Wstęp do teorii miary

Wstęp do teorii miary
SPPI, rok II
Wykład 5
1. Konstrukcja miary Lebesgue’a na R. Dla odcinka I ⊂ R oznaczmy długość I przez |I|.
Definiujemy funkcję zbioru na podzbiorach R:
λ∗ (A) = inf{
X
|In | : I1 , I2 , ...są przeliczalnym pokryciem zbioru A odcinkami otwartymi}.
n
Fakt 1 Miara zewnętrzna λ∗ odcinka jest równa jego długości.
Dowód Rozważmy odcinek skończony I = [a, b]. Ponieważ [a, b] ⊂ (a − , b + ), mamy
λ∗ ([a, b]) ¬ b − a + 2 = |I| + 2, gdzie może być dowolnie mały. Zatem λ∗ (I) ¬ |I| dla
odcinków domkniętych, a tym bardziej dla odcinków niedomkniętych.
Pozostaje pokazać, że
λ∗ (I) ­ b − a.
Weźmy dowolne pokrycie przeliczalne I = [a, b] odcinkami otwartymi I1 , I2 , .... Wiadomo wtedy, że można z niego wybrać pokrycie skończone I1 , I2 , ..., IN (twierdzenie HeineBorela). Oznaczmy ten z odcinków In , który pokrywa a przez (c1 , d1 ). Jeśli jeszcze nie
pokryliśmy I, tzn. d1 < b, to znajdźmy odcinek (c2 , d2 ), który pokrywa d1 . I tak dalej. Po
skończenie wielu krokach dostaniemy (cr , dr ), który zawiera b. Wtedy
∞
X
n=1
|In | ­
N
X
n=1
|In | ­
r
X
(bn − an )
n=1
= (br − ar ) + ... + (b1 − a1 ) = br − (ar − br−1 ) −... − (a2 − b1 ) −a1
|
{z
<0
}
|
{z
<0
}
> br − a1 > b − a.
Biorąc infimum po pokryciach mamy tezę dla domkniętych odcinków.
Otwarty odcinek I możemy dla dowolnego > 0 przybliżyć przez domknięty J tak, że
J ⊂ I i |J| > |I| − . Wtedy
¯ = |I|
¯ = |I|.
|I| − < |J| = λ∗ (J) ­ λ∗ (I) ¬ λ∗ (I)
Zatem |I| − < λ∗ (I) ¬ |I| dla dowolnego , więc mamy równość λ∗ (I) = |I|.
Dla odcinków nieskończonych I (prostej lub półprostych) wypełniamy od dołu przez J
domknięte o coraz większych miarach. Dostaniemy λ∗ (I) = ∞. Lemat 2 Półprosta (a, ∞) jest zbiorem mierzalnym.
Dowód Niech A będzie dowolnym zbiorem. Oznaczmy A1 = A∩(a, ∞), A2 = A∩(−∞, a].
Mamy pokazać, że
λ∗ (A1 ) + λ∗ (A2 ) ¬ λ∗ (A).
Jeśli λ∗ (A) = ∞, to oczywiste. Jeśli nie, to dla dowolnego > 0 istnieje ciąg odcinków
otwartych (In )n∈N pokrywający A i spełniający
X
|In | ¬ λ∗ (A) + .
n
1
Niech In0 = In ∩(a, ∞), In00 = In ∩(−∞, a]. Wtedy In0 i In00 są albo puste, albo są przedziałami
i
|In | = |In0 | + |In00 | = λ∗ (In0 ) + λ∗ (In00 ).
Ponieważ In0 pokrywają A1 mamy
λ∗ (A1 ) ¬
X
λ∗ (In0 )
n
i podobnie
λ∗ (A2 ) ¬
X
λ∗ (In00 )
n
a stąd
λ∗ (A1 ) + λ∗ (A2 ) ¬
(λ∗ (In0 ) + λ∗ (In00 )) =
X
X
n
n
|In | ¬ λ∗ (A) + ).
Twierdzenie 3 Każdy zbiór borelowski jest λ∗ -mierzalny.
Dowód Wynika z powyższego lematu, twierdzenia, że zbiory mierzalne względem miary
zewnętrznej tworzą σ-algebrę i definicji zbiorów borelowskich. Twierdzenie 4 λ∗ (E) = λ∗ (E + y) dla dowolnego E i y ∈ R.
Dowód Wystarczy pokazać, że λ∗ (E) ­ λ∗ (E + y). Ustalmy i znajdźmy pokrycie {In }
P
zbioru E odcinkami tak, by n |In | ¬ λ∗ (E) + . Wtedy odcinki In + y pokrywają E + y.
Mamy więc
X
X
λ∗ (E + y) ¬
|In + y| ¬
|In | ¬ λ∗ (E) + ,
n
n
co wobec dowolności kończy dowód. Twierdzenie 5 Dla każdego E λ∗ -mierzalnego E +y jest też mierzalny i λ(E +y) = λ(E).
Dowód Dla dowolnego zbioru A mamy
λ∗ (A ∩ (E + y)) + λ∗ (A ∩ (E + y)c ) = λ∗ (((A − y) ∩ E) + y) + λ∗ (((A − y) ∩ E c ) + y)
= λ∗ ((A − y) ∩ E) + λ∗ ((A − y) ∩ E c ) = λ∗ (A − y) = λ∗ (A).
2. Wielowymiarową miarę Lebesgue’a, czyli miarę na Rn definiujemy używając zamiast
odcinków prostokątów otwartych. Prostokąty otwarte w Rn to zbiory postaci (a1 , b1 ) ×
(a2 , b2 ) × ... × (an , bn ). Kładziemy:
λ∗n (a1 , b1 ) × (a2 , b2 ) × ... × (an , bn ) = (b1 − a1 ) · ... · (bn − an )
a dowolny zbiór pokrywamy prostokątami i bierzemy kres dolny po wszystkich pokryciach.
Zachodzą twierdzenia analogiczne do powyższych i są w podobny sposób dowodzone. Znów
wszystkie zbiory borelowskie są λ∗n -mierzalne, gdzie zbiory borelowskie to σ-ciało generowane przez otwarte prostokąty.
2