zadania - Instytut Kulturoznawstwa UAM

Logika 1
Elementy metalogiki
Mariusz Urbański
Instytut Psychologii UAM
[email protected]
1
Niech X , Y , Z będą zbiorami formuł zdaniowych pewnego języka I-go
rzędu J, takimi że X ⊆ Y oraz Y ⊆ Z . Przypuśćmy, że formuła A
jest jedna z konsekwencji logicznych Y . Czy A jest również
konsekwencją logiczną zbioru X lub zbioru Z ?
2
Niech X , Y , Z będą zbiorami formuł zdaniowych pewnego języka I-go
rzędu J, takimi że X ⊆ Y oraz Y ⊆ Z . Przypuśćmy, że formuła A nie
jest jedną z konsekwencji logicznych Y . Czy A jest konsekwencją
logiczną zbioru X lub zbioru Z ?
3
Niech X , Y , Z będą zbiorami formuł zdaniowych pewnego języka I-go
rzędu J, takimi że X ⊆ Z oraz Y ⊆ Z . Przypuśćmy, że formuła A jest
jedna z konsekwencji logicznych X . Czy A jest również konsekwencją
logiczną zbioru Y lub zbioru Z ?
amu
kognitywistyka, rok I (IP UAM)
Logika 1
2/6
4
Które z następujących stwierdzeń jest prawdziwe:
1
2
jeśli formuła zdaniowa A jest jedną z konsekwencji zbioru formuł
zdaniowych X , to formuła zdaniowa A jest jedną z konsekwencji
logicznych zbioru formuł zdaniowych X ,
jeśli formuła zdaniowa A jest jedną z konsekwencji logicznych zbioru
formuł zdaniowych X , to formuła zdaniowa A jest jedną z konsekwencji
zbioru formuł zdaniowych X .
5
Niech X i Y będą zbiorami formuł zdaniowych języka pierwszego
rzędu takimi, że dla każdej formuły B należącej do zbioru Y istnieje
co najmniej jedna derywacja tej formuły w oparciu o zbiór X .
Przypuśćmy, że A jest formułą zdaniową taką, że A ∈ Cn(Y ). Czy w
tej sytuacji A ∈ Cn(X ) ?
6
Przyjmijmy, że językiem Jana jest język pierwszego rzędu. Załóżmy,
że Jan nie ma żadnej wiedzy o faktach, tj. że zbiór przekonań Jana
dotyczących faktów jest zbiorem pustym. Czym w tej sytuacji jest
zbiór konsekwencji logicznych zbioru przekonań Jana dotyczących
faktów?
amu
kognitywistyka, rok I (IP UAM)
Logika 1
3/6
7
Rozstrzygnij, które z następujących stwierdzeń są prawdziwe dla
A = ∀xP(x) → ∃xP(x):
1
2
3
4
5
Formuła A jest aksjomatem KRP.
Istnieje derywacja formuły A w oparciu o zbiór Trp (tez KRP).
A ∈ Cn(∅)
A∈
/ Cn(∅)
Istnieje skończony podzbiór Z zbioru Trp taki, że A ∈ Cn(Z ).
8
Wykaż, że zbiór Trp (wszystkich tez KRP) jest teorią pierwszego
rzędu.
9
Czy teoria pierwszego rzędu może być zbiorem skończonym? Czym
jest najmniejsza (w sensie relacji inkluzji) teoria pierwszego rzędu?
amu
kognitywistyka, rok I (IP UAM)
Logika 1
4/6
10
Które z poniższych stwierdzeń nie jest prawdziwe:
1
2
jeśli X jest syntaktycznie sprzecznym zbiorem formuł zdaniowych
języka pierwszego rzędu, to istnieje formuła zdaniowa A tego języka
taka, że obie formuły, A oraz ¬A, są elementami zbioru X ,
jeśli X jest syntaktycznie sprzecznym zbiorem formuł zdaniowych
języka pierwszego rzędu, to istnieje formuła zdaniowa A tego języka
taka, że obie formuły, A oraz ¬A, są elementami zbioru CnL (X ).
11
Czy możemy powiedzieć, że pusty zbiór formuł zdaniowych jest
niesprzeczny?
12
Wiadomo, że dla pewnej formuły zdaniowej A (języka J) zachodzi:
A ∈ CnL (X ) oraz ¬A ∈ CnL (X ). Co możemy powiedzieć o
sprzeczności, niesprzeczności, zupełności zbioru X ?
13
Niech X będzie dowolnym sprzecznym zbiorem formuł pewnego
języka pierwszego rzędu. Czy X jest zupełny? Uzasadnij odpowiedź.
amu
kognitywistyka, rok I (IP UAM)
Logika 1
5/6
14
Niech X będzie zbiorem formuł zdaniowych o następującej własności:
nie istnieje formuła A taka, że A ∈ X oraz ¬A ∈ X . Czy to wystarczy,
aby stwierdzić, że zbiór X jest niesprzeczny? Jak będzie brzmiała
odpowiedź na to pytanie, jeśli założymy, że X jest teorią pierwszego
rzędu?
15
Niech X będzie zbiorem formuł zdaniowych o następującej własności:
istnieje formuła A taka, że A ∈
/ X oraz ¬A ∈
/ X . Czy to wystarczy, aby
stwierdzić, że zbiór X jest niezupełny? Jak będzie brzmiała odpowiedź
na to pytanie, jeśli założymy, że X jest teorią pierwszego rzędu?
amu
kognitywistyka, rok I (IP UAM)
Logika 1
6/6