Sterowanie wielopoziomowe w systemach zło˙zonych

System
Identy…kowalność
Metody identy…kacji
Sterowanie
Sterowanie wielopoziomowe w systemach
z÷
oz·onych – identy…kacja i optymalizacja
Grzegorz Mzyk
Politechnika Wroc÷
awska, Wydzia÷Elektroniki
23 lutego 2015
Podsumowanie
System
Identy…kowalność
Metody identy…kacji
Sterowanie
Plan wyk÷
adu
1
Opis systemu z÷
oz·onego, sformu÷
owanie problemu
2
Warunki identy…kowalności
3
Metody identy…kacji
4
Optymalizacja dwuetapowa
5
Procedury koordynacji
6
Podsumowanie, literatura
Podsumowanie
System
Identy…kowalność
Metody identy…kacji
Sterowanie
Podsumowanie
Opis systemu
u1
un
ui
1
i
A1, B1
A,i Bi
x1
xi
1
n
An , Bn
i
xn
n
H
System z÷
oz·ony
y1
yi
yn
System
Identy…kowalność
Metody identy…kacji
Sterowanie
Opis systemu
yi = Ai xi + Bi ui + ξ i
(i = 1, 2, ..., n),
u = (u1 , u2 , ..., un )T
x
= (x1 , x2 , ..., xn )T
y
= (y1 , y2 , ..., yn )T
xi = Hi y + δi
Podsumowanie
System
Identy…kowalność
Metody identy…kacji
Sterowanie
Opis systemu
A = diag(A1 , A2 , ..., An )
B
= diag(B1 , B2 , ..., Bn )
H
=
H1T , H2T , ..., HnT
y = Ax + Bu + ξ
x = Hy + δ
T
Podsumowanie
System
Identy…kowalność
Metody identy…kacji
Sterowanie
Przyk÷
ad – system kaskadowy
u1
u3
u2
A1, B1
A2 , B2
A3 , B3
x1
x2  y1
x3  y 2
System kaskadowy
2
3
0 0 0
H=4 I 0 0 5
0 I 0
y3
Podsumowanie
System
Identy…kowalność
Metody identy…kacji
Sterowanie
Podsumowanie
Identy…kowalność
System kaskadowy
Twierdzenie
Element i-ty jest identy…kowalny w z÷
o·
zonym systemie
kaskadowym wtedy i tylko wtedy, gdy spe÷
niony jest warunek
rank [Ai
1 Ai 2 ...A1 ,
Ai
1 Ai 2 ...B1 ,
[Hasiewicz, Int. J. Sys. Sci., 1987]
..., Ai
1 Bi 2 ,
Bi
1]
= dim xi
System
Identy…kowalność
Metody identy…kacji
Sterowanie
Podsumowanie
Identy…kowalność
System o dowolnej strukturze po÷
aczeń
¾
Twierdzenie
Element i-ty jest identy…kowalny w z÷
o·
zonym systemie o dowolnej
strukturze po÷
acze´
¾ n wtedy i tylko wtedy, gdy spe÷
niony jest warunek
h
i
rankHi K (1 ) , ..., K (i 1 ) , K (i +1 ) , ..., K (n ) = dim xi ,
gdzie K (i ) oznacza i-ty blok kolumnowy macierzy K .
[Hasiewicz, Int. J. Sys. Sci., 1987]
System
Identy…kowalność
Metody identy…kacji
Sterowanie
Metoda najmniejszych kwadratów
(1 )
(2 )
(N )
YiN
= [yi , yi , ..., yi
WiN
= [wi , wi , ..., wi
= (xi , ui )T
wi
(1 )
(2 )
]
(N )
]
YiN = (Ai , Bi )WiN + ξ i
w
ei = (e
xi , ui )T ,
e
xi = Hi y = xi
(1 )
(2 )
(N )
fiN = [w
W
ei , w
ei , ..., w
ei ]
T f fT
b il .s . , B
bil .s . ) = YiN W
fiN
(A
WiN WiN
δi
1
Podsumowanie
System
Identy…kowalność
Metody identy…kacji
Sterowanie
Metoda zmiennych instrumentalnych
T f fT
b li .s . , B
bil .s . ) = YiN W
fiN
(A
WiN WiN
T T
b ii .v . , B
bii .v . ) = YiN ΨTiN W
fiN
(A
ΨiN
(1 )
fiN
W
(2 )
(N )
= [w
ei , w
ei , ..., w
ei
ΨiN
(k )
1
,
]
(1 )
(2 )
(N )
[ψi , ψi , ..., ψi ]
=
ψi
1
(k )
(k ) T
= ψi ,1 , ψi ,2
.
optymalne instrumenty
ψ i = w i = ( x i , ui ) T ,
x i = E (xi ju ) = Hi Ku
Podsumowanie
System
Identy…kowalność
Metody identy…kacji
Sterowanie
Podejście globalne
y = Ax + Bu + ξ
x = Hy + δ
= A (Hy + δ) + Bu + ξ,
AH ) y = Bu + Aδ + ξ,
y
(I
y = Ku + G θ
K = (I
AH )
przepis na sterowanie
u=K
1
yż
1
B
Podsumowanie
System
Identy…kowalność
Metody identy…kacji
Podejście lokalne
decyzja lokalna o sterowaniu ui (balansowanie)
yż ,i = ai xi + bi ui
xi = Hi yż
przepis na sterowanie
ui =
yż ,i
ai Hi yż
bi
Sterowanie
Podsumowanie
System
Identy…kowalność
Metody identy…kacji
Sterowanie
Funkcja celu i ograniczenia
ograniczenia
(ui , xi ) 2 Ci
r0
∑ ri (ui , xi )
i
lokalna funkcja celu
Qi (ui , xi )
globalny wskaźnik jakości
= ψ(Q1 , Q2 , ..., Qn )
ψ() – funkcja zachowujaca
¾ porzadek
¾
np. Q = ∑ Qi
Q
i
Podsumowanie
System
Identy…kowalność
Metody identy…kacji
Sterowanie
Podsumowanie
Dwupoziomowa optymalizacja (dekompozycja zadania
optymalizacji)
u =
u (1 ) , u (2 )
u (1 ) – zmienne górnego poziomu (tzw. koordunujace)
¾
u (2 ) – zmienne dolnego poziomu
max Q (u ) = max max Q u (1 ) , u (2 )
u
u (1 )
u (2 )
System
Identy…kowalność
Metody identy…kacji
Sterowanie
Podsumowanie
Procedury koordynacji
Metoda bezpośrednia
warstwa górna
Q
∑ rd
= ψ (Q1 (yd , rd1 ), ..., Qn (yd , rdn )) ! max
yd ,rd
r0
i
i
warstwa dolna
Qi (ui , xi ) ! max
ui
xi
= Hi yd ,
(ui , xi ) 2 Ci ,
ri
rdi
problem: dla pewnych (yd , rd ), zadanie dolnego poziomu moz·e nie
mieć rozwiazania
¾
(yd , rd ) 2 YR
zbiór YR – tudny do wyznaczenia (zalez·y od ograniczeń i struktury
systemu)
System
Identy…kowalność
Metody identy…kacji
Sterowanie
Procedury koordynacji
Metoda kar
warstwa górna
Q = ψ Q 1 (yd , rd1 ), ..., Q n (yd , rdn ) ! max
yd ,rd
warstwa dolna
Q i = Qi (ui , xi )
K ( yi
ydi ) ! max
ui
Podsumowanie
System
Identy…kowalność
Metody identy…kacji
Sterowanie
Podsumowanie
Procedury koordynacji
Metoda cen
warstwa górna
φ(λ) =
∑ Qi (ui (λ), xi (λ)) + hλ, x (λ)
i
Hy (λ)i ! min
λ
warstwa dolna
e = Qi (ui , xi ) + hλi , ui i
Q
hµi , yi i ! min
ui
System
Identy…kowalność
Metody identy…kacji
Sterowanie
Uogólnienia
Systemy nieliniowe
ui
ui

wi
 

w'i
 
i 
i 
( i ) ni
j
j0
(i)
j
pi
vi
yi
Fi ()
v'i
j0
xi
xi
Blok typu Hammersteina
Xn
Un
*
Zn
Vn
g ()
Yn
*
Blok typu Wienera
yi
Podsumowanie
System
Identy…kowalność
Metody identy…kacji
Sterowanie
Literatura
[1] Findeisen, W., Bailey, F.N., Brdyś, M., Malinowski, K.,
Tatjewski, P.,Woźniak, A.: Control and Coordination in
Hierarchical Systems. J. Wiley, Chichester (1980)
[2] Findeisen, W., Wielopoziomowe uk÷
ady sterowania, PWN,
Warszawa (1974)
Podsumowanie