Sprawdzenie zasady zachowania energii całkowitej

Sprawdzenie zasady zachowania energii całkowitej
Cel:
 Poznanie przemian energetycznych zachodzących w układach izolowanych.
 Sprawdzenie zasady zachowania energii całkowitej.
Pytania kontrolne:




Zasada zachowania energii całkowitej.
Energia kinetyczna ruchu postępowego i obrotowego.
Energia potencjalna:
- pola grawitacyjnego,
- sprężystości,
- pola elektrostatycznego ładunku elektrycznego .
Dyssypacja energii.
Opis ćwiczenia:
W doświadczeniu posługujemy się zmodyfikowaną wersją wahadła Oberbecka. Okrągła
tarcza 1 może wykonywać ruch obrotowy wokół pionowej osi. W tarczy osadzone są cztery
trzpienie, na których można umieszczać obciążniki 2 , zmieniając w ten sposób moment
bezwładności I układu. W osi obrotu tarczy znajduje się bęben 3 , składający się z trzech
szpul o różnych średnicach. Nawinięta na wybraną szpulę linka 4 wprawia tarczę w ruch
obrotowy – linka ta przewieszona jest przez lekki bloczek 5 i naprężona jest z siłą N
ciężarkami 6 o łącznej masie m .
3
1
4
2
5
6
Rys. 1. Schemat wahadła do sprawdzenia zasady zachowania energii całkowitej
Pod wpływem siły grawitacji Q  mg oraz naprężenia linki N ciężarki opadają z
przyspieszeniem a . Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu postępowego ciężarków ma
postać:
Q  N  ma .
(1)
Ruchowi postępowemu ciężarków towarzyszy ruch obrotowy tarczy. Występujące w tym
ruchu przyspieszenie kątowe  tarczy wywołane jest przez działający na bęben moment M N
siły naprężenia linki oraz spowalniający ruch obrotowy moment M T siły tarcia w łożysku.
Druga zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego w opisanej sytuacji ma postać:
M N  M T  I .
(2)
Moment M N siły naprężenia linki N wyraża się wzorem
M N  rN ,
(3)
gdyż działająca na bęben siła N przyłożona jest stycznie do obrzeża szpuli, w odległości r od
osi obrotu. Przyspieszenie liniowe ciężarków i przyspieszenie kątowe tarczy wiąże relacja:
a  r .
Po upływie czasu t od momentu rozpoczęci ruchu tarcza obróci się o kąt
(4)
  12 t 2
(5)
  t .
(6)
i nabierze prędkości kątowej
Jednocześnie ciężarki osiągną prędkość liniową
V  at ,
(7)
W dowolnej chwili t energia mechaniczna badanego wahadła jest sumą trzech składników:
 energii kinetycznej ruchu obrotowego tarczy: Ktar  12 I 2 ,
 energii kinetycznej ruchu postępowego ciężarków: Kc  12 mV 2 ,
 energii potencjalnej ciężarków: U c  mgh .
Zasada zachowania energii całkowitej mówi, że zmiana energii mechanicznej ciała E m
jest równa energii wymienionej z otoczeniem w postaci pracy W sił zewnętrznych,
pomniejszonej o wzrost E wew całkowitej energii wewnętrznej ciała i otoczenia (np. wzrost
ich energii termicznych)
Em  W  E wew ,
(8)
W przypadku badanego wahadła, w przedziale czasu od dowolnej chwili t 0 do dowolnej
chwili t1 :
- zmiana energii mechanicznej jest równa sumie zmian energii kinetycznej i
potencjalnej tarczy oraz ciężarków
Em  Ktar  Kc  U c  Ktar1  Ktar0   Kc1  Kc 0   U c1  U c 0  ,
- praca W  0 , ponieważ na wahadło nie działają żadne siły zewnętrzne,
(9)
- zmiana energii wewnętrznej E wew związana jest z występującym w trakcie ruchu
wahadła momentem M T sił tarcia:
E wew  M T  .
(10)
Z powyższej analizy wynika, że w rozważanym układzie, będącym układem izolowanym,
całkowita energia układu pozostaje stała w czasie
Ecałk  Ktar 0  Kc 0  U c 0  Ktar1  Kc1  U c1  Ewew ,
(11)
Celem ćwiczenia jest sprawdzenie zasady zachowania energii zapisanej w postaci
równania (11). Wykonanie ćwiczenia rozpoczynamy od n - krotnego nawinięcia linki na jedną
ze szpul i podczepienia do jej wolnego końca ciężarków o masie m . Mierzymy wysokość na
jakiej znajdują się ciężarki w chwili początkowej oraz po każdym z n obrotów tarczy.
Ponownie nawijamy linkę. Następnie zwalniamy tarczę i podczas rozwijania się linki
mierzymy czasy t w którym tarcza obróci się o kąt   2  n . Z zależności (5) położenia
kątowego tarczy od czasu wyznaczamy wartość przyspieszenia kątowego  . Równanie
M N  mg  r r ,
(12)
uzyskane z przekształcenia równań (1), (3) i (4), pozwala wyznaczyć wartość momentu M N
siły naprężenia linki nawiniętej na szpulę o promieniu r . Pomiary i obliczenia powtarzamy
trzykrotnie, nawijając linkę na inną szpulę oraz stosując inną masę ciężarków. Wykonujemy
wspólny wykres zależności przyspieszenia kątowego  od momentu M N dla wszystkich
trzech badanych przypadków. Z równania (2) wynika, że zależność ta ma charakter liniowy:
1
I
  MN 
MT
.
I
(13)
Metodą regresji liniowej, biorąc pod uwagę jednocześnie wszystkie punkty pomiarowe,
wyznaczamy moment bezwładności I wahadła oraz moment M T sił tarcia.
Obliczamy energię kinetyczną ruchu obrotowego tarczy, energię kinetyczną ciężarków,
energię potencjalną ciężarków oraz zmianę energii wewnętrznej układu po każdym obrocie
tarczy. Sumując te energie wyznaczamy energię całkowitą Ecała układu. Przedstawiamy na
wykresie zależność wartości każdej energii w funkcji liczby obrotów tarczy, osobno dla
każdego z czterech badanych przypadków.
0,8
Ktar
0,7
Kc
0,6
Uc
Ewew
E [J]
0,5
Ecałk
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0
1
2
3
4
n
Rys. 1. Zmiany energii podczas ruchu wahadła
Literatura:
1. Resnick R., Halliday D., Walker J., Podstawy fizyki T.1, PWN, Warszawa (dostępne
wydania).
2. Bobrowski C., Fizyka: krótki kurs, WNT, Warszawa (dostępne wydania).
3. Orear J., Fizyka T.1, WNT, Warszawa (dostępne wydania).