Statyka płynów - zadania

Statyka płynów - zadania
Zadanie 1
Wyznaczyć rozkład ciśnień w cieczy znajdującej się w stanie spoczynku w polu sił ciężkości.
Rozwiązanie:
Ponieważ na cząsteczki cieczy działa wyłącznie siła ciężkości, więc składowe wektora jednostkowej
siły masowej będą miały wartość:
= 0,
= 0,
=
Równanie różniczkowe opisujące rozkład ciśnienia będzie miało następującą postać:
=
∙
∙
, stąd
=
∙
∙ +
+
∙
Stałą c wyznaczamy z warunku brzegowego
=0
dla
=
zatem:
=
+
∙
∙( −
)=
∙ℎ
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
Statyka płynów - zadania
Zadanie 2
Obliczyć wysokość nadciśnienia w zbiorniku zawierającym wodę o gęstości ρw = 1000 kg/m3.
Manometr wypełniony cieczą o gęstości ρm = 13600 kg/m3 wskazuje wychylenie z = 0,4 m. Poziom
zerowy manometru znajduje się H = 2 m poniżej zwierciadła cieczy w zbiorniku.
pn
ρw
I
A
I
B
Rozwiązanie:
Jeżeli skorzystamy z prawa naczyń powiązanych dla przekroju I-I:
=
i obliczymy ciśnienie w punktach A i B
=
+
+
=
1
+ ∆
2
+∆ ∙
∙
∙
∙
otrzymujemy:
=∆ ∙
ℎ =
ℎ = 0,4 ∙
−
∙
1
2
=∆ ∙
∙
−
∙
−
1
−
2
∙
13600 1
− − 2 = 3,24
1000 2
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
Statyka płynów - zadania
Zadanie 3
Obliczyć ciśnienie względne w punktach 1, 2, 3, 4, 5 zbiornika mając dane: h1 = 1 m, h2 = 0,7 m, h3 =
3
0,4 m, h4 = 1 m, ∆z = 0,8 m, ρw = 1000 kg/m (gęstość powietrza ρp pominąć).
ρp
4
2
∆z
ρp
1
h3
h4
ρw
h2
h1
3
ρw
5
Rozwiązanie:
Ciśnienie w poszczególnych punktach obliczamy na podstawie prawa naczyń połączonych
= ∙
∙
= 0,8 ∙ 1000 ∙ 9,81 = 7850
=
+ (ℎ − ℎ ) ∙
∙
= 7850 + (1 − 0,7) ∙ 1000 ∙ 9,81 = 10790
=
− (ℎ − ℎ ) ∙
∙
= 7850 − (1 − 0,7) ∙ 1000 ∙ 9,81 = 4910
=
=ℎ ∙
∙
−
= 4910
= 1 ∙ 1000 ∙ 9,81 − 4910 = 4900
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
Statyka płynów - zadania
Zadanie 4
Obliczyć nadciśnienie nad zwierciadłem cieczy o gęstości ρw = 1000 kg/m3 wypełniającej walczak.
Wychylenie manometrów ∆ z1 = ∆z2 = 0,5 m, gęstość płynu manometrycznego ρm =13600 kg/m
3
(gęstość powietrza pominąć). Poziom zerowy manometrów znajduje się H = 2 m poniżej zwierciadła
zbiornika.
pn
ρw
0
0
ρm
ρm
Rozwiązanie:
Prawo naczyń połączonych dla płaszczyzny poziomej, stycznej do zwierciadła w lewych ramionach
manometrów, oznaczając symbolem p’ ciśnienie panujące w przewodzie łączącym oba manometry
różnicowe:
+
+
∙
∙
1
+ ∆ ∙
∙ =
2
=∆ ∙
∙ +
+∆ ∙
∙
Stąd,
= (∆
−∆ )∙
∙
−
1
+ ∆
2
∙
∙
Po podstawieniu wartości otrzymujemy
= 1,11 ∙ 10
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
Statyka płynów - zadania
Zadanie 5
Trzy niemieszające się ciecze o gęstościach ρ1 = 700 kg/m3, ρ2 = 1400 kg/m3, ρ3 = 2000 kg/m3 nalane
do naczynia tworzą warstwy o grubościach H1 = H2 = H3 = 2 m. Obliczyć ciśnienie hydrostatyczne na
poziomie dna oraz wzniesienia h1, h2, h3 poziomów w rurkach piezometrycznych.
ρ1
ρ2
ρ3
Rozwiązanie:
Ciśnienie hydrostatyczne na dnie naczynia wynosi:
=
∙
∙
+
∙
∙
+
∙
= 2 ∙ 9,81 ∙ (700 + 1400 + 2000) = 0,804 ∙ 10
∙
Wysokości h1, h2, h3 obliczamy na podstawie prawa naczyń połączonych:
ℎ =
ℎ =
ℎ =
+
+
∙
+
+
+
∙
∙
+
= 6
=2+2∙
=2+2∙
700
= 5
1400
1400
700
+2∙
= 4,1
2000
2000
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
Statyka płynów - zadania
Zadanie 6
Obliczyć zmniejszenie ∆h wskazania mikromanometru mierzącego ciśnienie w zbiorniku, gdy poziom
3
cieczy został obniżony o ∆H = 0,5 m. Gęstość cieczy w zbiorniku ρ = 1000 kg/m , w mikromanometrze
3
natomiast ρm = 13600 kg/m , stosunek średnic d/D = 0,1.
Rozwiązanie:
Równanie wyrażające prawo naczyń połączonych w płaszczyźnie I-I dla naczynia wypełnionego do
wysokości H i H-∆H będą miały postać:
∙
( − ∆ − ∆ℎ ) ∙
∙
∙
=ℎ∙
+ ∆ℎ ∙
∙
∙
= (ℎ − ∆ℎ) ∙
∙
Wartość ∆h’ można obliczyć z porównania objętości cieczy manometrycznej, która wpłynęła z rurki do
zbiornika mikromanometru:
∙
4
∆ℎ =
∙
4
∆ℎ
∆ℎ = ∆ℎ ∙
Po podstawieniach otrzymujemy:
∆ℎ =
∆
−1 ∙
∆ℎ =
−1
0,5
= 0,039
13600
[(0,1) + 1] ∙
−
1
1000
Zadanie 7
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
Statyka płynów - zadania
Obliczyć wartość siły P niezbędną do uzyskania nacisku P2=1·106 N. Średnice tłoków wynoszą d = 50
mm, D = 500 mm. Gęstość cieczy w cylindrach i ciężar tłoków pominąć.
Rozwiązanie:
Nadciśnienie w cylindrze I wynosi:
=
4∙
∙
Natomiast siła działająca na tłok w cylindrze I :
=
∙
4
∙
=
∙
Nadciśnienie w cylindrze II:
=
4∙
∙
=
∙
∙
4
∙
A siła działająca na tłok II:
=
∙
4
∙
=
∙
Zatem,
=
= 10 ∙
∙
50
500
= 100
Zadanie 8
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
Statyka płynów - zadania
Obliczyć współrzędną zƩ i moduł naporu N na pionową ścianę, której kontury tworzy parabola o
wymiarach b = 0,5 m, h = 0,8m i oś x układu współrzędnych.
dz
h
ZΣ
Z
Rozwiązanie:
W celu rozwiązania zadania, należy znaleźć równanie krzywej ograniczającej rozpatrywaną
powierzchnię. W tym wypadku szukamy równania paraboli określonej wymiarami b i h. Wychodząc z
kanonicznego równania paraboli:
= 2∙
∙
O wierzchołku leżącym w początku układu osi x, z, można napisać:
= 2∙
∙ (ℎ − )
Dla paraboli spełniony jest warunek:
2
= 2∙ ∙ℎ
Stąd otrzymujemy równanie paraboli:
=ℎ−
4ℎ
∙
Napór na rozpatrywaną powierzchnię:
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
Statyka płynów - zadania
=
∙
∙
=
∙
∙2∙ ∙
Po zróżniczkowaniu paraboli otrzymujemy:
=−
8∙ ∙ℎ
∙
Po podstawieniu z oraz bezwzględnej wartości dz, otrzymujemy:
/
=
∙
/
ℎ−
4ℎ
∙2∙ ∙
8∙ ∙ℎ
∙
=
16 ∙
∙
∙ℎ
−
4∙
4
4
∙ ∙ ∙ ∙ℎ =
∙ 1000 ∙ 9,81 ∙ 0,5 ∙ 0,8ℎ = 837
15
15
Współrzędną środka naporu zƩ obliczamy z równania równowagi momentów:
=
=
∙
Z poprzednich rozważań:
=
16 ∙
∙
∙ℎ
∙
−
4∙
∙
Po podstawieniu otrzymujemy:
∫
/
16 ∙
∙
∙ℎ
=
∙
4
15 ∙
−
∙
4∙
∙
∙ ℎ−
4ℎ
∙
∙ ∙ℎ
/
60 ∙ ℎ
=
3
−
8∙
+
16 ∙
=
4
4
∙ ℎ = ∙ 0,8 = 0,457
7
7
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
Statyka płynów - zadania
Zadanie 9
Obliczyć wartość siły F niezbędnej do utrzymania obrotowo zamocowanej klapy kwadratowej o boku a
3
= 0,5m pod kątem α = 60˚. Zbiornik jest wypełniony wodą o gęstości ρw = 1000 kg/m . Siła F jest
rF
rΣ
h
zΣ
przyłożona w środku geometrycznym klapy zanurzonym na głębokości h = 2 m. Ciężar klapy pominąć.
Rozwiązanie
Klapa będzie utrzymana w stanie równowagi, gdy spełniony będzie warunek:
∙
≥
∙
Zgodnie z rysunkiem do zadania:
=
=ℎ+
2
2
∙ sin( )
∙ sin( ) −
Wartość naporu hydrostatycznego określa wzór:
=
∙
∙
∙
=
∙ℎ∙
∙
Jego składowa pozioma:
=
∙ sin( ) =
∙ℎ∙
∙
∙ sin( )
Głębokość zanurzenia środka naporu:
=
+
( )=ℎ+
∙
( )=ℎ+
∙
12 ∙ ℎ ∙
∙
( )
∙
( )
12 ∙ ℎ
Zatem,
=ℎ+
2
∙ sin( ) − ℎ −
12 ∙ ℎ
∙
( )=
2
∙ sin( ) −
12 ∙ ℎ
Równanie równowagi momentów przybiera postać:
2
∙ sin( ) ∙
≥
2
∙ sin( ) −
12 ∙ ℎ
∙
( ) ∙
∙ℎ∙
∙
∙ sin( )
Stąd:
≥∙ 1 −
6∙ℎ
∙ sin( ) ∙
∙ℎ∙
∙
∙ sin( )
Po podstawieniu wartości:
≥∙ 1 −
0,5
∙ sin(60°) ∙ 0,5 ∙ 2 ∙ 1000 ∙ 9,81 ∙ sin(60°) = 409,4
6∙2
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
Statyka płynów - zadania
Zadanie 10.
Otwór o średnicy d = 0,15 m w dnie zbiornika jest zamknięty kulą o średnicy D = 0,2 m i gęstości ρ1 =
3
7800 kg/m . Z jaką siłą P kula jest przyciskana do krawędzi otworu, jeżeli wysokość wody w zbiorniku
3
D
wynosi h = 0,6 m, a jej gęstość ρ2 = 1000 kg/m .
ρ1
d
Rozwiązanie
Na kulę działa napór hydrostatyczny oraz ciężar kuli. Kulę przyciska składowa pionowa naporu, której
wartość to:
N =ρ ∙ g ∙ V −ρ ∙ g ∙ V = ρ ∙ g∙ V
V1 – objętość zakreskowana ukośnie
V =
π∙D
1
(h − z ) − ∙
4
2
∙
6
V2 – objętość zakreskowana poziomo
V =
π∙D
1
(h − z ) + ∙
4
2
∙
6
−
π∙d
1
d
∙h− ∙z ∙ 3∙
4
6
2
Wyrażenia po prawej stronie równania określają:
- objętość walca o wysokości h-z1;
- objętość połowy kuli;
- objętość walca o wysokości h;
- objętość czaszy o wysokości z2;
Po podstawieniu i redukcji otrzymujemy:
=
−
=
π∙d
π
d
∙h− ∙z ∙ 3∙
4
6
2
+z
−
∙
6
Z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć:
=
2
=
2
−
2
−
Po podstawieniu wartości otrzymujemy:
= 66
Ciężar kuli:
=
∙
∙
∙
6
= 7800 ∙ 9,81 ∙
∙ 0,2
= 320
6
Kula jest przyciskana z siłą:
=
+
= 66 + 320 = 386
Notatki w Internecie | Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
+z