ind siłę

Wykład 21
16.2
16.3
16.4
16.5
Prądy indukcyjne, reguła Lenza c.d.
Prądy wirowe
Zjawisko indukcji wzajemnej
Zjawisko samoindukcji
17 Energia pola indukcji magnetycznej
18 Prądu zmienne
18.1 Impedancja obwodów prądu zmiennego
Reinhard Kulessa
1
Rozważmy następujący układ. Mamy dwa przewodniki połączone
ruchomym prętem. Całość znajduje się w polu indukcji magnetycznej
prostopadłym do płaszczyzny przewodników i pręta. Zwrot wektora
indukcji jest zaznaczony na rysunku.
Poruszamy prętem ze stałą prędkością w lewo. W czasie dt strumień zmienia
się o B · dA=B · l· dx = B ·l · v0 · dt.
I
dx
B
l
I
v0 dA
I
F
R
Reinhard Kulessa
V
Otrzymujemy więc
zgodnie z prawem
Faradaya siłę
elektromotoryczną
indukcji równą:
2
r
r dA
dx
ind
ind
I R = εi =V0 = −B⋅ = −Bl = −Bl v0
dt
dt
Napięcie to jest przyłożone do oporu R, przez który płynie prąd
indukcyjny Iind . Na oporze wydziela się ciepło Joule’a. Moc
wydzielona w przewodniku,
I
zgodnie z równaniem (9.23) jest
równa:
I
Bv
I
0 dA
F
R
V
dW
= I ⋅εi = I B l v0
Pe =
dt
Ze względu na zasadę zachowania
energii na jednostkę czasu musi zostać wykonana praca
mechaniczna związana z przesunięciem pręta.
Pm = F ⋅ v 0
Reinhard Kulessa
3
Ponieważ Pe = Pm , otrzymujemy więc:
F = I Bl
.
Jest to znana nam już siła Biota – Savarta. Siła ta wynika więc z
prawa indukcji Faradaya i zasady zachowania energii.
Zgodnie z regułą Lenza siła ta sprzeciwia się zmianom strumienia
pola magnetycznego.
W oparciu o
regułę Lenza
można
zbudować
silnik
liniowy.
Reinhard Kulessa
m
4
Po włączeniu prądu, pręt będzie przesuwał się w lewo, a
równocześnie zmienia się strumień indukcji magnetycznej.
W prosty sposób można pokazać, że prędkość przesuwu
pręta równocześnie unoszącego masę m jest równa:
1
mgR
(V0 −
)
v=
lB
lB
V0 + ε i = I R
Prawo Ohma.
Równowaga sił ciężkości i B-S
Siła elektromotoryczna indukcji
mg = I l B
εi
= −B l v
 V0 − B l v
mg = 
R

(16.5)

 ⋅l B

Reinhard Kulessa
5
16.3 Prądy wirowe
Załóżmy, że mamy pętlę z dobrego przewodnika, którą chcemy
wysunąć z pola magnetycznego.
N
S
Powstający przy wysuwaniu z pola pętli,
prąd indukcyjny stara się zachować w
niej stały strumień indukcji
magnetycznej. Prowadzi to do tego, że
linie sił pola magnetycznego są
częściowo zabierane przez wysuwaną z
pola pętlę.
Obliczmy jaka siła jest potrzebna, aby
usunąć z pola magnetycznego o
natężeniu B, pętlę z prądem z prędkością
v.
Reinhard Kulessa
6
F’
v
b
F
R
Płynący w pętli prąd
indukcyjny będzie miał
natężenie:
ε
dΦ dt
Bb v
i
I = =−
=−
R
-F’
R
R
Siła F, którą musimy działać w kierunku v wynosi:
r
r r
B2 ⋅ b2
⋅v
F = b ⋅ ( I × B) = −
R
(16.6)
Ruch pętli w polu indukcji magnetycznej doznaje proporcjonalnej
do prędkości siły hamowania. Ruch płytki przewodzącej w polu
indukcji jest źródłem prądów wirowych.
Reinhard Kulessa
7
16.4 Zjawisko indukcji wzajemnej
Rozważmy dwie zwojnice o różnych średnicach i różnej liczbie
zwojów umieszczonych jedna w drugiej.
1
1’
Pierwsza zwojnica posiada N1
zwojów i średnicę A1
A1
A2
Druga zwojnica posiada N2
zwojów i średnicę A2
l
2
2’
Do zacisków 1 i 1’ łączymy
źródło zasilania dające w zwojnicy prąd o natężeniu I1. Prąd I1
wytwarza w cewce pole indukcji magnetycznej równe B1 równe:
Reinhard Kulessa
8
N1
B1 (t ) = µ0 µ I1 (t )
l
Zmiana natężenia prądu I1 – dI1/dt powoduje powstanie w cewce
Zmiennego w czasie pola indukcji dB1/dt. To zaś powoduje w
cewce 2 pojawienie się siły elektromotorycznej indukcji V2ind.
ind
2
V
= −N2 ⋅ A1 ⋅
dB1
A1 N1N2 dI1
= −µ0µ ⋅
⋅
dt
l
dt
Postępując w sposób analogiczny przyłączając źródło prądu do
cewki 2, otrzymamy na siłę elektromotoryczną indukcji w cewce
1 wyrażenie:
ind
1
V
= −N1 ⋅ A1 ⋅ dB2
A1 N1N2 dI2
= −µ0µ ⋅
⋅
dt
l
dt
Reinhard Kulessa
9
Widzimy, że w obydwu wyrażeniach na siłę elektromotoryczną
indukcji występuje wspólny człon zależny jedynie o geometrii
zwojnic i przenikalności magnetycznej ośrodka. Otrzymujemy
bowiem:
V1ind = − L21 dI 2
V
Widzimy, że
ind
2
= − L12 dI 1
dt
(16.7)
dt
A1 N1 N2
L12 = L21 = µ0 µ
.
l
Jednostką indukcji wzajemnej jest 1 Henry = [Wb/A=V·s·A-1]
Reinhard Kulessa
10
16.6 Zjawisko samoindukcji
Z dotychczasowej dyskusji można odnieść wrażenie, że siła
elektromotoryczna indukcji powstaje tylko wtedy, gdy zmienny
strumień indukcji magnetycznej pochodzi z zewnątrz. Tak
jednak nie jest. Okazuje się bowiem, że siła elektromotoryczna
indukcji powstaje również wtedy, gdy pętla, lub inny obwód z
prądem sama jest przyczyną zmian strumienia indukcji.
Rozważmy dowolną pętlę z prądem.
A
Γ
A
r
I
dl
Strumień indukcji magnetycznej ΦM
wytworzony przez prąd I płynący w pętli
wynosi:
r r
r µ 0 µ dl × r
r r
Φ M = ∫∫ B ⋅ dA = ∫∫ dA ⋅
⋅I
3
∫
4π Γ r
A
A
Reinhard Kulessa
11
Równanie to możemy napisać w postaci ΦM = L ⋅ I .
Współczynnik indukcji własnej pętli z prądem jest więc równy:
r r
r µ 0 µ dl × r
.
L = ∫∫ dA ⋅
3
∫
4π Γ r
A
(16.8)
Gdy zmienia się natężenie prądu w przewodniku indukuje się siłą
elektromotoryczna indukcji:
εi = V
ind
0
dI
= −L ⋅
dt
.
(16.9)
A). Policzmy współczynnik indukcji własnej dla cewki o
długości l i liczbie zwojów N i przekroju o powierzchni A, przez
którą płynie prąd o natężeniu I.
Reinhard Kulessa
12
B(t)
I(t)
l
V0ind(t)
Liczyliśmy już dla takiej cewki pole indukcji magnetycznej. Mamy
więc:
N⋅ I
ΦM = B⋅ N⋅ A=µ0 µ ⋅ N⋅ A= L⋅ I
l
.
Współczynnik indukcji własnej cewki wynosi więc:
N2A
L = µ0 µ ⋅
l
Reinhard Kulessa
(16.10)
13
B). Współczynnik indukcji własnej kabla koncentrycznego
Policzmy sobie jako przykład indukcję własną kabla
koncentrycznego. Tworzą go dwa współśrodkowe walce, w których
antyrównolegle płynnie prąd o natężeniu I. Strefa zewnętrzna jest
wolna od pola indukcji
2b
magnetycznej. Wokół cylindra
2a
wewnętrznego roztacza się pole
x
indukcji B(r), jako zamknięte
V(x
B(r)
0 +x
)
pierścienie, dla których:
I
µ0 I
B(r ) =
2π r
r
I
V(x
0)
Strumień indukcji magnetycznej przez zakreskowaną powierzchnię
wynosi
b
r r x0 + x µ0 I
µ0 I x dr .
dr dx' =
Φ = B ⋅ dA =
M
∫∫
A
∫
2πKulessa
r
Reinhard
x0
2π
∫r
a
14
Mamy więc
µ0 I x a .
ln
ΦM =
2π
b
Zmiana strumienia indukcji magnetycznej w czasie wynosi więc:
dΦ µ 0 x
b dI
dI .
ln ⋅
=
= L( x)
dt
a dt
dt
2π
Współczynnik indukcji własnej kabla koncentrycznego wynosi
więc:
µ0
b ,
(16.11)
L=
x ln
2π
a
gdzie x jest długością kabla. Wraz z długością kabla zmienia się
również różnica potencjału między wewnętrzna a zewnętrzną
częścią kabla:
dI .
V ( x0 + x ) − V ( x ) = − L ( x ) ⋅
dt
Reinhard Kulessa
15
Zjawisko indukcji własnej ma bardzo ważne znaczenie przy
włączaniu i wyłączaniu obwodów
I
R
I = I 0 (1 − e
−
t
L/ R
)
L
dI
U0
dt
tzał
Reinhard Kulessa
=
U0
I0 =
L
U0
I = I0 e
R
L/R
−
t
L/R
I0 / e
t
twył
16
17 Energia pola indukcji magnetycznej
Załóżmy, że mamy szpulę, dla której opór jest równy zero. W
takim razie, aby utrzymać w szpuli prąd o natężeniu I lub I+dI, nie
trzeba włożyć żadnej pracy.
Równocześnie przy przejściu z prądem od I do I+dI powstaje siła
elektromotoryczna indukcji własnej VL, która sprzeciwia się
zmianie natężenia prądu.
I
I+dI
I
t
t+dt
t
dI
VL = − L
dt
Reinhard Kulessa
17
Aby wymusić zmianę natężenia prądu o dI, trzeba wykonać
pracę:
1
dI
dW = −VL ⋅ I ⋅ dt = L⋅ ⋅ I ⋅ dt = L d(I 2 )
2
dt
Wynika stąd, że aby zmienić prąd w szpuli od 0 do I trzeba
wykonać pracę:
(17.1)
W = 1 LI2
2
Równocześnie w szpuli powstaje pole indukcji magnetycznej
1
NI
l
⇒I =
⋅ B⋅
B( I ) = µ0 µ
µo µ
l
N
Biorąc ze wzoru (16.10) wyrażenie na współczynnik samoindukcji
takiej szpuli, uzyskamy następujące wyrażenie na pracę W:
Reinhard Kulessa
18
(l ⋅ A) r 2 1 r r
W=
B = B ⋅ H (l ⋅ A) ,
2µ0 µ
2
(17.2)
r
r
bo B = µ 0 µ H . (l·A) = τ jest objętością zajmowaną przez
pole indukcji magnetycznej. Otrzymujemy więc na gęstość
energii pola magnetycznego wyrażenie:
W 1 r r
w=
= B⋅H
τ
2
(17.3)
Rozważania dotyczące szpuli możemy uogólnić dla dowolnego
pola, które jest jednorodne w objętości dτ. Pole w objętości dτ
można sobie przedstawić jako pochodzące od maleńkiego
solenoidu. Wobec tego równanie (17.3) obowiązuje dla każdego
przypadku.
Reinhard Kulessa
19
18 Prądy zmienne
18.1 Impedancja obwodów prądu zmiennego
Przy omawianiu siły elektromotorycznej indukcji rozważaliśmy
SEM indukcji dla obracającej się pętli z prądem (równanie (16.4)).
ε = ε 0 sin ωt
,
Gdzie ε 0 = Φ ⋅ ω jest amplitudą i przedstawia największą
wartość SEM. Możemy użyć sinusoidalnie zmienną w czasie
siłę elektromotoryczną jako źródło prądu.
W dowolnym obwodzie, oprócz tej siły elektromotorycznej
pojawi się siła elektromotoryczna indukcji własnej:
εS
dI
= −L
dt
Reinhard Kulessa
20
ε
∼
R
L
Zgodnie z prawem Kirchoffa mamy
IR = ε + ε S
Czyli,
dI
RI + L = ε 0 sin ωt
dt
(18.1)
Rozwiązania tego równania będziemy szukali w postaci:
I = I 0 sin(ωt − ϕ )
gdzie I0 i ϕ są stałymi całkowania.
Po wstawieniu przewidzianego rozwiązania do równania (18.1) i
kilku przekształceniach otrzymujemy;
Reinhard Kulessa
21
Lω
tg ϕ =
R
I0 =
ε
0
(18.2)
L 2ω 2 + R 2
Na natężenie prądu otrzymamy następujące wyrażenie:
I=
∼
R
C
ε
Lω
sin(ωt − arctg
)
2 2
2
R
Lω +R
0
(18.3)
Dla obwodu z oporem i pojemnością
uzyskamy następujące równania:
IR + V = ε
Q =V C
Reinhard Kulessa
22
dQ
dV
= I =C
dt
dt
dI dV
R +
= ε 0ω cos ω t
dt dt
Równanie, które mamy rozwiązać jest nastepujące:
dI 1
R + I = ε 0ω cos ω t
dt C
(18.4)
I znów szukając rozwiązania takiego jak poprzednio, uzyskujemy:
1
−
ωC
tg ϕ =
R
I0 =
ε
0
1
R + 2 2
ω C
(18.5)
2
23
Natężenie prądu płynącego w obwodzie będzie miało następującą
postać:
I=
ε
1
R + 2 2
ω C
2
Wyrażenia
0
1
ωC
sin(ω t + arctg
) .
R
(18.6)
ZL = R +ω L
2
2
2
ZC = R2 + 1 2 2
ω C
nazywamy oporem pozornym obwodu lub impedancją.
Reinhard Kulessa
24