
˛ siły tacia).
~ ?
Czy jest to słuszne dla dowolnie małych wartości L
Z doświadczenia wiemy, że nie !
Wirujacy
˛ bak
˛ wywraca sie˛ zanim predkość
˛
katowa
˛
jego ruchu wirowego spadnie do zera.
Nasze rozważania precesji nie były ścisłe
⇒ dla małych momentów pedu
˛ musimy uwzglednić
˛
dodatkowe efekty...
A.F.Żarnecki
Wykład VIII
39
Żyroskop
Precesja
Niech moment pedu
˛ zrównoważonego
~
żyroskopu wynosi L.
Lp
Θ
L
Co sie˛ dzieje gdy zdejmiemy jeden cieżarek
˛
?
Lz
ωp
Wartość całkowitego moment pedu
˛
nie ulega
zmianie, gdyż moment siły cieżkości
˛
jest
~
prostopadły do L.
~ p = ωp Ip.
L
Obrót żyroskopu z czestości
˛
a˛ ωp wzgledem
˛
pionowej osi ⇒ moment pedu
˛
Aby całkowity moment pedu
˛
nie uległ zmianie, oś żyroskopu musi sie˛ nachylić o kat:
˛
mrgIp
Lp
=
L
L2
˛ wywraca sie...
˛
Duże L ⇒ θ → 0 ( Lp można pominać)
˛
Małe L ⇒ żyroskop/bak
θ∼
A.F.Żarnecki
Wykład VIII
40
Żyroskop
Nutacja
ωp
Idealna precesja, gdy koniec ramienia żyroskopu porusza sie˛ ruchem jednostajnym
po okregu,
˛
zachodzi tylko przy szczególnym
wyborze warunków poczatkowych.
˛
W ogólnym przypadku na precesje˛ nakładaja˛
sie˛ oscylacje ramienia żyroskopu wokół
położenia “stacjonarnej precesji” ⇒ nutacje.
Charakter tych dodatkowych oscylacji zależy od warunków poczatkowch.
˛
Zazwyczaj sa˛ mało widoczne i zanikaja˛ w czasie (tłumienie).
Ich amplituda rośnie dla małych wartości L
A.F.Żarnecki
Wykład VIII
41
Moment pedu
˛
Do tej pory rozpatrywaliśmy wyłacznie
˛
ruch obrotowy wzgledem
˛
ustalonej osi.
Naogół była to oś symetrii bryły, lub oś do niej równoległa.
W ogólnym przypadku problem jest bardziej skomplikowany
Przykład - dwa wirujace
˛ cieżarki
˛
Cieżarki
˛
w jednej płaszczyźnie ⊥ osi
S
Cieżarki
˛
rozsuniete
˛ wzdłuż osi obrotu
L
ω
~ kω
~
Oś obrotu jest osia˛ symetrii L
A.F.Żarnecki
ω
S
L
~ || ω
~
Oś obrotu nie jest osia˛ symetrii ⇒ L/
~ i = mi~
L
ri × ~vi ⊥ ~
ri
Wykład VIII
42
Moment pedu
˛
Przykład II
Dysk wirujacy
˛ wokół osi nachylonej do osi symetrii
Predkość
˛
katow
˛ a˛ możemy rozłożyć na
składowa˛ równoległa˛ i prostopadła
do osi symetrii
Moment pedu
˛
dysku
~ = L
~⊥ + L
~
L
k
= I⊥ω
~ ⊥ + Ik ω
~k
1
~k
= I⊥ ω
~⊥ + ω
2
ω
~ = ω
~⊥ + ω
~k
Moment bezwładności dysku: (wykład 23)
1
I⊥ = mr2
2
A.F.Żarnecki
~ || ω
L/
~
1
1
Ik = mr2 =
I⊥
4
2
Wykład VIII
43
Moment pedu
˛
W ogólnym przypadku bryła sztywna może nie mieć żadnej osi symetrii.
Jak wtedy wyznaczyć moment pedu,
˛
znajac
˛ predkość
˛
katow
˛ a˛ ω
~ ?
Zdefinicji momentu pedu:
˛
~ =
L
X
i
Z definicji bryły sztywnej:
~vi = ω
~ ×~
ri
mi~
ri × ~vi
Otrzymujemy:
~ =
L
X
i
mi~
ri × (ω
~ ×~
ri) =
X
i
i
2
mi ω
~ ri − ~
ri (~
ri ω
~)
h
~× B
~ ×C
~ =B
~ A
~·C
~ −C
~ A
~·B
~
korzystamy z tożsamości wektorowej: A
~ zależy od kierunku ω
Kierunek L
~ jak i położeń poszczególnych elementów bryły ~
ri.
A.F.Żarnecki
Wykład VIII
44
Moment pedu
˛
Rozpisujac
˛ na składowe:
~
ri = (xi, yi, zi)
ω
~ = (ωx, ωy , ωz )
⇒
~
ri ω
~ = xiωx + yiωy + ziωz
Otrzymujemy (na przykładzie Lx):
Lx =
X
i
i
2
mi ωx ri − xi (xiωx + yiωy + ziωz )
= ωx ·
h
X
i
mi (ri2 − x2
i ) − ωy ·
X
i
mi xiyi − ωz ·
X
mi xizi
i
Lx zależy w ogólności od waszystkich skladowych predkości
˛
katowej
˛
!
Podobnie:
Ly = − ωx ·
Lz = − ωx ·
A.F.Żarnecki
X
i
X
i
mi xiyi + ωy ·
mi xizi − ωy ·
X
i
X
i
mi (ri2 − yi2) − ωz ·
mi yizi + ωz ·
Wykład VIII
X
i
X
mi yizi
i
mi (ri2 − zi2)
45
Tensor momentu bezwładności
~ możemy zapisać w postaci macierzowej:
Wyrażenie na składowe L




 Lx 





~ =  L  = 
L


 y 



Lz
~
L
=
P
mi (ri2 − x2
i)
−
−
P
P
mi xiyi
mi xizi
mi xiyi
−
Iˆ
tensor momentu bezwładności

 Ixx Ixy Ixz 


Iˆ =  Iyx Iyy


Izx Izy
A.F.Żarnecki
P

mi xizi
·
ω
~
ogólna postać (u, v = x, y, z)
Składowe tensora - współczynniki bezwładności

 
  ωx 

 
P
P



·  ωy 
mi(ri2 − yi2)
− mi yizi 

 



P
P
2
2
ωz
− mi yizi
mi(ri − zi )
−
P
Iuv
=
X
mi(δuv ri2 − uivi)


lub
Z
Iyz 

Iuv =
dV ρ(~
r )(δuv r2 − u v)

Izz
delta Kroneckera: δuv = 1 dla u = v i 0 dla u 6= v
Wykład VIII
46
Tensor momentu bezwładności
Przykład
Cztery masy rozmieszczone w rogach sześcianu:
Y
a
M
Tensor bezwładności
X
Iˆ =
Z
A.F.Żarnecki
Wykład VIII







2 −1
−1 2
0 0

0

2
·M a
0


2
47
Osie główne
W ogólnym przypadku wszystkie współczynniki bezwładności moga˛ być różne od zera
(tensor symetryczny ⇒ 6 niezależnych wielkości)
Okazuje sie˛ jednak, że w każdym przypadku można tak obrócić osie układu odniesienia,
żeby elementy pozadiagonalne znikały:
(diagonalizacja tensora)
Ixy = Ixz = Iyz = Iyx = Izx = Izy = 0
układ taki definiuje nam osie główne bryły
(kierunki własne tensora)
Jeśli bryła ma oś symetrii to bedzie
˛
ona jedna˛ z osi głównych !
⇒ pozostaja˛ tylko 3 współczynniki diagonalne Ixx, Iyy , Izz (wartości własne)
~ = (Lx, Ly , Lz ) = (Ixx ωx, Iyy ωy , Izz ωz )
L
~ kω
Dla obrotu wokół osi głównej L
~
~ = (Ixxω, 0, 0) = Ixxω
np. ω
~ = (ω, 0, 0) ⇒ L
~
A.F.Żarnecki
Wykład VIII
48
Osie główne
Przykład
Cztery masy rozmieszczone w rogach sześcianu:
Y’
Tensor bezwładności
a
M
Iˆ =
X’
Z




1 0 0
0 3 0
0 0 2




· M a2
Osie X’, Y’ i Z sa˛ osiami głównymi Iˆ:
• oś X’ - najmniejszy moment bezwładności
• oś Y’ - najwiekszy
˛
moment bezwładności
• oś Z - pośredni moment bezwładności
A.F.Żarnecki
Wykład VIII
49
Osie główne
Prostopadłościan
Rakieta tenisowa
111111111
000000000
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
00000000
11111111
000000000
111111111
00000000
11111111
000000000
111111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
000
111
00000000
11111111
000
111
00000000
11111111
000Ixx 6= Iyy 6= Izz
111
A.F.Żarnecki
Walec
Sześcian
Ixx = Iyy 6= Izz
Kula
Ixx = Iyy = Izz
Tak jak dla kuli !
Ixx = Iyy = Izz
Wykład VIII
50
Osie główne
~
W przypadku bryły wirujacej
˛ swobodnie (stała wartość L)
stabilny ruch obrotowy (stały kierunek wektora ω
~ ) możliwy jest
tylko wokół osi głównych o najwiekszym
˛
i najmniejszym momencie bezwładności
Oś o najwiekszym
˛
I
Oś o pośrednim I
Oś o najmniejszym I
obrót stabilny
obrót niestabilny
obrót stabilny
A.F.Żarnecki
Wykład VIII
51
Osie główne
~ = 1 (Ixxω 2 + Iyy ω 2 + Izz ω 2)
Energia kinetyczna w układzie osi głównych: Ek = 1
ω
~
L
x
y
z
2
2
Jeśli wiezy
˛ narzucaja˛ obrót ze stała predkości
˛
a˛ katow
˛ a˛ ω
~
to ciało przyjmie ono ułożenie odpowiadajace
˛
maksymalnej energii kinetycznej
⇒ obrót wokół osi o najwiekszym
˛
momencie bezwładności
⇒ maksymalna wartość momentu pedu
˛
W układzie obracajacym
˛
sie˛
Siła odśrodkowa daży
˛ do rozmieszczenia masy jak najdalej od osi obrotu.
Stabilny jest stan odpowiadajacy
˛ minimum energii potencjalnej (siły odśrodkowej)
1
2 = −E
~i = mi ω 2~
F
ri⊥ ⇒ Ep,i = − mi ω 2 r⊥
k,i
2
Minimum energii potencjalnej odpowiada maksimu energii kinetycznej.
W układzie laboratoryjnym ⇒ masa “oddala sie”
˛ od osi zgodnie z zasada˛ bezwładności
A.F.Żarnecki
Wykład VIII
52
Projekt Fizyka wobec wyzwań XXI w.
współfinansowany przez Unie˛ Europejska˛
ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki