Mechanika kwantowa — ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw III ftims, pg 1

Mechanika kwantowa — ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw III
ftims, pg
1. Niech ψ(x) jest unormowaną do jedności funkcją falową, a hxi i hpi wartościami oczekiwanymi położenia i pędu
w stanie określonym przez funkcję ψ(x). Udowodnij, że w stanie odpowiadającym funkcji postaci
i
φ(x) = exp − hpix ψ(x + hxi)
~
wartości średnie położenia i pędu są równe zeru.
2. Niech dany jest pewien układ kwantowy określony w trójwymiarowej przestrzeni wektorów stanów. Niech
hamiltonian takiego układu reprezentowany jest przez macierz


2 1 0
Ĥ =  1 2 0  .
0 0 3
(a) Jakie dozwolone wartości przyjmuje energia rozpatrywanego układu kwantowego?
(b) Wyznacz średnie hĤi, hĤ 2 i oraz wariancję σ 2 (Ĥ) pomiaru energii układu w stanie reprezentowanym przez
wektor


i
1
|ψi = √  −i  .
3
i
3. Dany jest układ fizyczny o masie m scharakteryzowany hamiltonianem
Ĥ = −
~2 d 2
+ V (x),
2m dx2
gdzie V (x) jest dowolne. Wyznacz
(a) wartość średnią operatora pędu p̂ w stanie własnym hamiltonianu Ĥ,
(b) wartość średnią operatora x̂p̂ + p̂x̂ w stanie własnym hamiltonianu,
(c) wartość średnią kwadratu pędu p̂2 w stanie własnym hamiltonianu oraz pokaż, że dyspersja pomiaru pędu
σ 2 (p̂) w stanie własnym hamiltonianu określona jest równaniem
2
σ (p̂) = 2mhT̂ i,
gdzie T̂ jest operatorem energii kinetycznej układu.
4. Niech dana jest funkcja f (x) określona przez transformatę Fouriera
Z ∞
i
1
dp g(p)e ~ px ,
f (x) = √
2π~ −∞
gdzie g(p) jest postaci
g(p) =
1,
0,
p ∈ [− a2 , a2 ]
.
dla pozostalych p
(a) Wyznacz i naszkicuj jawną postać funkcji f (x) określonej przez podany profil g(p),
(b) Przyjmując, że rozmycie pędu jest równe ∆p = a2 , a rozmycie współrzędnej położenia zdefiniowane jest
przez ∆x = |xmax − x0 |, gdzie xmax , x0 są wartościami współrzędnej x dla których funkcja ψ(x) osiąga,
odpowiednio, wartość maksymalną oraz pierwsze miejsce zerowe, pokaż, że ∆p∆x ≥ ~2 ,
(c) na podstawie rezultatów uzyskanych w punktach a) oraz b), określ jak zmienia się wartość ∆x gdy wartość
parametru a stopniowo zwiększa/zmniejsza się. Skomentuj uzyskane wyniki.
5. (*) Niech dane są dwa operatory hermitowskie  i B̂ spełniające związek [Â, B̂] = i~Ĉ. Pokaż, że wariancje
obserwabli  i B̂ spełniają ogólną zasadę nieoznaczoności
σ 2 (Â)σ 2 (B̂) ≥
~2
hĈi2 .
4
Przeprowadź dowód bez odwoływania się do nierówności Schwartza.
1
Mechanika kwantowa — ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw III
ftims, pg
6. Wykorzystując nierówność Schwartza
2
hψ|ψihφ|φi ≥ hψ|φi ,
∀|ψi, |φi ∈ H,
udowodnij, że operatory hermitowskie  i B̂, [Â, B̂] = i~Ĉ spełniają relację nieoznaczoności Heisenberga
σ 2 (Â)σ 2 (B̂) ≥
~2
hĈi2 .
4
7. Korzystając z ogólnej zasady nieoznaczoności Heisenberga podaj postać zasady nieoznaczoności dla operatorów
(a) x̂ oraz f (p̂),
(b) p̂ oraz x̂−1 = x1 .
8. Korzystając z ogólnej zasady nieoznaczoności Heisenberga pokaż, że dwie wielkości są jednocześnie mierzalne z
dowolną dokładością, jeżeli ich operatory komutują, a następnie odpowiedz na poniższe pytania
(a) W jakich warunkach można dokonać jednoczesnego pomiaru (z dowolną dokładnością) dwóch obserwabli,
których operatory w ogólności nie komutują?
(b) Czy energia i składowe pędu cząstki są w ogólności jednocześnie mierzalne? Podaj warunki, przy których
wielkości te można jednocześnie zmierzyć. Podaj przykład układu posiadającego taką własność.
(c) Czy istnieją warunki, w których położenie i kwadrat pędu układu fizycznego są jednocześnie mierzalne?
Podaj przykład takich warunków.
9. Niech pewien układ kwantowy opisany jest funkcją falową postaci
(x − x )2 i
0
exp
p0 x exp iω0 t .
ψ(x, t) = A exp −
2
4a
~
Wyznacz
(a) jawną postać współczynnika A zapewniającego unormowanie ψ(x, t) do jedności,
(b) wyznacz funkcję gęstości prawdopodobieństwa |ψ(x, t)|2 . Czy ψ(x, t) reprezentuje stan stancjonarny czy
niestacjonarny?
(c) wartość średnią pomiaru położenia układu,
(d) wariancję pomiaru położenia układu,
(e) wartość średnią pomiaru pędu układu,
(f) wariancję pomiaru pędu układu,
(g) sprawdź, że wariancje pędu i położenia spełniają zasadę nieoznaczoności Heisenberga.
10. Niech dana jest ”trójkątna” funkcja falowa postaci
( A 1 − |x|
; x ∈ [−a, a]
a
ψ(x) =
.
0; dla pozostalych x
(a) Wyznacz wartość współczynnika A zapewniającego unormowanie funkcji ψ(x) do jedności,
e
(b) Wyznacz transformatę Fouriera ψ(p)
funkcji ψ(x),
(c) Wyznacz wartości średnie hx̂i oraz hx̂2 i,
(d) Wyznacz wartości średnie hp̂i oraz hp̂2 i,
(e) Sprawdź, czy dyspersje położenia i pędu spełniają zasadę nieoznaczoności Heisenberga.
2
Mechanika kwantowa — ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw III
ftims, pg
Odpowiedzi i komentarze:
√
2 2
2
(2a) E1 = 1 oraz dwukrotnie zdegenerowana wartość własna E2 = 3; (2b) hĤi = 35 , hĤ 2 i = 11
3 , σ (Ĥ) = 3 .
(3a) Można skorzystać z faktu, że operator pędu p̂ można wyrazić jako komutator [Ĥ, x̂] (należy wyznaczyć dokładną
zależność). Prosty rachunek
prowadzi wówczas do równań: (3a) hp̂i = 0; (3b) hx̂p̂ + p̂x̂i = 0.
q
a
2~ sin 2~ x
(4a) f (x) =
; (4b) xmax ≈ 0 (funkcja posiada osobliwość w x = 0, ale lim = 1), x0 = 2~π
π
x
a , zatem
x→0±
~
∆x = 2~π
a . Z tego wynika, że ∆x∆p = ~π ≥ 2 .
(4c) jak pokazano w punkcie b), rozmycia ∆x oraz ∆p są zależne od parametru a, ale jednocześnie ich iloczyn ∆x∆p
jest od a niezależny. Wynika z tego, że zmniejszanie/żwiększanie parametru a nie zmienia relacji nieoznaczoności
∆x∆p ≥ O(1). Koniecznie należy w tym miejscu zwrócić uwagę, że o ile ∆p ∼ a, to ∆x ∼ a1 . Wynika z tego, że
delokalizacja funkcji w przestrzeni pędu, tzn. ∆p = a2 >> 1, powoduje lokalizację funkcji w przestrzeni położeń, tzn.
∆x << 1. Jest to ogólna własność funkcji związanych ze sobą transformacją Fouriera! Kontynuując wywód, można
wnioskować, że fala płaska o pędzie p (punktowa wartość p, ∆p = 0) jest zdelokalizowana w przestrzeni – zajmuje całą
dostępną przestrzeń. Odwrotnie, fala ściśle zlokalizowana w przestrzeni, powinna zajmować całą dostępną przestrzeń
pędu (energii).
e = Â − hÂi, B
e = B̂ − hB̂i, dzięki którym możemy zapisać
(6) Rozwiązanie problemu ułatwi wprowadzenie oznaczeń A
e2 ihB
e 2 i = hψ|A
e2 |ψihψ|B
e 2 |ψi.
σ 2 (Â)σ 2 (B̂) = hA
e oraz B
e oraz
Dowód należy od tego miejsca kontynuować korzystając z własności hermitowskości operatorów A
nierówności Schwartza.
√
1
(9a) A = ( 2πa)− 2 ; (9b) układ scharakteryzowany podaną funkcją falową posiada gaussowski (normalny) rozkład
2
prawdopodobieństwa wartości położenia; (9c) hx̂i = x0 ; (9d) σ 2 (x̂) = a2 ; (9e) hp̂i = p0 ; (9f) σ 2 (p̂) = 41 ~a2
q
q
2
3
3 1−cos(ka)
e
(10a) |A| =
; (10b) ψ(p)
=
, gdzie p = k~; (10c) hxi = 0, hx2 i = a ; (10d) hpi = 0.
2
2a
aπ
k a
10
3