1. Obliczyć podane granice albo wykazać, że nie istnieją: a) lim sin

1. Obliczyć podane granice albo wykazać, że nie istnieją: a) lim sin

1. Obliczyć podane granice albo wykazać, że nie istnieją:
r
sin x2
sin 4x
sin 3x
sin 5x
tg 2x
4x sin x
a) lim
, b) lim
, c) lim
, d) lim
, e) lim
, f ) lim
+ 1,
x→π
x→0
x→0 4x
x→0 sin 3x
x→0 1 − cos 2x
x→0
x
x
x
√
√
√
√
sin 2x
x2 − 3x − 4
2 − 1 + cos x
1 + sin x − 1 − sin x
,
h)
lim
, i) lim √
, j) lim
,
g) lim
2
x→0
x→0
x→4 sin(x − 4)
x→0
tg x
3x + 1 − 1
sin x
p
1−x
x2
k) lim arc sin
, m) lim arc cos( x2 + x − x),
, l) lim arc ctg √
x→∞
x→−∞
x→∞
1+x
1 + x2
3. Obliczyć podane granice jednostronne:
a) lim
x→9+
1 1−2x
9−x
2
,
b) lim−
x→1
x3 − 4x2 + 3x
,
|x − 1|
c) lim− arc tg
x→2
5x + 3
,
2−x
d) lim−
x→0
1
4−2
4. Zbadać ciągłość funkcji i określić rodzaj punktów nieciągłości o ile istnieją:

 1
, dla x ∈ R \ {0},
 arc tg ln x,

x
1
, c) f (x) =
a) f (x) = , b) f (x) =


x
x − π2 ,
0, dla , x = 0

 |x − 1|,
−x2 + 4x − 3,
e) f (x) =
 sin x
2x ,
0 ¬ x ¬ 2,
x > 2,
x<0

 arc ctg
0,
f ) f (x) =
1
 1−x
2
,
h) f (x) =
x+|x|
4x ,
1
2,
x
1−x ,
x < 1,
x = 1,
x>1
1
x
,
e) lim− arc tg
x→0
x > 0,
, d) f (x) =
x¬0
g) f (x) =


x3 +x2 −2x
,
x−1
x 6= 1,

5,
x=1

0,


 x3 −1
|x2 −1|



3
2,
eln 3 sin x
.
3|x|
,
x = −1,
|x| =
6 1,
x=1
x 6= 0,
x=0
5. Dobrać parametry a i b tak, aby funkcja była ciągła w x0 :

 3
x < −1,
x<0
 arc tg x1 ,
 x ,
ax + b,
−1 ¬ x < 1, w x0 = −1, i x˜0 = 1,
a,
x = 0, w x0 = 0 b) f (x) =
a) f (x) =

 2
x + 2,
x­1
arc tg ln x,
x>0

2
π

√4−x
x < −2,

√

 a · x+6−2 + 4 ,

1− 1−x

 sin 4x ,

x 6= 0,
x(x+1)
c) f (x) =
w x0 = 0, d) f (x) =
+ arc tg b,
−2 ¬ x ¬ 0, w x0 = −2, i x˜0 = 0
2




a,
x=0


 1
x>0
4 · arc ctg(π + ln x),
1. Oblicz pochodną funkcji:
1) y = 3x5 − 12 x2 + x + x1 ,
2
5) y = 2x2−x
3 +x+3 ,
9) y = (4x5 − 7x3 + 14x2 − 5)3 ,
√
13) y = x ln3 x − x,
√
17) y = arc sin 4 1 − 5x,
21) y = cos2 x + cos x2 + ln 5,
x
25) y = xe ,
29) y = logx (sin x),
1.
2.
3.
4.
√
√
5
2) y = 2 x2 ,
3) y = 4x3 x
√
6) y = x5 cos x + πx ,
7) y = sin 4x,
√
√
11) y = arc sin x3 ,
10) y = 3x2 − 7x + 12,
2
15) y = sin ex +3x−2 ,
14 y = x arc ctg x1 ,
√
18) y = ln(ex + 1 + ex ),
19) y = x sin x ln x,
ln(1+x2 )
22) y = arc tg x ,
23) y = xx ,
2
26) y = xx−x ,
27) y = (1 + x1 )x ,
30) y = logcos x (x2 + x − sin x), 31) y = (sin x)cos x + log2+5x 3,
Literatura:
K.T.Jankowscy ”Zbiór zadań z matematyki”,
”Matematyka. Podstawy z elementami matematyki wyższej.”,
M. Gewert, Z.Skoczylas ”Analiza matematyczna 1”,
M.Lassak ”Matematyka dla studiów technicznych”
4) y = x ln x + x13 − e2 ,
2
8) y = e−x +10x+π ,
x
2
12 y = 1+x
2 − xarc tg x ,
x
16) y = sin7 ( 23x +1
+1 ),
20) y = arc tg x arc tg x1 ,
24) y = (sin x)tg x ,
1
28) y = x ln x ,